Examkin

Question

Difficulty: MediumKümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri

AA ve BB birer küme olmak üzere,

s(A∪B)=22s(A \cup B) = 22
s(A∖B)=2⋅s(B∖A)s(A \setminus B) = 2 \cdot s(B \setminus A)
s(A∩B)=s(B∖A)−2s(A \cap B) = s(B \setminus A) - 2

eşitlikleri verilmiştir. Buna göre, AA kümesinin eleman sayısı kaçtır?
  1. A
    4
  2. B
    6
  3. C
    10
  4. D
    12
  5. 16Answer

Answer

AA kümesinin eleman sayısı 1616'dır.
Verilen bilgiler doğrultusunda s(B∖A)=xs(B \setminus A) = x denildiğinde, diğer bölgeler 2x2x ve x−2x-2 olarak ifade edilir. Toplam birleşim olan 4x−2=224x-2=22 eşitliğinden x=6x=6 bulunur. AA kümesinin eleman sayısı ise s(A∖B)+s(A∩B)=12+4=16s(A \setminus B) + s(A \cap B) = 12 + 4 = 16 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Kümelerin bölgelerini temsil eden değişkenler belirlenir.
s(B∖A)=xs(B \setminus A) = x olsun. Bu durumda s(A∖B)=2xs(A \setminus B) = 2x ve s(A∩B)=x−2s(A \cap B) = x - 2 olur.
Verilen oranları ve farkları tek bir bilinmeyen cinsinden ifade etmek denklemi basitleştirir.
2
Birleşim kümesinin eleman sayısı formülü uygulanır.
s(A∪B)=s(A∖B)+s(B∖A)+s(A∩B)s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) olduğundan,
22=2x+x+(x−2)22 = 2x + x + (x - 2)
22=4x−222 = 4x - 2
Birleşim kümesi, iki kümenin kesişim ve fark bölgelerinin toplamına eşittir.
3
Denklem çözülerek xx değeri bulunur.
4x=244x = 24 ise x=6x = 6 bulunur.
s(B∖A)s(B \setminus A) değerini bulmak diğer bölgelerin eleman sayılarını hesaplamayı sağlar.
4
AA kümesinin eleman sayısı hesaplanır.
s(A)=s(A∖B)+s(A∩B)s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B)
s(A)=2x+(x−2)s(A) = 2x + (x - 2)
s(A)=2(6)+(6−2)=12+4=16s(A) = 2(6) + (6 - 2) = 12 + 4 = 16
AA kümesi, BB kümesinden farkı ile BB kümesiyle olan kesişiminin toplamından oluşur.

Key Concept

Kümelerde birleşim işlemi, kümelerin ayrık bölgelerinin (yalnız AA, yalnız BB ve her ikisi) eleman sayılarının toplamıdır.

Hints

1
Kümeleri bir Venn şeması üzerinde çizerek her bir bölgeyi s(B∖A)s(B \setminus A) cinsinden isimlendirmeyi deneyin.
2
s(A∪B)=s(A∖B)+s(B∖A)+s(A∩B)s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) formülünü kullanarak bir bilinmeyenli bir denklem kurun.
3
Denklemi kurduğunuzda 4x−2=224x - 2 = 22 sonucuna ulaşmalısınız. Buradan bulacağınız xx değerini s(A)s(A)'yı bulmak için kullanın.

Practice More

Kümeler arasındaki fark ve kesişim ilişkilerini pekiştirmek için benzer bir soruyu üç küme (A,B,CA, B, C) üzerinden çözmeyi deneyebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri

More questions from this topic