Examkin

Question

Difficulty: MediumÇember ve Daire

O merkezli bir çemberin dışındaki bir P noktasından çembere çizilen teğetin değme noktası T'dir. Çemberin yarıçapı 55 cm ve ∣PT∣=12|PT| = 12 cm olarak verilmiştir. Buna göre, P noktasının çembere olan en kısa uzaklığı kaç cm'dir?

  1. A
    7
  2. 8Answer
  3. C
    12
  4. D
    13
  5. E
    18

Answer

P noktasının çembere olan en kısa uzaklığı 8 cm'dir.
Soruda verilenler bir dik üçgen oluşturur. Yarıçap (r=5r=5) ve teğet uzunluğu (1212) dik kenarlardır. Pisagor bağıntısı veya 5-12-13 özel üçgeni yardımıyla P noktasının merkeze uzaklığı 13 cm bulunur. Çembere olan en kısa uzaklık ise merkeze olan uzaklıktan yarıçapın farkıdır (13−5=813 - 5 = 8).

Step-by-Step Solution

1
Teğet özelliğini kullanarak dik üçgeni oluşturma
Çemberin merkezini O olarak alırsak, yarıçap teğete değme noktasında diktir (OT⊥PTOT \perp PT). Böylece OPT dik üçgeni oluşur.
Bir çemberde yarıçap, teğet noktasına diktir.
2
Pisagor bağıntısını uygulama
∣OT∣2+∣PT∣2=∣PO∣2|OT|^2 + |PT|^2 = |PO|^2 formülünden 52+122=∣PO∣2⇒25+144=1695^2 + 12^2 = |PO|^2 \Rightarrow 25 + 144 = 169. Buradan ∣PO∣=13|PO| = 13 cm bulunur.
Dik üçgende hipotenüsün karesi, dik kenarların kareleri toplamına eşittir.
3
En kısa uzaklığı hesaplama
P noktasının çembere en kısa uzaklığı, merkeze olan uzaklıktan yarıçapın çıkarılmasıyla bulunur: ∣PO∣−r=13−5=8|PO| - r = 13 - 5 = 8 cm.
Bir noktanın çembere en kısa uzaklığı, o noktayı merkeze birleştiren doğrunun çemberi kestiği nokta ile o nokta arasındaki mesafedir.

Key Concept

Bir noktadan çembere çizilen teğet, değme noktasında yarıçapa diktir ve oluşan dik üçgen (genellikle özel üçgenler) kullanılarak uzunluk hesaplanır.

Hints

1
Çemberin merkezi ile teğet noktasını birleştiren yarıçapın, teğet doğrusuna dik olduğunu hatırlayınız.
2
Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısını kullanarak P noktasının merkeze olan uzaklığını (∣PO∣|PO|) bulunuz.
3
Merkeze olan uzaklık 13 cm'dir. Çembere olan en kısa uzaklığı bulmak için bu mesafeden yarıçapı çıkarmanız gerekir.

Practice More

Benzer bir kurguda P noktasının çembere olan en uzak mesafesinin sorulduğu bir soru çözülebilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Çember ve Daire

More questions from this topic