Examkin

Question

Difficulty: Hardİkizkenar ve Eşkenar Üçgen

AB=ACAB = AC olan bir ABCABC ikizkenar üçgeninin BCBC tabanı üzerinde bir PP noktası alınıyor. PP noktasından ABAB kenarına indirilen dikmenin uzunluğu 44 cm, ACAC kenarına indirilen dikmenin uzunluğu 66 cm'dir.

m(BAC^)=30∘m(\widehat{BAC}) = 30^\circ olduğuna göre, ABCABC üçgeninin alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

  1. A
    50
  2. B
    75
  3. 100Answer
  4. D
    1003100\sqrt{3}
  5. E
    200

Answer

İkizkenar üçgen özelliğinden yan kenara ait yükseklik 10 cm bulunur, bu değer ve tepe açısı kullanılarak alan 100 cm² olarak hesaplanır.
İkizkenar üçgenin tabanından yan kenarlara inilen dikmelerin toplamı, yan kenara ait yüksekliği verir (h=4+6=10h = 4+6=10). Tepe açısı 30∘30^\circ olduğu için, yan kenar uzunluğu sin⁡(30∘)=h/kenar\sin(30^\circ) = h / \text{kenar} bağıntısından 20 cm bulunur. Alan ise (20×10)/2=100(20 \times 10) / 2 = 100 cm²'dir.

Step-by-Step Solution

1
İkizkenar üçgen özelliğini hatırla ve uygula
hc=∣PD∣+∣PE∣=4+6=10h_c = |PD| + |PE| = 4 + 6 = 10 cm
İkizkenar üçgenin tabanı üzerindeki bir noktadan eşit kenarlara indirilen dikmelerin toplamı, eşit kenarlardan birine ait yüksekliğe eşittir.
2
Eşit kenar uzunluğunu (bb) bulmak için oluşan dik üçgeni kullan
sin⁡(30∘)=hcb⇒12=10b⇒b=20\sin(30^\circ) = \frac{h_c}{b} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{10}{b} \Rightarrow b = 20 cm
Yükseklik çizildiğinde oluşan dik üçgende, 30∘30^\circ'nin karşısındaki kenar (yükseklik) hipotenüsün (eşit kenar) yarısıdır.
3
Üçgenin alanını hesapla
Alan = 12×taban×yu¨kseklik=12×20×10=100\frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} = \frac{1}{2} \times 20 \times 10 = 100 cm2\text{cm}^2
Kenar uzunluğu 20 cm ve bu kenara ait yükseklik 10 cm bulunduğuna göre standart alan formülü uygulanır.

Key Concept

İkizkenar Üçgenin Yardımcı Eleman Özellikleri

Hints

1
İkizkenar bir üçgende taban üzerindeki bir noktadan eş kenarlara çizilen dikmelerin toplamı, üçgenin eş kenarlarına ait yüksekliğe eşittir.
2
Yüksekliği 10 cm olarak bulduktan sonra, tepe açısı 30 derece olan dik üçgeni düşünün. 30-60-90 üçgeninde 30 derecenin karşısı hipotenüsün yarısıdır.

Practice More

Eşkenar üçgenin içindeki bir noktadan kenarlara inilen dikmelerin toplamının yüksekliğe eşit olduğu durumla ilgili bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Alan Parçalama Yöntemi: Üçgeni AP doğrusu ile ikiye ayırın. Alan(ABP) + Alan(APC) = Alan(ABC). Yani (AB*4)/2 + (AC*6)/2 = Alan. AB=AC=x derseniz, Alan = 2x + 3x = 5x olur. Sinüslü alan formülünden Alan = 1/2 * x * x * sin(30) = x^2/4. Buradan 5x = x^2/4 eşitliği ile x=20 bulunur.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

İkizkenar ve Eşkenar Üçgen

More questions from this topic