Examkin

Question

Difficulty: HardFaktöriyel (Temel)
xx bir tam sayı olmak üzere,
K=(x−2)!+(7−x)!(x−5)! K = \frac{(x-2)! + (7-x)!}{(x-5)!}
ifadesi bir tam sayıya eşittir.

Buna göre, KK sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    11
  2. 33Answer
  3. C
    34
  4. D
    93,5
  5. E
    153

Answer

KK ifadesinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 33'tür.
Faktöriyel tanımı gereği xx sayısı 5≤x≤75 \le x \le 7 aralığında olmalıdır. Bu aralıktaki değerler (5,6,75, 6, 7) yerine konulduğunda sadece x=5x=5 ve x=6x=6 için sonuç tam sayı çıkmaktadır (88 ve 2525). Bu değerlerin toplamı 33'tür.

Step-by-Step Solution

1
Faktöriyel işleminin tanımlı olması için parantez içlerinin negatif olmaması şartını incele.
x−2≥0⇒x≥2x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2
7−x≥0⇒x≤77-x \ge 0 \Rightarrow x \le 7
x−5≥0⇒x≥5x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5
Negatif sayıların faktöriyeli tanımsızdır.
2
Elde edilen eşitsizliklerin kesişim kümesini bularak xx in alabileceği değerleri belirle.
Ortak çözüm aralığı 5≤x≤75 \le x \le 7 şeklindedir. Yani xx değerleri {5,6,7}\{5, 6, 7\} olabilir.
Tüm faktöriyel ifadelerinin aynı anda tanımlı olması gerekir.
3
Belirlenen xx değerlerini yerine koyarak KK değerlerini hesapla ve tam sayı olup olmadıklarını kontrol et.
1. Durum (x=5x=5): K=3!+2!0!=6+21=8K = \frac{3! + 2!}{0!} = \frac{6+2}{1} = 8 (Tam sayı)
2. Durum (x=6x=6): K=4!+1!1!=24+11=25K = \frac{4! + 1!}{1!} = \frac{24+1}{1} = 25 (Tam sayı)
3. Durum (x=7x=7): K=5!+0!2!=120+12=60,5K = \frac{5! + 0!}{2!} = \frac{120+1}{2} = 60,5 (Tam sayı değil)
Soruda ifadenin bir tam sayıya eşit olduğu belirtilmiştir.
4
Bulunan uygun KK değerlerini topla.
8+25=338 + 25 = 33
Sonuç istenmektedir.

Key Concept

Faktöriyel Tanım Aralığı ve Tam Sayı Kavramı

Hints

1
Faktöriyel işlemi sadece doğal sayılar için tanımlıdır (n≥0n \ge 0). Öncelikle xx'in hangi aralıkta olabileceğini belirleyin.
2
Eşitsizlik sistemini (x−2≥0x-2 \ge 0, 7−x≥07-x \ge 0, x−5≥0x-5 \ge 0) çözerek xx'in alabileceği 3 olası değeri bulun.
3
Bulduğunuz xx değerlerini yerine koyarak işlemi yapın. Sonucun 'tam sayı' olup olmadığını kontrol etmeyi unutmayın.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Faktöriyel (Temel)

More questions from this topic