Examkin

Question

Difficulty: HardAsal Sayılar
x,yx, y ve zz birbirinden farklı asal sayılardır.
x⋅(y+z)=114x \cdot (y + z) = 114
x<y<zx < y < z

Verilen bilgilere göre, x+y+zx + y + z toplamı kaçtır?

  1. A
    25
  2. B
    37
  3. 41Answer
  4. D
    53
  5. E
    59

Answer

Asal çarpanların analizi ve deneme yoluyla bulunan sayıların toplamı 41'dir.
Verilen eşitlikte xx, 114'ün asal çarpanlarından biri olmalıdır. 2, 3 ve 19 seçenekleri tek tek denendiğinde, sadece x=3x=3 durumu için 'birbirinden farklı' ve x<y<zx < y < z şartlarını sağlayan asal sayılar (y=7,z=31y=7, z=31) bulunabilir. Bu sayıların toplamı 41'dir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliği analiz et ve 114 sayısını asal çarpanlarına ayır.
114=2×3×19114 = 2 \times 3 \times 19. Bu durumda xx, 114'ün bir asal çarpanı olmalıdır (x∈{2,3,19}x \in \{2, 3, 19\}).
xx bir asal sayı ve çarpımın bir bileşeni olduğu için 114'ü tam bölmek zorundadır.
2
x=2x=2 durumunu incele.
2⋅(y+z)=114⇒y+z=572 \cdot (y+z) = 114 \Rightarrow y+z=57. Toplam tektir, bu yüzden toplanan asallardan biri çifttir (2). Ancak x=2x=2 olduğu için sayılar birbirinden farklı olamaz.
İki asal sayının toplamı tek ise, biri mutlaka 2 olmalıdır. Soruda sayıların birbirinden farklı olduğu belirtilmiştir.
3
x=19x=19 durumunu incele.
19⋅(y+z)=114⇒y+z=619 \cdot (y+z) = 114 \Rightarrow y+z=6. Toplamı 6 olan asallar sadece 3 ve 3'tür. Farklılık şartı sağlanmaz.
Sayılardan ikisi aynı (3 ve 3) çıktığı için bu durum elenir.
4
x=3x=3 durumunu incele ve uygun y,zy, z değerlerini bul.
3⋅(y+z)=114⇒y+z=383 \cdot (y+z) = 114 \Rightarrow y+z=38. Toplamı 38 olan farklı asalları ara. y=7y=7 ve z=31z=31 şartı sağlar.
38 için olası asal çiftler: (7, 31). (19, 19 elenir). x<y<zx < y < z şartı (3<7<313 < 7 < 31) sağlanır.
5
Bulunan değerleri topla.
x+y+z=3+7+31=41x+y+z = 3 + 7 + 31 = 41.
Sonuç hesaplanır.

Key Concept

Asal sayıların özellikleri ve bölünebilme kurallarının denklem çözümünde kullanımı.

Hints

1
114 sayısını asal çarpanlarına ayırarak xx'in alabileceği değerleri belirleyin.
2
xx için olası değerler 2, 3 ve 19'dur. Her bir durum için y+zy+z toplamını inceleyin ve yy ile zz'nin de asal olması gerektiğini unutmayın.
3
İki asal sayının toplamı tek sayı ise (örneğin 57), sayılardan biri mutlaka 2 olmalıdır. Sorudaki 'birbirinden farklı' şartı bu durumda sağlanıyor mu kontrol edin.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Asal Sayılar

More questions from this topic