Examkin

Question

Difficulty: HardKüme Kavramı ve Gösterimi

Tam sayılar kümesi (mathbbZ\\mathbb{Z}) üzerinde tanımlı AA kümesi aşağıdaki gibi verilmiştir:

A=leftxinmathbbZ;middle∣;frac4x+24x+3inmathbbZtextvex2<30rightA = \\left\\{ x \\in \\mathbb{Z} \\;\\middle|\\; \\frac{4x + 24}{x + 3} \\in \\mathbb{Z} \\text{ ve } x^2 < 30 \\right\\}

Buna göre, AA kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    5
  2. B
    6
  3. 7Answer
  4. D
    8
  5. E
    9

Answer

A kümesinin eleman sayısı 7'dir.
Kümeyi tanımlayan iki koşulun (bölünebilme ve eşitsizlik) aynı anda sağlanması gerekir. İfade düzenlendiğinde x+3x+3'ün 12'nin böleni olması gerektiği bulunur. Bu bölenlerden elde edilen xx adayları arasından karesi 30'dan küçük olanlar süzüldüğünde 7 eleman (−5,−4,−2,−1,0,1,3-5, -4, -2, -1, 0, 1, 3) kalır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen cebirsel ifadeyi tam kısımlı kesre çevir.
4x+24x+3=4(x+3)+12x+3=4+12x+3\frac{4x + 24}{x + 3} = \frac{4(x + 3) + 12}{x + 3} = 4 + \frac{12}{x + 3}
İfadenin tam sayı olması için 12x+3\frac{12}{x+3} kısmının tam sayı olması gerektiğini görmek için.
2
x+3x+3 ifadesinin alabileceği değerleri (12'nin tam sayı bölenlerini) belirle.
x+3∈{−12,−6,−4,−3,−2,−1,1,2,3,4,6,12}x+3 \in \{-12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12\}
12'yi tam bölen tüm negatif ve pozitif tam sayıları listelemek gerekir.
3
Her bir bölen değeri için xx değerlerini bul (x=bo¨len−3x = \text{bölen} - 3).
Olası xx değerleri: {−15,−9,−7,−6,−5,−4,−2,−1,0,1,3,9}\{-15, -9, -7, -6, -5, -4, -2, -1, 0, 1, 3, 9\}
Kümeyi oluşturacak aday elemanları belirlemek için.
4
x2<30x^2 < 30 koşulunu sağlayan xx değerlerini seç.
x2<30x^2 < 30 aralığı yaklaşık (−5.47,5.47)(-5.47, 5.47)'dir. Bu aralıktaki değerler: {−5,−4,−2,−1,0,1,3}\{-5, -4, -2, -1, 0, 1, 3\}. (Not: −6-6 için (−6)2=36>30(-6)^2=36 > 30 olduğundan elenir).
Tanım kümesindeki ikinci kısıtlamayı (eşitsizliği) sağlamak için.
5
Elde edilen elemanları say.
Küme {−5,−4,−2,−1,0,1,3}\{-5, -4, -2, -1, 0, 1, 3\} olup eleman sayısı 7'dir.
Sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Ortak Özellik Yöntemi ve Tam Sayı Bölünebilme

Hints

1
Verilen kesri, tam sayılı kesir biçiminde 4+Ax+34 + \frac{A}{x+3} olarak yazmaya çalışın.
2
İfadenin tam sayı olması için x+3x+3 değeri 12'nin bir tam sayı böleni olmalıdır (negatifler dahil). xx değerlerini buna göre bulun.
3
Bulduğunuz xx adaylarının karesinin 30'dan küçük olup olmadığını kontrol edin (−6-6'nın karesine dikkat edin).
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Küme Kavramı ve Gösterimi

More questions from this topic