Examkin

Question

Difficulty: MediumKartezyen Çarpım

Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={x∈Z:x2−3x−4≤0}A = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 - 3x - 4 \le 0\}

B={x∈Z:x,12 sayısının bir tam sayı bo¨lenidir}B = \{x \in \mathbb{Z} : x, 12 \text{ sayısının bir tam sayı bölenidir}\}

Buna göre, (A∪B)×(A∩B)(A \cup B) \times (A \cap B) kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    30
  2. B
    48
  3. 65Answer
  4. D
    72
  5. E
    78

Answer

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımı olan 65'tir.
Verilen AA kümesi {−1,0,1,2,3,4}\{-1, 0, 1, 2, 3, 4\} elemanlarından oluşur (s=6s=6). BB kümesi 12 sayısının tüm tam sayı bölenlerini içerir ve 12 elemanlıdır. İki kümenin kesişiminde {−1,1,2,3,4}\{-1, 1, 2, 3, 4\} olmak üzere 5 eleman bulunur. Birleşim kümesi ise ortak elemanların yalnızca bir kez sayılmasıyla 13 elemana ulaşır. Kartezyen çarpımın eleman sayısı kuralı gereği 13×5=6513 \times 5 = 65 sonucu bulunur.

Step-by-Step Solution

1
AA kümesinin elemanlarını belirlemek
A={−1,0,1,2,3,4}A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4\} ve s(A)=6s(A) = 6
x2−3x−4≤0x^2 - 3x - 4 \le 0 eşitsizliğinin kökleri x1=4x_1 = 4 ve x2=−1x_2 = -1 olduğundan, tam sayı çözümleri bu aralıktaki sayılardır.
2
BB kümesinin elemanlarını belirlemek
B={−12,−6,−4,−3,−2,−1,1,2,3,4,6,12}B = \{-12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12\} ve s(B)=12s(B) = 12
12 sayısının tam sayı bölenleri hem pozitif hem de negatif değerleri içerir.
3
Kesişim ve birleşim kümelerinin eleman sayılarını bulmak
s(A∩B)=5s(A \cap B) = 5 ve s(A∪B)=13s(A \cup B) = 13
A∩B={−1,1,2,3,4}A \cap B = \{-1, 1, 2, 3, 4\} kümesinde 5 eleman vardır. Birleşim kümesi ise s(A)+s(B)−s(A∩B)=6+12−5=13s(A) + s(B) - s(A \cap B) = 6 + 12 - 5 = 13 formülüyle hesaplanır.
4
Kartezyen çarpımın eleman sayısını hesaplamak
s((A∪B)×(A∩B))=13×5=65s((A \cup B) \times (A \cap B)) = 13 \times 5 = 65
s(X×Y)=s(X)⋅s(Y)s(X \times Y) = s(X) \cdot s(Y) kuralı uygulanır.

Key Concept

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, çarpanı olan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Hints

1
Önce AA ve BB kümelerinin elemanlarını listeleyin. Tam sayı bölenleri derken negatif sayıları da dahil etmeyi unutmayın.
2
AA kümesi x2−3x−4≤0x^2-3x-4 \le 0 eşitsizliğini sağlayan tam sayılardır. Bu aralığı [−1,4][-1, 4] olarak bulmalısınız.
3
Birleşim kümesinin eleman sayısını s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A) + s(B) - s(A \cap B) formülüyle bulun. Sonrasında bu sonucu kesişim kümesinin eleman sayısı ile çarpın.

Practice More

Kartezyen çarpım kümesinin grafik üzerinde gösterimi ve bu noktaları kapsayan en küçük dikdörtgenin alanını bulma sorularını inceleyebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Kartezyen Çarpım

More questions from this topic