n pozitif bir tam sayı olmak üzere, \frac{(n+2)!}{n!} - \frac{(n+1)!}{(n-1)!} = 30 \neşitliği veriliyor. Buna göre, n kaçtır?

n pozitif bir tam sayı olmak üzere, \frac{(n+2)!}{n!} - \frac{(n+1)!}{(n-1)!} = 30 \neşitl… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

n

pozitif bir tam sayı olmak üzere,

\frac{(n+2)!}{n!} - \frac{(n+1)!}{(n-1)!} = 30

eşitliği veriliyor. Buna göre,

n

kaçtır?

Verilen denklem çözüldüğünde n değeri 14 olarak bulunur.

Verilen eşitlikte faktöriyeller açılıp sadeleştirildiğinde

(n+2)(n+1)

(n+1)n

terimleri elde edilir. Bu iki terimin farkı alındığında

2n+2=30

denklemi bulunur ve buradan

n=14

sonucuna ulaşılır.

Faktöriyel ifadelerini sadeleştirmek için büyük olan faktöriyeli küçük olana benzeterek açalım.

\frac{(n+2)(n+1)n!}{n!} - \frac{(n+1)n(n-1)!}{(n-1)!} = 30

Faktöriyel sadeleştirmelerinde temel kural, büyük ifadeyi küçüğe kadar açıp yok etmektir.

Sadeleşen terimleri (pay ve paydadaki ortak faktöriyelleri) yok edelim.

(n+2)(n+1) - (n+1)n = 30

Kesirli ifadelerden kurtularak cebirsel bir denklem elde etmek için.

Ortak çarpan parantezine alarak veya ifadeleri açarak denklemi düzenleyelim.

(n+1) \cdot [(n+2) - n] = 30 \Rightarrow (n+1) \cdot 2 = 30

Denklemi en basit haline getirerek n değişkenini yalnız bırakmak için.

Elde edilen birinci dereceden denklemi çözelim.

2(n+1) = 30 \Rightarrow n+1 = 15 \Rightarrow n = 14

Sonuca ulaşmak için.

Faktöriyel sadeleştirmelerinde

(n+2)! = (n+2)(n+1)n!

gibi açılımlar kullanılarak, kesirli ifadeler polinomlara dönüştürülür.