Examkin

Question

Difficulty: MediumFaktöriyel (Temel)
xx bir doğal sayı olmak üzere,
(x+2)!+(x+1)!(x+2)!−(x+1)!=97 \frac{(x+2)! + (x+1)!}{(x+2)! - (x+1)!} = \frac{9}{7}
olduğuna göre, xx değeri kaçtır?
  1. A
    4
  2. B
    5
  3. 6Answer
  4. D
    7
  5. E
    8

Answer

Verilen faktöriyel eşitliğini sağlayan x değeri 6'dır.
Verilen ifadede büyük olan faktöriyeller (x+1)!(x+1)! cinsinden açılıp pay ve payda ortak paranteze alındığında, kesir sadeleşerek x+3x+1\frac{x+3}{x+1} halini alır. Bu ifade 97\frac{9}{7}'ye eşitlendiğinde yapılan içler dışlar çarpımı sonucunda x=6x=6 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
(x+2)!(x+2)! ifadesini (x+1)!(x+1)! cinsinden yazın.
(x+2)!=(x+2)⋅(x+1)!(x+2)! = (x+2) \cdot (x+1)!
Faktöriyel ifadelerini sadeleştirebilmek için büyük olanı küçük olanın cinsinden açmak gerekir.
2
Kesrin payını ve paydasını (x+1)!(x+1)! parantezine alın.
(x+1)!⋅[(x+2)+1](x+1)!⋅[(x+2)−1] \frac{(x+1)! \cdot [(x+2) + 1]}{(x+1)! \cdot [(x+2) - 1]}
Toplama ve çıkarma işlemlerini çarpım durumuna getirerek sadeleştirme yapabilmek için ortak çarpan parantezi kullanılır.
3
(x+1)!(x+1)! ifadelerini sadeleştirin ve denklemi düzenleyin.
x+3x+1=97 \frac{x+3}{x+1} = \frac{9}{7}
Pay ve paydadaki ortak çarpanlar birbirini yok eder, geriye sadece xx değişkenine bağlı basit bir kesir kalır.
4
İçler dışlar çarpımı yaparak xx değerini bulun.
7(x+3)=9(x+1)⇒7x+21=9x+9⇒12=2x⇒x=67(x+3) = 9(x+1) \Rightarrow 7x + 21 = 9x + 9 \Rightarrow 12 = 2x \Rightarrow x = 6
Orantı özelliğini kullanarak birinci dereceden denklemi çözüp bilinmeyene ulaşılır.

Key Concept

Faktöriyel ifadelerde toplama ve çıkarma işlemleri yapılırken küçük olan faktöriyel parantezine alınarak sadeleştirme yapılır.

Hints

1
Pay ve paydadaki ifadeleri en küçük faktöriyel olan (x+1)!(x+1)! cinsinden açmayı deneyin.
2
Ortak paranteze aldıktan sonra pay ve paydadaki (x+1)!(x+1)! terimlerini sadeleştirerek denklemi basitleştirin.
3
Sadeleşmiş hali x+3x+1=97\frac{x+3}{x+1} = \frac{9}{7} olan denklemi içler dışlar çarpımı yaparak çözün.

Practice More

Benzer şekilde (n+1)!−n!=5⋅n!(n+1)! - n! = 5 \cdot n! gibi temel sadeleştirme sorularını çözerek hız kazanabilirsiniz.

Alternative Method

Şıklardan giderek deneme yapabilirsiniz. Örneğin x=6x=6 için 8!+7!8!−7!=7!(8+1)7!(8−1)=97\frac{8!+7!}{8!-7!} = \frac{7!(8+1)}{7!(8-1)} = \frac{9}{7} eşitliğinin sağlandığını görebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Faktöriyel (Temel)

More questions from this topic