Examkin

Question

Difficulty: HardKümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri

Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde tanımlı AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi verilmiştir:

A={x∈Z∣∣x∣≤72,x, 3 ile tam bo¨lu¨nu¨r}A = \{x \in \mathbb{Z} \mid |x| \le 72, \quad x, \text{ 3 ile tam bölünür}\}
B={x∈Z∣∣x∣≤72,x, 4 ile tam bo¨lu¨nu¨r}B = \{x \in \mathbb{Z} \mid |x| \le 72, \quad x, \text{ 4 ile tam bölünür}\}

Bu bilgilere göre, AA ve BB kümelerinin birleşimi olan A∪BA \cup B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    71
  2. B
    35
  3. 73Answer
  4. D
    86
  5. E
    61

Answer

Doğru cevap 73'tür.
Soruda verilen mutlak değer eşitsizliği ∣x∣≤72|x| \le 72, sayıların −72≤x≤72-72 \le x \le 72 aralığında olduğunu gösterir. Bu aralıkta 3'e bölünen 49 sayı (s(A)s(A)), 4'e bölünen 37 sayı (s(B)s(B)) vardır. Hem 3'e hem 4'e bölünen (12'nin katı) 13 sayı (s(A∩B)s(A \cap B)) mevcuttur. Birleşim formülü s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) uygulandığında 49+37−13=7349 + 37 - 13 = 73 sonucu bulunur.

Step-by-Step Solution

1
A kümesinin eleman sayısını hesapla.
s(A) = 49
A kümesi, -72 ile 72 arasındaki 3'ün katlarıdır. Terim sayısı formülü: [(Son Terim - İlk Terim) / Artış Miktarı] + 1. Buradan [72 - (-72)]/3 + 1 = 144/3 + 1 = 48 + 1 = 49 bulunur.
2
B kümesinin eleman sayısını hesapla.
s(B) = 37
B kümesi, -72 ile 72 arasındaki 4'ün katlarıdır. Terim sayısı: [72 - (-72)]/4 + 1 = 144/4 + 1 = 36 + 1 = 37 bulunur.
3
Kesişim kümesi A ∩ B'nin kuralını ve eleman sayısını belirle.
s(A ∩ B) = 13
Kesişim kümesi, hem 3'e hem 4'e bölünen, yani EKOK(3,4)=12'ye bölünen sayılardır. Aralık [-72, 72]. Terim sayısı: [72 - (-72)]/12 + 1 = 144/12 + 1 = 12 + 1 = 13.
4
Birleşim formülünü uygula: s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B).
s(A ∪ B) = 73
49 + 37 - 13 = 73 olarak hesaplanır.

Key Concept

Kümelerin birleşim eleman sayısı, kümelerin eleman sayıları toplamından kesişim kümesinin eleman sayısının çıkarılmasıyla bulunur: s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B). Tam sayılar kümesinde negatif sayıların ve 0'ın da dahil edilmesi unutulmamalıdır.

Hints

1
Önce verilen mutlak değer eşitsizliğini, bir sayı aralığı olarak yazınız (örneğin −a≤x≤a-a \le x \le a).
2
Belirlediğiniz aralıkta 3'ün katı olan ve 4'ün katı olan kaç tane tam sayı olduğunu terim sayısı formülüyle bulunuz. 0 sayısının her iki kümede de olduğunu unutmayınız.
3
s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) formülünü kullanın. A∩BA \cap B kümesi, hem 3 hem de 4'e bölünen, yani 12'ye bölünen sayıları içerir.

Practice More

Benzer mantıkla, '3'e bölünüp 5'e bölünmeyen' sayıların sayısını soran fark işlemi problemleri çözülebilir.

Alternative Method

Sayı doğrusu üzerinde düşünerek; 0'dan 72'ye kadar olan pozitif kısım için hesap yapıp (2 ile çarpıp), sonra 0'ı (1 adet) ekleyerek de sonuca ulaşabilirsiniz. Pozitiflerde: s(A+)=24, s(B+)=18, s(Kes+)=6. Birleşim(Pozitif) = 24+18-6=36. Negatifler için de 36. Toplam: 36 + 36 + 1(Sıfır) = 73.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri

More questions from this topic