Examkin

Question

Difficulty: Very hardFaktöriyel (Temel)
AA sayısı,
A=5⋅5!+6⋅6!+7⋅7!+⋯+44⋅44! A = 5 \cdot 5! + 6 \cdot 6! + 7 \cdot 7! + \dots + 44 \cdot 44!
şeklinde tanımlanıyor.

Buna göre, A+120A + 120 sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?

  1. A
    8
  2. B
    9
  3. 10Answer
  4. D
    11
  5. E
    12

Answer

10
Verilen toplam, k⋅k!=(k+1)!−k!k \cdot k! = (k+1)! - k! özdeşliği kullanıldığında teleskopik bir seri oluşturur. Terimler sadeleştiğinde A=45!−5!A = 45! - 5! elde edilir. Soruda A+120A + 120 sorulduğu ve 120=5!120 = 5! olduğu için, istenen değer 45!45!'dir. 45! sayısının sonundaki sıfır sayısı, 45 sayısının sürekli 5'e bölünmesiyle bulunan bölümlerin toplamıdır (9 + 1 = 10).

Step-by-Step Solution

1
Verilen AA ifadesindeki her terimi k⋅k!=(k+1)!−k!k \cdot k! = (k+1)! - k! özdeşliğini kullanarak yeniden yaz.
A=(6!−5!)+(7!−6!)+⋯+(45!−44!)A = (6! - 5!) + (7! - 6!) + \dots + (45! - 44!)
Faktöriyel serilerinde teleskopik toplama yöntemi ile sadeleştirme yapmak için bu dönüşüm gereklidir.
2
Teleskopik toplamdaki birbirini götüren terimleri sadeleştir.
A=−5!+45!=45!−120A = -5! + 45! = 45! - 120
Serideki her pozitif terim bir sonraki parantezdeki negatif terimle sadeleşir, geriye sadece en büyük pozitif ve en küçük negatif terim kalır.
3
Soruda istenen A+120A + 120 ifadesini hesapla.
A+120=(45!−120)+120=45!A + 120 = (45! - 120) + 120 = 45!
Sabit sayıların sadeleşmesiyle işlem tek bir faktöriyel ifadesine dönüşür.
4
45! sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için 5 çarpanlarının sayısını hesapla (Legendre Teoremi).
45÷5=945 \div 5 = 9 (Bölüm), 9÷5=19 \div 5 = 1 (Bölüm). Toplam: 9+1=109 + 1 = 10
Bir faktöriyel ifadesinin sonundaki sıfır sayısı, içindeki 5 asal çarpanının sayısına eşittir. Bu da sayının sürekli 5'e bölünmesiyle bulunur.

Key Concept

Faktöriyel toplam sembolü özdeşlikleri (k⋅k!=(k+1)!−k!k \cdot k! = (k+1)! - k!) ve faktöriyelde sondan gelen sıfır sayısının hesabı.

Hints

1
Genel terimi (k+1−1)⋅k!(k+1-1) \cdot k! şeklinde düşünerek parantezi açmayı deneyin.
2
k⋅k!=(k+1)!−k!k \cdot k! = (k+1)! - k! eşitliğini kullanarak toplamı açık bir şekilde yazın. Birçok terimin birbirini götürdüğünü göreceksiniz.
3
Toplamın sonucu 45!−5!45! - 5! olacaktır. Soruda bu değere 120 (yani 5!) eklenmesi isteniyor. Sonuçta sadece 45!45! kalır.

Practice More

Benzer teleskopik toplam mantığıyla çözülen 1k!−1(k+1)!\frac{1}{k!} - \frac{1}{(k+1)!} serileri üzerine çalışılması önerilir.

Alternative Method

Küçük değerler için örüntü kurarak: 1⋅1!=2!−1!1\cdot1! = 2!-1!, 1⋅1!+2⋅2!=3!−1!1\cdot1! + 2\cdot2! = 3!-1!. Buradan genelleme ile ∑k=1nk⋅k!=(n+1)!−1!\sum_{k=1}^n k\cdot k! = (n+1)! - 1! olduğu görülebilir. Soruda başlangıç 5 olduğu için (45)!−5!(45)! - 5! bulunur.
Estimated Time:4m 0s
Rate this question

Topics

Faktöriyel (Temel)

More questions from this topic