ABC bir ikizkenar üçgen olmak üzere, |AB| = |AC| eşitliği veriliyor. [AC] kenarı üzerinde … — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

$ABC$ bir ikizkenar üçgen olmak üzere, $|AB| = |AC|$ eşitliği veriliyor. $[AC]$ kenarı üzerinde alınan bir $D$ noktasından $[BC]$ tabanına indirilen dikmenin ayağı $E$ noktasıdır. $|DE| = 4$ cm, $|EC| = 2$ cm ve $|BE| = 10$ cm olduğuna göre, $|AD|$ uzunluğu kaç cm'dir?

A
$3\sqrt{5}$
$4\sqrt{5}$ Answer
C
$5\sqrt{5}$
D
$6\sqrt{5}$
E
$8$

Answer

İstenen uzunluk

4\sqrt{5}

cm'dir.

İkizkenar üçgenin tabanına indirilen dikmenin tabanı ikiye bölmesi özelliği ve oluşan dik üçgenler arasındaki 1'e 3 benzerlik oranı kullanılarak çözüm yapılır.

|AC|

kenarı

6\sqrt{5}

|DC|

parçası

2\sqrt{5}

bulunduğundan farkları

4\sqrt{5}

olur.

Step-by-Step Solution

A

köşesinden

[BC]

tabanına

AH

dikmesi çizilir.

ABC

ikizkenar olduğundan

H

noktası tabanı iki eşit parçaya böler:

|BH| = |HC| = \frac{10+2}{2} = 6

cm.

İkizkenar üçgende tabana indirilen dikme aynı zamanda kenarortaydır.

DEC

AHC

üçgenleri arasındaki benzerlik oranı bulunur.

Her iki üçgen de dik üçgendir ve

C

açısı ortaktır. Benzerlik oranı

k = \frac{|HC|}{|EC|} = \frac{6}{2} = 3

bulunur.

Açı-Açı benzerlik kuralı gereği dik üçgenler benzerdir.

Benzerlik oranı kullanılarak

|AH|

|AC|

uzunlukları hesaplanır.

|AH| = 3 \cdot |DE| = 3 \cdot 4 = 12

cm.

\triangle AHC

üçgeninde Pisagor ile

|AC| = \sqrt{6^2 + 12^2} = \sqrt{36 + 144} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}

cm bulunur.

Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar orantılıdır.

|DC|

uzunluğu hesaplanıp

|AC|

'den çıkarılır.

\triangle DEC

üçgeninde Pisagor ile

|DC| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

cm. Sonuç:

|AD| = |AC| - |DC| = 6\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}

cm.

D

noktası

[AC]

üzerindedir, bu nedenle fark alınır.

Key Concept

İkizkenar üçgende tabana ait yükseklik kenarortaydır ve oluşturulan dik üçgenlerde benzerlik ilişkileri kurulabilir.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic