Examkin

Question

Difficulty: HardKartezyen Çarpım

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı KK ve LL kümeleri aşağıdaki gibi verilmiştir:

K={x∈R:x2≤9}K = \{x \in \mathbb{R} : x^2 \le 9\}

L={x∈R:x2−2x−8<0}L = \{x \in \mathbb{R} : x^2 - 2x - 8 < 0\}

Buna göre, analitik düzlemde (K∪L)×(K∩L)(K \cup L) \times (K \cap L) kartezyen çarpımının oluşturduğu kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. A
    25
  2. B
    30
  3. 35Answer
  4. D
    36
  5. E
    42

Answer

Kartezyen çarpımın oluşturduğu bölgenin alanı 35 birimkaredir.
Soruda verilen eşitsizlikler çözüldüğünde K=[−3,3]K = [-3, 3] ve L=(−2,4)L = (-2, 4) aralıkları elde edilir. Bu iki kümenin birleşimi K∪L=[−3,4)K \cup L = [-3, 4) olup uzunluğu 7 birim, kesişimi ise K∩L=(−2,3]K \cap L = (-2, 3] olup uzunluğu 5 birimdir. Kartezyen çarpımın alanı bu iki uzunluğun çarpımı olan 7×5=357 \times 5 = 35 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
K kümesinin aralığını belirle.
x2≤9⇒−3≤x≤3x^2 \le 9 \Rightarrow -3 \le x \le 3. Yani K=[−3,3]K = [-3, 3]. Uzunluğu: 3−(−3)=63 - (-3) = 6 birim.
Karesi 9'dan küçük veya eşit olan sayılar -3 ile 3 arasındadır.
2
L kümesinin aralığını belirle.
x2−2x−8<0⇒(x−4)(x+2)<0x^2 - 2x - 8 < 0 \Rightarrow (x-4)(x+2) < 0. Kökler -2 ve 4'tür. İşaret tablosuna göre negatif olduğu aralık L=(−2,4)L = (-2, 4). Uzunluğu: 4−(−2)=64 - (-2) = 6 birim.
İkinci dereceden eşitsizlik çözülerek aralık bulunur.
3
Birleşim kümesini (K∪LK \cup L) bul ve uzunluğunu hesapla.
[−3,3]∪(−2,4)=[−3,4)[-3, 3] \cup (-2, 4) = [-3, 4). Bu aralığın uzunluğu 4−(−3)=74 - (-3) = 7 birimdir.
İki aralığın birleşimi, en küçük alt sınır ile en büyük üst sınır arasındaki tüm sayıları kapsar.
4
Kesişim kümesini (K∩LK \cap L) bul ve uzunluğunu hesapla.
[−3,3]∩(−2,4)=(−2,3][-3, 3] \cap (-2, 4) = (-2, 3]. Bu aralığın uzunluğu 3−(−2)=53 - (-2) = 5 birimdir.
İki aralığın kesişimi, her iki kümede de ortak olan elemanlardır (büyük olan alt sınır, küçük olan üst sınır).
5
Kartezyen çarpımın alanını hesapla.
Alan = (K∪L)(K \cup L) uzunluğu ×\times (K∩L)(K \cap L) uzunluğu = 7×5=357 \times 5 = 35 birimkare.
Kartezyen çarpımın alanı, bileşen kümelerin uzunluklarının çarpımına eşittir.

Key Concept

Kartezyen çarpımın geometrik yorumunda, oluşan bölgenin alanı kümelerin uzunluklarının (tek boyutlu ölçülerinin) çarpımıdır.

Hints

1
Önce KK ve LL kümelerinin sayı doğrusu üzerindeki aralıklarını belirleyin.
2
KK kümesi [−3,3][-3, 3] aralığıdır. LL kümesi için x2−2x−8<0x^2 - 2x - 8 < 0 eşitsizliğinin köklerini bularak aralığı tespit edin.
3
Birleşim kümesinin uzunluğu 7, kesişim kümesinin uzunluğu 5 birimdir. Dikdörtgenin alanı, kenar uzunluklarının çarpımıdır.

Practice More

İki kümenin kartezyen çarpımının grafiğini çizerek köşe noktalarının koordinatlarını bulmayı gerektiren bir soru çözebilirsiniz.

Alternative Method

Sayı doğrusu çizerek her iki kümenin kapsadığı bölgeleri renkli kalemle işaretleyip ortak (kesişim) ve toplam (birleşim) uzunlukları görsel olarak ölçebilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Kartezyen Çarpım

More questions from this topic