Tam sayılar kümesi (\mathbb{Z}) üzerinde A ve B kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır: A … — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Tam sayılar kümesi ( $\mathbb{Z}$ ) üzerinde $A$ ve $B$ kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A = \{x \in \mathbb{Z} : |x| < 5\}

B = \{x \in \mathbb{Z} : |x - 2| \le 3\}

Buna göre, $A \times B$ kümesinin elemanlarından kaç tanesi $B \times A$ kümesinin bir elemanı değildir?

İstenen kümenin eleman sayısı 27'dir.

Doğru cevap 27'dir. İstenen durum,

(a,b) \in A \times B

iken

(a,b) \notin B \times A

olmasıdır. Bu,

A \times B

kümesinden

(A \times B) \cap (B \times A)

kümesinin çıkarılmasıyla bulunur. Kesişim özelliği gereği bu

(A \cap B) \times (A \cap B)

kümesine eşittir.

s(A)=9

s(B)=7

s(A \cap B)=6

olduğundan, sonuç

63 - 36 = 27

olur.

A kümesinin elemanlarını ve sayısını belirle.

|x| < 5 \implies -5 < x < 5

x \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}

s(A) = 9

Mutlak değer eşitsizliğini çözerek tam sayı elemanları listelemek gerekir.

B kümesinin elemanlarını ve sayısını belirle.

|x-2| \le 3 \implies -3 \le x-2 \le 3 \implies -1 \le x \le 5

x \in \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}

s(B) = 7

İkinci mutlak değer eşitsizliğini çözerek B kümesini oluşturmak gerekir.

Toplam kartezyen çarpım eleman sayısını (

s(A \times B)

) hesapla.

s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) = 9 \cdot 7 = 63

Genel kümenin büyüklüğünü bulmak, çıkarılacak kısmı belirlemek için gereklidir.

İki kartezyen çarpımın kesişim kümesini (

(A \times B) \cap (B \times A)

) belirle.

Kesişim,

(A \cap B) \times (A \cap B)

kümesidir.

A \cap B = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}

olup

s(A \cap B) = 6

. Kesişim sayısı

6 \cdot 6 = 36

B \times A

içinde de olan elemanları bulmak için kümelerin kesişimi kullanılır.

Fark kümesinin eleman sayısını hesapla.

s((A \times B) \setminus (B \times A)) = s(A \times B) - s((A \times B) \cap (B \times A)) = 63 - 36 = 27

Toplam eleman sayısından, her iki kümede de bulunan ortak elemanları çıkararak sonuca ulaşılır.

Kartezyen Çarpım ve Küme Farkı

Question