Examkin

Question

Difficulty: Very hardKartezyen Çarpım

AA kümesi 120 sayısının, BB kümesi ise 180 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinden oluşmaktadır. Buna göre, (A∖B)×(B∖A)(A \setminus B) \times (B \setminus A) kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. 24Answer
  2. B
    36
  3. C
    48
  4. D
    72
  5. E
    96

Answer

Kartezyen çarpımın eleman sayısı 24'tür.
Kartezyen çarpımın eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir. Burada kümeler fark kümeleri olduğundan, önce AA ve BB kümelerinin eleman sayıları, sonra kesişimlerinin eleman sayısı bulunarak fark kümelerinin büyüklükleri hesaplanmalıdır. 120 ve 180 sayılarının pozitif bölen sayıları ve EBOB'larının (60) bölen sayısı kullanılarak sonuca ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
A kümesinin eleman sayısını bulmak için 120 sayısını asal çarpanlarına ayır ve pozitif bölen sayısını hesapla.
120=23⋅31⋅51120 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 olduğundan s(A)=(3+1)(1+1)(1+1)=4⋅2⋅2=16s(A) = (3+1)(1+1)(1+1) = 4 \cdot 2 \cdot 2 = 16.
Pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı, asal çarpanların üslerinin birer fazlasının çarpımıdır.
2
B kümesinin eleman sayısını bulmak için 180 sayısını asal çarpanlarına ayır ve pozitif bölen sayısını hesapla.
180=22⋅32⋅51180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1 olduğundan s(B)=(2+1)(2+1)(1+1)=3⋅3⋅2=18s(B) = (2+1)(2+1)(1+1) = 3 \cdot 3 \cdot 2 = 18.
B kümesinin eleman sayısı da aynı yöntemle bulunur.
3
A ve B kümelerinin kesişimini (EBOB'un bölenleri) bul.
EBOB(120,180)=60EBOB(120, 180) = 60. 60=22⋅31⋅5160 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1. s(A∩B)=(2+1)(1+1)(1+1)=3⋅2⋅2=12s(A \cap B) = (2+1)(1+1)(1+1) = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12.
Kesişim kümesi, her iki sayıyı da bölen sayılardan yani EBOB'un bölenlerinden oluşur.
4
Fark kümelerinin eleman sayılarını hesapla.
s(A∖B)=s(A)−s(A∩B)=16−12=4s(A \setminus B) = s(A) - s(A \cap B) = 16 - 12 = 4 ve s(B∖A)=s(B)−s(A∩B)=18−12=6s(B \setminus A) = s(B) - s(A \cap B) = 18 - 12 = 6.
Bir kümenin fark eleman sayısı, o kümenin toplam eleman sayısından kesişimdeki eleman sayısının çıkarılmasıyla bulunur.
5
Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünü uygula.
s((A∖B)×(B∖A))=s(A∖B)⋅s(B∖A)=4⋅6=24s((A \setminus B) \times (B \setminus A)) = s(A \setminus B) \cdot s(B \setminus A) = 4 \cdot 6 = 24.
s(K×L)=s(K)⋅s(L)s(K \times L) = s(K) \cdot s(L) kuralı uygulanır.

Key Concept

Bölen sayıları ile küme farkı ve kartezyen çarpım özellikleri

Hints

1
Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulmak için o sayıyı asal çarpanlarına ayırın.
2
İki kümenin farkının eleman sayısını bulmak için, kümenin kendi eleman sayısından kesişim kümesinin eleman sayısını çıkarın.

Practice More

Benzer mantığı 3 küme için veya tam sayı bölenleri (negatifler dahil) için uygulayan bir soru çözün.

Alternative Method

Kümelerin elemanlarını tek tek yazarak da (küçük sayılar için) fark kümelerini bulabilirsiniz.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Kartezyen Çarpım

More questions from this topic