Examkin

Question

Difficulty: HardKartezyen Çarpım

Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde tanımlı AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi verilmiştir:

A={x∈Z:∣x−1∣≤3}A = \{x \in \mathbb{Z} : |x - 1| \le 3\}

B={x∈Z:∣x∣<4}B = \{x \in \mathbb{Z} : |x| < 4\}

Buna göre, (A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A) kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    16
  2. B
    25
  3. 36Answer
  4. D
    42
  5. E
    49

Answer

Doğru cevap, kesişim kümesinin karesi alınarak bulunan 36 sayısıdır.
İstenen ifade kartezyen çarpımların kesişimidir. Bu işlem, kümelerin kesişimlerinin kartezyen çarpımına denktir: (A∩B)×(B∩A)(A \cap B) \times (B \cap A). Kümelerin kesişimi 6 elemanlı ({-2, -1, 0, 1, 2, 3}) olduğundan, sonuç 6×6=366 \times 6 = 36 olur.

Step-by-Step Solution

1
A kümesinin elemanlarını belirle.
∣x−1∣≤3⇒−3≤x−1≤3⇒−2≤x≤4|x - 1| \le 3 \Rightarrow -3 \le x - 1 \le 3 \Rightarrow -2 \le x \le 4. A={−2,−1,0,1,2,3,4}A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} (7 eleman).
Mutlak değerli eşitsizlik çözülerek tam sayı değerleri listelenir.
2
B kümesinin elemanlarını belirle.
∣x∣<4⇒−4<x<4|x| < 4 \Rightarrow -4 < x < 4. B={−3,−2,−1,0,1,2,3}B = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} (7 eleman).
Mutlak değer eşitsizliği çözülür, kesin küçüklük olduğu için uç sınırlar (-4 ve 4) dahil edilmez.
3
A ve B kümelerinin kesişimini (A∩BA \cap B) bul.
A∩B={−2,−1,0,1,2,3}A \cap B = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}. s(A∩B)=6s(A \cap B) = 6.
Her iki kümede ortak olan elemanlar belirlenir. (-3 elemanı A'da yok, 4 elemanı B'de yok).
4
İstenen kümenin eleman sayısını kartezyen çarpım özelliklerini kullanarak hesapla.
(A×B)∩(B×A)=(A∩B)×(B∩A)=(A∩B)×(A∩B)(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A) = (A \cap B) \times (A \cap B). Eleman sayısı: 6×6=366 \times 6 = 36.
Kartezyen çarpımın kesişim özelliği uygulanır: (A×B)∩(C×D)=(A∩C)×(B∩D)(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D).

Key Concept

Kartezyen Çarpımın Kesişim Özelliği

Hints

1
Önce A ve B kümelerinin elemanlarını liste yöntemiyle açıkça yazınız.
2
(A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A) ifadesi, (A∩B)×(B∩A)(A \cap B) \times (B \cap A) ifadesine eşittir.
3
A ve B kümelerinin ortak elemanlarını bulun (Kesişim Kümesi). Sonuç bu kümenin eleman sayısının karesi olacaktır.

Practice More

Benzer bir soruyu 'birleşim' işlemi için düşünün: (A×B)∪(C×B)=(A∪C)×B(A \times B) \cup (C \times B) = (A \cup C) \times B.

Alternative Method

Kümelerin elemanları az sayıda olduğu için, A ve B kümelerinin tüm elemanlarını yazıp, sadece ortak olanları (hem A'da hem B'de olanları) belirleyip, bu sayının karesini alarak da sonuca gidilebilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Kartezyen Çarpım

More questions from this topic