Examkin

Question

Difficulty: HardKartezyen Çarpım

Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={x∈Z:∣x−2∣≤4}A = \{x \in \mathbb{Z} : |x - 2| \le 4\}

B={x∈Z:∣x+1∣≤3}B = \{x \in \mathbb{Z} : |x + 1| \le 3\}

Buna göre, (A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A) kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    16
  2. 25Answer
  3. C
    36
  4. D
    49
  5. E
    63

Answer

İki kümenin kartezyen çarpımlarının kesişimi, kümelerin kesişiminin karesine eşittir; bu sayı 25'tir.
Soruda istenen (A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A) ifadesi, kartezyen çarpımın dağılma özelliği gereği (A∩B)×(B∩A)(A \cap B) \times (B \cap A) ifadesine eşittir. Kesişim değişmeli olduğundan bu ifade (A∩B)×(A∩B)(A \cap B) \times (A \cap B) demektir. AA ve BB kümelerinin ortak elemanları {−2,−1,0,1,2}\{-2, -1, 0, 1, 2\} olmak üzere 5 tanedir. Sonuç 5×5=255 \times 5 = 25 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
A kümesinin elemanlarını belirle.
∣x−2∣≤4  ⟹  −4≤x−2≤4  ⟹  −2≤x≤6|x - 2| \le 4 \implies -4 \le x - 2 \le 4 \implies -2 \le x \le 6. A kümesi {−2,−1,0,1,2,3,4,5,6}\{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} olup s(A)=9s(A)=9'dur.
Mutlak değer eşitsizliğini açarak tam sayı elemanlarını listelemek gerekir.
2
B kümesinin elemanlarını belirle.
∣x+1∣≤3  ⟹  −3≤x+1≤3  ⟹  −4≤x≤2|x + 1| \le 3 \implies -3 \le x + 1 \le 3 \implies -4 \le x \le 2. B kümesi {−4,−3,−2,−1,0,1,2}\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2\} olup s(B)=7s(B)=7'dir.
Mutlak değer eşitsizliğini açarak tam sayı elemanlarını listelemek gerekir.
3
Kümelerin kesişimini (A∩BA \cap B) bul.
Ortak elemanlar {−2,−1,0,1,2}\{-2, -1, 0, 1, 2\} kümesidir. Dolayısıyla s(A∩B)=5s(A \cap B) = 5'tir.
Kartezyen çarpım özelliği için ortak eleman sayısı gereklidir.
4
Kartezyen çarpım özelliğini uygula.
s((A×B)∩(B×A))=s((A∩B)×(A∩B))=5×5=25s((A \times B) \cap (B \times A)) = s((A \cap B) \times (A \cap B)) = 5 \times 5 = 25.
(A×B)∩(C×D)=(A∩C)×(B∩D)(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D) kuralı gereği, burada kümeler yer değiştirdiği için sonuç (A∩B)×(B∩A)(A \cap B) \times (B \cap A) yani (A∩B)2(A \cap B)^2 olur.

Key Concept

Kartezyen Çarpımın Kesişim Özelliği

Hints

1
Önce mutlak değer eşitsizliklerini çözerek A ve B kümelerinin elemanlarını açıkça yazınız.
2
(A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A) ifadesi, her iki bileşenin de hem A hem de B kümesinde olmasını gerektirir.
3
Bu ifade (A∩B)×(A∩B)(A \cap B) \times (A \cap B) kümesine eşittir. Sadece ortak elemanların sayısını bulup karesini almalısınız.

Practice More

Benzer mantıkla (A∪B)×(A∩B)(A \cup B) \times (A \cap B) eleman sayısını soran bir soru çözebilirsiniz.

Alternative Method

Elemanları tek tek yazmak yerine sayı doğrusu üzerinde aralıkların kesişimini [−2,2][-2, 2] olarak bulup, bu aralıktaki tam sayı adedini (Son - İlk + 1) formülüyle 2−(−2)+1=52 - (-2) + 1 = 5 olarak hesaplayabilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Kartezyen Çarpım

More questions from this topic