Examkin

Question

Difficulty: HardKümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri

AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={x∣40<x<180,x=3k,k∈Z}A = \{x \mid 40 < x < 180, x = 3k, k \in \mathbb{Z}\}
B={x∣40<x<180,x=5m,m∈Z}B = \{x \mid 40 < x < 180, x = 5m, m \in \mathbb{Z}\}

Buna göre, AA ve BB kümelerinin birleşiminin eleman sayısı (s(A∪B)s(A \cup B)) kaçtır?

  1. A
    55
  2. 64Answer
  3. C
    65
  4. D
    73
  5. E
    82

Answer

A ve B kümelerinin birleşiminin eleman sayısı 64'tür.
Verilen aralıkta 3'e bölünen 46 sayı, 5'e bölünen 27 sayı vardır. Bu sayıların 9 tanesi hem 3'e hem 5'e bölündüğü için (15'in katları) her iki sayımda da mevcuttur. Birleşim formülü gereği bu mükerrer sayımı düzeltmek için kesişim kümesinin eleman sayısını bir kez çıkarmalıyız: 46+27−9=6446 + 27 - 9 = 64.

Step-by-Step Solution

1
AA kümesinin eleman sayısını hesaplayın (40<x<18040 < x < 180 aralığındaki 3'ün katları).
İlk terim 42, son terim 177. Terim sayısı: 177−423+1=46\frac{177-42}{3} + 1 = 46. Yani s(A)=46s(A) = 46.
Terim Sayısı = Son Terim−I˙lk TerimArtıs¸ Miktarı+1\frac{\text{Son Terim} - \text{İlk Terim}}{\text{Artış Miktarı}} + 1
2
BB kümesinin eleman sayısını hesaplayın (40<x<18040 < x < 180 aralığındaki 5'in katları).
İlk terim 45, son terim 175. Terim sayısı: 175−455+1=27\frac{175-45}{5} + 1 = 27. Yani s(B)=27s(B) = 27.
Terim Sayısı formülü uygulanır.
3
A∩BA \cap B kümesini belirleyin ve eleman sayısını hesaplayın.
Hem 3'e hem 5'e bölünen sayılar 15'in katıdır (EKOK(3,5)=15). İlk terim 45, son terim 165. Terim sayısı: 165−4515+1=9\frac{165-45}{15} + 1 = 9. Yani s(A∩B)=9s(A \cap B) = 9.
Kesişim kümesi, iki bölenin en küçük ortak katının (EKOK) katlarından oluşur.
4
Birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü uygulayın.
s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)=46+27−9=64s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) = 46 + 27 - 9 = 64.
s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) formülü kullanılır.

Key Concept

Birleşim Kümesi Eleman Sayısı (Dahil Etme - Hariç Tutma Prensibi)

Hints

1
Birleşim kümesinin eleman sayısı formülü: s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) şeklindedir.
2
A∩BA \cap B kümesi, hem 3'ün hem de 5'in katı olan sayıları, yani 15'in katlarını içerir.
3
180 sayısı aralığa dahil değildir (x<180x < 180). Terim sayısı hesaplarken son terim olarak 180'den küçük en büyük katları almalısınız (177, 175, 165).

Practice More

Bölünebilme kuralları değiştiğinde (örneğin 4 ve 6) EKOK alma işleminin nasıl değiştiğini inceleyen bir soru çözünüz.

Alternative Method

Venn şeması çizerek hesaplama yapılabilir: Sadece A kümesinde olanlar (46−9=3746-9=37), sadece B kümesinde olanlar (27−9=1827-9=18) ve her ikisinde olanlar (99). Toplam: 37+18+9=6437+18+9=64.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri

More questions from this topic