Examkin

Birinci Dereceden Denklemler

44 questions

Question 41Question →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı,

23(x−x−12)−x−34=x+16 \frac{2}{3} \left( x - \frac{x-1}{2} \right) - \frac{x-3}{4} = \frac{x+1}{6}

eşitliğini sağlayan xx değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 11

Answer

Verilen rasyonel denklemi sağlayan xx değeri 11 olarak bulunur.
İşlem önceliğine uyularak en içteki parantezden başlandığında, rasyonel ifadelerin ortak paydada toplanması ve ardından bilinmeyenin yalnız bırakılması sonucunda x=11x = 11 değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Parantez içindeki x−x−12x - \frac{x-1}{2} ifadesinde payda eşitleyerek çıkarma işlemini yapalım.
2x−(x−1)2=2x−x+12=x+12 \frac{2x - (x - 1)}{2} = \frac{2x - x + 1}{2} = \frac{x + 1}{2}
İç içe geçmiş ifadelerde işlem önceliği gereği en içteki parantezden başlanır.
2
Elde edilen ifadeyi ana denklemde yerine koyarak sadeleştirelim.
23⋅(x+12)−x−34=x+16⇒x+13−x−34=x+16 \frac{2}{3} \cdot \left( \frac{x+1}{2} \right) - \frac{x-3}{4} = \frac{x+1}{6} \Rightarrow \frac{x+1}{3} - \frac{x-3}{4} = \frac{x+1}{6}
Çarpma işlemi yapılarak rasyonel ifadeler daha basit bir forma getirilir.
3
Paydaları 12'de eşitlemek için tüm terimleri uygun sayılarla genişletelim.
4(x+1)−3(x−3)=2(x+1) 4(x+1) - 3(x-3) = 2(x+1)
Rasyonel denklemlerde paydadan kurtulmak için en küçük ortak kat (EKOK) kullanılır.
4
Parantezleri dağıtalım ve eksi işaretine dikkat ederek ifadeyi düzenleyelim.
4x+4−3x+9=2x+2⇒x+13=2x+2 4x + 4 - 3x + 9 = 2x + 2 \Rightarrow x + 13 = 2x + 2
İşlem önceliğine ve işaret dağılımına dikkat edilerek denklem yalın hale getirilir.
5
Bilinmeyenleri bir tarafa, sabit sayıları diğer tarafa toplayarak xx değerini bulalım.
13−2=2x−x⇒11=x 13 - 2 = 2x - x \Rightarrow 11 = x
Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde değişken yalnız bırakılır.

Key Concept

Birinci dereceden rasyonel denklemlerde payda eşitleme ve parantez önündeki negatif katsayıların dağıtılması master becerisidir.

Practice More

Değişkenlerin paydada yer aldığı rasyonel denklemleri çözerek çözüm kümesinin boş küme olma durumlarını inceleyin.

Alternative Method

Tüm denklemi en başta paydaların EKOK'u olan 12 ile çarparak kesirlerden doğrudan kurtulabilirsiniz.
Estimated Time:1m 20s
Question 42Question →
aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere, xx değişkenine bağlı
a(x+1)−23=x−x−b2 \frac{a(x+1) - 2}{3} = x - \frac{x - b}{2}
denklemi her xx gerçel sayısı için sağlandığına göre, a+ba + b toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 76\frac{7}{6}

Answer

Doğru cevap 7/67/6'dır.
Denklemin 'her xx gerçel sayısı için sağlanması', ifadenin bir özdeşlik olduğu anlamına gelir. Bu durumda, eşitliğin her iki tarafındaki xx'li terimlerin katsayıları birbirine, sabit terimler de birbirine eşit olmalıdır. Paydalar eşitlenip düzenlendiğinde 2a=32a = 3 ve 2a−4=3b2a - 4 = 3b eşitlikleri elde edilir. Buradan a=3/2a=3/2 ve b=−1/3b=-1/3 bulunur. Toplamları 7/67/6'dır.

Step-by-Step Solution

1
Denklemdeki paydaları yok etmek için eşitliğin her iki tarafını en küçük ortak kat olan 6 ile çarp.
2[a(x+1)−2]=6(x)−3(x−b) 2[a(x+1) - 2] = 6(x) - 3(x - b)
Kesirli ifadelerden kurtularak işlemi basitleştirmek gerekir.
2
Parantezleri dağıtarak ifadeleri düzenle.
2(ax+a−2)=6x−3x+3b 2(ax + a - 2) = 6x - 3x + 3b
2ax+2a−4=3x+3b 2ax + 2a - 4 = 3x + 3b
xx değişkenine bağlı terimleri ve sabit sayıları gruplandırmak için açılım yapılır. (Dikkat: −3(x−b)-3(x-b) dağılımında −3⋅(−b)=+3b-3 \cdot (-b) = +3b olur.)
3
xx parantezine alarak denklemi (A)x+B=0(A)x + B = 0 veya Sol Taraf = Sağ Taraf formatına getir.
(2a)x+(2a−4)=(3)x+(3b) (2a)x + (2a - 4) = (3)x + (3b)
(2a−3)x+(2a−4−3b)=0 (2a - 3)x + (2a - 4 - 3b) = 0
Denklemin her xx değeri için sağlanması (özdeşlik olması) için xx'li terimlerin katsayıları birbirine, sabit terimler de birbirine eşit olmalıdır.
4
xx'in katsayılarını eşitleyerek aa değerini bul.
2a=3⇒a=32 2a = 3 \Rightarrow a = \frac{3}{2}
Özdeşlik durumunda xx'in katsayısı her iki tarafta aynı olmalıdır.
5
Bulunan aa değerini kullanarak sabit terimleri eşitle ve bb'yi bul.
2a−4=3b 2a - 4 = 3b
2(32)−4=3b 2(\frac{3}{2}) - 4 = 3b
3−4=3b⇒−1=3b⇒b=−13 3 - 4 = 3b \Rightarrow -1 = 3b \Rightarrow b = -\frac{1}{3}
Sabit terimlerin eşitliği bb değerini verir.
6
a+ba + b toplamını hesapla.
a+b=32+(−13)=96−26=76 a + b = \frac{3}{2} + (-\frac{1}{3}) = \frac{9}{6} - \frac{2}{6} = \frac{7}{6}
Sonuç hesaplaması.

Key Concept

Özdeşlik (Çözüm Kümesinin Tüm Reel Sayılar Olması)
Question 43Question →

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler konusunu çalışan bir öğrenci, defterine aşağıdaki denklemi yazmıştır:

2(x−3)+8=x+52(x - 3) + 8 = x + 5

Buna göre, bu denklemi sağlayan xx değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Verilen denklemi sağlayan x değeri 3'tür.
Denklem adımları takip edilerek çözüldüğünde; parantez açıldıktan sonra 2x+2=x+52x + 2 = x + 5 ifadesine ulaşılır. Burada xx sola, +2+2 sağa geçerken işaret değiştirerek 2x−x=5−22x - x = 5 - 2 halini alır ve sonuç 33 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Parantezi dağıtma özelliğini kullanarak açın.
2x−6+8=x+52x - 6 + 8 = x + 5
Parantez dışındaki 2 çarpanını içerideki xx ve −3-3 terimleriyle ayrı ayrı çarpmamız gerekir.
2
Denklemin sol tarafındaki sabit terimleri kendi arasında toplayın.
2x+2=x+52x + 2 = x + 5
−6+8=+2-6 + 8 = +2 olduğu için sol taraf sadeleşir.
3
Bilinmeyenleri (x'leri) bir tarafa, sabit sayıları diğer tarafa toplayın.
2x−x=5−22x - x = 5 - 2
Terimler karşıya geçerken işaret değiştirir (xx karşıya −x-x, +2+2 karşıya −2-2 olarak geçer).
4
İşlemleri sonuçlandırarak xx değerini bulun.
x=3x = 3
Basit çıkarma işlemi ile bilinmeyen değer elde edilir.

Key Concept

Birinci dereceden denklemlerde dağılma özelliği ve terimlerin işaret değiştirerek karşıya geçmesi.

Hints

1
Önce parantezi dağıtarak denklemi daha sade bir hale getirmeyi deneyin.
2
2 sayısını hem xx hem de −3-3 ile çarpmayı unutmayın; yani 2(x−3)=2x−62(x-3) = 2x-6 olur.
3
Denklemi 2x+2=x+52x+2 = x+5 formuna getirdikten sonra bilinenleri bir yana, bilinmeyenleri diğer yana toplayın.

Practice More

Benzer bir denklemi, parantezin önündeki sayının negatif olduğu (örneğin −3(x+2)-3(x+2) gibi) bir durumda çözerek işaret kurallarını pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Bulduğunuz sonuçları denklemde x yerine yazarak eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edebilirsiniz. Örneğin x=3 için: 2(3−3)+8=2(0)+8=82(3-3)+8 = 2(0)+8 = 8 olur. Sağ taraf ise 3+5=83+5 = 8 olur. İki taraf eşit olduğu için cevap doğrudur.
Estimated Time:1m 0s
Question 44Question →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı,

2⋅{x−3⋅[x−2(x−1)]}3=x+6 \frac{2 \cdot \{x - 3 \cdot [x - 2(x - 1)]\}}{3} = x + 6

eşitliğini sağlayan xx değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Verilen denklemi sağlayan x gerçel sayısı 6'dır.
Denklemde sırasıyla parantezlerin açılması (−x+2-x+2), köşeli parantezin düzenlenmesi (4x−64x-6) ve rasyonel ifadenin içler dışlar çarpımıyla (8x−12=3x+188x-12 = 3x+18) çözülmesi sonucunda x değerinin 6 olduğu kesinleşir.

Step-by-Step Solution

1
En içteki parantezi açın ve ifadeyi düzenleyin.
x−2(x−1)=x−2x+2=−x+2x - 2(x - 1) = x - 2x + 2 = -x + 2
Parantez önündeki -2 katsayısı içeriye dağıtılmalıdır.
2
Köşeli parantez içindeki ifadeyi sadeleştirin.
x−3(−x+2)=x+3x−6=4x−6x - 3(-x + 2) = x + 3x - 6 = 4x - 6
Bir önceki adımda bulunan ifade -3 ile çarpılarak dıştaki x ile toplanır.
3
Pay kısmındaki çarpanı dağıtarak denklemi basitleştirin.
2(4x−6)3=8x−123=x+6\frac{2(4x - 6)}{3} = \frac{8x - 12}{3} = x + 6
Süslü parantez önündeki 2 katsayısı içerideki terimlerin her ikisiyle de çarpılır.
4
İçler dışlar çarpımı yaparak paydayı yok edin.
8x−12=3(x+6)⇒8x−12=3x+188x - 12 = 3(x + 6) \Rightarrow 8x - 12 = 3x + 18
Paydadaki 3, eşitliğin sağ tarafındaki tüm terimlerle çarpılmalıdır.
5
xx değişkenini yalnız bırakmak için terimleri gruplandırın.
8x−3x=18+12⇒5x=308x - 3x = 18 + 12 \Rightarrow 5x = 30
Bilinmeyenler bir tarafa, sabit sayılar diğer tarafa işaret değiştirerek geçirilir.
6
Her iki tarafı 5'e bölerek sonucu bulun.
x=6x = 6
Katsayı sadeleştirmesi yapılarak bilinmeyen değerine ulaşılır.

Key Concept

İç içe parantezli birinci dereceden denklemlerde, en içteki parantezden başlayarak dağılma özelliğini kullanmak ve işaret değişimlerine dikkat etmek temel çözüm yöntemidir.

Alternative Method

Denklem karmaşık göründüğünde seçenekleri x yerine koyarak deneme yöntemi kullanılabilir; ancak Hard düzeyindeki sorularda bu işlem zaman kaybına yol açabileceği için sistematik çözüm tercih edilmelidir.
Estimated Time:1m 30s
PreviousPage 3 / 3
Birinci Dereceden Denklemler Practice Questions — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Page 3 | Examkin