Examkin

Birinci Dereceden Denklemler

44 questions

Question 21Question →

Matematikte bir bilinmeyenli denklemleri çözerken temel amaç, bilinmeyeni eşitliğin bir tarafında yalnız bırakmaktır. Buna göre,

5x−12=3(x+2)5x - 12 = 3(x + 2)

eşitliğini sağlayan xx değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Denklemi sağlayan x değeri 9'dur.
Verilen denklemde önce dağılma özelliği uygulanarak 3(x+2)3(x + 2) ifadesi 3x+63x + 6 haline getirilir. Ardından xx'li terimler sol tarafta, sabit sayılar sağ tarafta toplanarak 2x=182x = 18 eşitliği elde edilir. Son olarak 1818 sayısı 22'ye bölünerek x=9x = 9 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin sağ tarafındaki parantezi dağıtma özelliğini kullanarak açın.
5x−12=3x+65x - 12 = 3x + 6
Parantez dışındaki 3 çarpanı, parantez içindeki hem xx hem de +2+2 ile çarpılmalıdır.
2
Bilinmeyenleri (xx'li terimleri) bir tarafa, sabit sayıları diğer tarafa toplayın.
5x−3x=6+125x - 3x = 6 + 12
Terimler eşitliğin karşı tarafına geçerken işaret değiştirir (+3x+3x karşıya −3x-3x, −12-12 karşıya +12+12 olarak geçer).
3
Eşitliğin her iki tarafındaki işlemleri yaparak denklemi sadeleştirin.
2x=182x = 18
5x−3x=2x5x - 3x = 2x ve 6+12=186 + 12 = 18 olduğu için.
4
Bilinmeyeni (xx) yalnız bırakmak için her iki tarafı xx'in katsayısına bölün.
x=9x = 9
18 sayısı 2'ye bölündüğünde sonuç 9 çıkar.

Key Concept

Birinci dereceden denklemlerde terimlerin işaret değiştirerek karşıya geçmesi ve dağılma özelliği.

Hints

1
İşleme sağ taraftaki parantezi açarak başlayın. 3 sayısını parantez içindekilerle çarpmayı unutmayın.
2
Bilinmeyenleri bir tarafa toplarken terimlerin işaretlerine dikkat edin; 3x3x karşıya −3x-3x olarak geçer.
3
Elde ettiğiniz 2x=182x = 18 ifadesinde xx'i bulmak için 18'i 2'ye bölün.

Practice More

Benzer şekilde rasyonel katsayılı denklemleri çözerek becerini geliştirebilirsin.

Alternative Method

Denklemdeki seçenekleri xx yerine koyarak eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edebilirsiniz. Örneğin x=9x=9 için; 5(9)−12=45−12=335(9) - 12 = 45 - 12 = 33 ve 3(9+2)=3(11)=333(9 + 2) = 3(11) = 33 olur, eşitlik sağlandığı için doğru cevaptır.
Estimated Time:45s
Question 22Question →

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler, içerisinde değişkenin (bilinmeyenin) birinci kuvvetinin bulunduğu ve eşitlik içeren matematiksel ifadelerdir. Bu denklemleri çözerken temel amaç, bilinmeyeni eşitliğin bir tarafında yalnız bırakmaktır.

Buna göre,
2x+10=2 2x + 10 = 2
denklemini sağlayan xx değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: -4

Answer

-4 sayısı denklemi sağlayan değerdir.
Verilen denklemde +10+10 ifadesi eşitliğin sağına −10-10 olarak geçer. 2−10=−82 - 10 = -8 elde edilir. Ardından 2x=−82x = -8 eşitliğinde her iki taraf 22'ye bölündüğünde x=−4x = -4 sonucu bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Sabit terimi eşitliğin diğer tarafına geçirin.
2x=2−102x = 2 - 10
Bilinmeyeni yalnız bırakmak için +10+10 sayısı karşı tarafa işaret değiştirerek −10-10 olarak geçer.
2
Eşitliğin sağ tarafındaki çıkarma işlemini yapın.
2x=−82x = -8
22 sayısından 1010 çıkarıldığında fark −8-8 olur.
3
Her iki tarafı bilinmeyenin katsayısına bölün.
x=−4x = -4
xx değerini bulmak için her iki taraf 22 sayısına bölünür; −8/2=−4-8 / 2 = -4 bulunur.

Key Concept

Birinci dereceden denklemlerde terimlerin eşitliğin diğer tarafına işaret değiştirerek geçmesi kuralı.

Hints

1
Denklemi çözerken xx harfini eşitliğin bir tarafında tek başına bırakmaya çalışın.
2
Eşitliğin sol tarafındaki +10+10 sayısını sağ tarafa −10-10 olarak geçirin ve işlemi yapın.
3
2x=−82x = -8 ifadesine ulaştığınızda, her iki tarafı xx'in önündeki sayıya bölün.

Practice More

Benzer şekilde rasyonel katsayılı denklemlerin çözüm mantığını pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Denklemdeki her terimi baştan 22'ye bölerek de başlayabilirsiniz: x+5=1x + 5 = 1. Buradan x=1−5=−4x = 1 - 5 = -4 bulunur.
Estimated Time:45s
Question 23Question →

Doğrusal bir zemin üzerindeki A, B ve C noktaları için B noktasının A ile C arasında olduğu bilinmektedir.

Bu noktalar arasındaki uzaklıklar;
∣AB∣=3x−2 birim |AB| = 3x - 2 \text{ birim}
∣BC∣=2x+1 birim |BC| = 2x + 1 \text{ birim}
∣AC∣=6x−7 birim |AC| = 6x - 7 \text{ birim}
şeklinde tanımlanmıştır.

Buna göre, ∣BC∣|BC| uzunluğu kaç birimdir?

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

Doğrusal noktalarda parça uzunlukları toplamı bütüne eşittir mantığıyla kurulan denklemden elde edilen 13 birim
B noktası A ve C arasında olduğu için ∣AB∣+∣BC∣=∣AC∣|AB| + |BC| = |AC| eşitliği sağlanmalıdır. Verilen cebirsel ifadeler bu eşitlikte yerine konulduğunda 3x−2+2x+1=6x−73x - 2 + 2x + 1 = 6x - 7 denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde x=6x=6 bulunur. Soruda ∣BC∣|BC| uzunluğu istendiği için 2x+12x+1 ifadesinde x yerine 6 yazılarak 2(6)+1=132(6)+1=13 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen geometrik ilişkiyi matematiksel denkleme dök
∣AC∣=∣AB∣+∣BC∣⇒6x−7=(3x−2)+(2x+1)|AC| = |AB| + |BC| \Rightarrow 6x - 7 = (3x - 2) + (2x + 1)
B noktası A ile C arasında olduğundan, parçaların toplamı bütün uzunluğa eşittir.
2
Denklemin sağ tarafını düzenle
6x−7=5x−16x - 7 = 5x - 1
Benzer terimler (3x+2x3x+2x ve −2+1-2+1) toplanır.
3
Birinci dereceden denklemi çözerek x değerini bul
6x−5x=−1+7⇒x=66x - 5x = -1 + 7 \Rightarrow x = 6
Bilinenler bir tarafa, bilinmeyenler diğer tarafa toplanır.
4
Bulunan x değerini istenen |BC| ifadesinde yerine yaz
∣BC∣=2(6)+1=12+1=13|BC| = 2(6) + 1 = 12 + 1 = 13 birim
Soru kökünde x değeri değil, |BC| uzunluğu sorulmaktadır.

Key Concept

Geometrik ilişkilerin cebirsel denklemlere dönüştürülmesi ve çözüm kümesi

Hints

1
B noktası A ile C arasında olduğuna göre, AB ve BC uzunluklarının toplamı AC uzunluğuna eşit olmalıdır.
2
Verilen cebirsel ifadeleri (3x−2)+(2x+1)=6x−7(3x - 2) + (2x + 1) = 6x - 7 şeklinde bir denkleme dönüştürün.
3
Denklemi çözüp x değerini 6 olarak bulduktan sonra, bu değeri |BC| = 2x + 1 ifadesinde yerine yazmayı unutmayın.

Practice More

Benzer mantıkla, orta nokta kavramının kullanıldığı ve rasyonel denklem içeren sorular çözülebilir.

Alternative Method

Şıklardan gidilerek de çözüm yapılabilir ancak x tam sayı olduğu için denklem çözümü daha garantidir.
Estimated Time:1m 30s
Question 24Question →

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler konusunu pekiştirmek isteyen bir aday, aşağıdaki denklemin çözümünü yaparken belirli adımlar izlemiştir:

Verilen Denklem:
2(3x−1)−3(2x−4)=4−x 2(3x - 1) - 3(2x - 4) = 4 - x

İzlenen Adımlar:

I. Adım: 6x−2−6x+12=4−x 6x - 2 - 6x + 12 = 4 - x
II. Adım: (6x−6x)+(−2+12)=4−x (6x - 6x) + (-2 + 12) = 4 - x
III. Adım: 10=4−x 10 = 4 - x
IV. Adım: x=10−4 x = 10 - 4
V. Adım: x=6 x = 6

Buna göre, aday ilk hatayı hangi adımda yapmıştır?

Show answer & explanation

Answer: IV. Adım

Answer

Hata IV. Adım'da yapılmıştır.
IV. Adım'da eşitlik prensibi ihlal edilmiştir. 10=4−x10 = 4 - x denkleminde bilinmeyeni (xx) bulmak için −x-x eşitliğin diğer tarafına +x+x olarak, 1010 sayısı ise diğer tarafa −10-10 olarak geçmelidir. Bu durumda doğru işlem x=4−10x = 4 - 10 olmalı ve sonuç −6-6 çıkmalıdır. Aday ise x=10−4x = 10 - 4 yazarak terimlerin işaret veya yer değişiminde hata yapmıştır.

Step-by-Step Solution

1
I. Adımı kontrol et
Doğru
Parantez önündeki katsayılar içeriye doğru dağıtılmıştır: 2(3x)=6x2(3x)=6x, 2(−1)=−22(-1)=-2, −3(2x)=−6x-3(2x)=-6x, −3(−4)=+12-3(-4)=+12.
2
II. Adımı kontrol et
Doğru
Benzer terimler (6x6x ile −6x-6x ve −2-2 ile 1212) kendi aralarında gruplandırılmıştır.
3
III. Adımı kontrol et
Doğru
6x−6x=06x - 6x = 0 ve −2+12=10-2 + 12 = 10 işlemleri yapılarak sol taraf 1010 bulunmuştur. Denklem 10=4−x10 = 4 - x halini almıştır.
4
IV. Adımı kontrol et
Hatalı
Elde edilen 10=4−x10 = 4 - x denkleminde xx yalnız bırakılmak istendiğinde; −x-x sol tarafa +x+x olarak geçer, 1010 ise sağ tarafa −10-10 olarak geçer. Doğru işlem x=4−10x = 4 - 10 olmalıydı. Aday burada xx'i pozitif yaparken sayıların yerini veya işaretini yanlış düzenlemiştir.

Key Concept

Birinci Dereceden Denklemler ve Eşitlik Özellikleri

Hints

1
Eşitliğin her iki tarafındaki terimler yer değiştirdiğinde işaretlerinin nasıl değiştiğini kontrol edin.

Practice More

Bilinmeyenin negatif katsayıya sahip olduğu basit denklemler (5=2−x5 = 2 - x gibi) üzerinde pratik yapın.
Estimated Time:1m 30s
Question 25Question →

Birinci dereceden denklemler konusunu çalışan bir öğrenci, aşağıdaki soruyu çözerken belirli adımlar izlemiştir.

2(x−1)−x+23=x2(x-1) - \frac{x+2}{3} = x

Öğrencinin çözüm adımları şöyledir:

I. Adım: Eşitliğin her iki tarafındaki terimlerin paydaları 3'te eşitlenmiştir:
6(x−1)3−x+23=3x3\frac{6(x-1)}{3} - \frac{x+2}{3} = \frac{3x}{3}
II. Adım: Paydalar atılarak denklem düzenlenmiştir:
6(x−1)−(x+2)=3x6(x-1) - (x+2) = 3x
III. Adım: Parantezler dağıtılmıştır:
6x−6−x+2=3x6x - 6 - x + 2 = 3x
IV. Adım: Benzer terimler toplanmıştır:
5x−4=3x5x - 4 = 3x
V. Adım: Bilinenler ve bilinmeyenler ayrılıp sonuç bulunmuştur:
2x=4  ⟹  x=22x = 4 \implies x = 2

Buna göre, öğrenci ilk hatayı hangi adımda yapmıştır?

Show answer & explanation

Answer: III. Adım

Answer

III. Adım
Doğru cevap 'III. Adım'dır. II. adımdaki 6(x−1)−(x+2)6(x-1) - (x+2) ifadesi açılırken, eksi işareti parantez içindeki her iki terime de dağıtılmalıdır. Yani −(x+2)-(x+2) ifadesi −x−2-x - 2 olmalıdır. Ancak öğrenci bunu −x+2-x + 2 olarak yazarak işaret hatası yapmıştır.

Step-by-Step Solution

1
I. ve II. adımları kontrol et.
I. adımda paydalar doğru eşitlenmiş (3×2(x−1)3 \times 2(x-1) ve 3×x3 \times x). II. adımda paydalar doğru atılmıştır.
Denklem çözümüne başlarken payda eşitleme ve sadeleştirme işlemleri doğru yapılmıştır.
2
III. adımı (parantez açma) kontrol et.
İfade: 6(x−1)−(x+2)6(x-1) - (x+2). Doğru dağılım: 6x−6−x−26x - 6 - x - 2. Öğrencinin yazdığı: 6x−6−x+26x - 6 - x + 2.
Kesir çizgisinin önündeki eksi işareti, paydaki tüm terimlere etki etmelidir. −(x+2)-(x+2) işlemi −x−2-x-2 sonucunu verir. Öğrenci işareti +2+2 olarak bırakarak hata yapmıştır.
3
Sonucu belirle.
İlk hata III. adımda yapılmıştır.
İşaret hatası sonucu değiştirmiştir.

Key Concept

İşlem Önceliği ve İşaret Dağılımı

Hints

1
Kesir çizgisinin önündeki eksi işaretinin, paydaki ifadenin tamamına (parantez içindeymiş gibi) etki ettiğini unutmayın.

Practice More

İçinde eksi işaretli parantezlerin bulunduğu daha karmaşık denklemler çözülmelidir.
Estimated Time:2m 0s
Question 26Question →

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde temel amaç, bilinmeyeni eşitliğin bir tarafında yalnız bırakarak değerini hesaplamaktır.

Buna göre, 2x+6=142x + 6 = 14 denklemini sağlayan xx değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Denklemi sağlayan x değeri 4'tür.
Verilen denklemde önce +6 sayısı karşıya -6 olarak atılır. 14'ten 6 çıkarıldığında 8 kalır. Elde edilen 2x = 8 eşitliğinde x'i bulmak için her iki taraf 2'ye bölünür. 8'in 2'ye bölümü olan 4 değeri denklemin köküdür.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin sol tarafında bulunan +6 sayısını, işaretini değiştirerek (-6 olarak) sağ tarafa gönderin.
2x = 14 - 6 => 2x = 8
Bilinmeyenli terimi yalnız bırakmak için sabit terimler eşitliğin karşı tarafına ters işaretle geçer.
2
Eşitliğin her iki tarafını x'in katsayısı olan 2'ye bölün.
x = 8 / 2 => x = 4
Çarpım durumundaki bir katsayı, karşı tarafa bölme işlemi olarak geçerek bilinmeyenin tek başına kalmasını sağlar.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem çözme

Hints

1
Denklemi bir terazi gibi düşünün; x'i bulmak için yanındaki sayılardan kurtulmalısınız.
2
+6 sayısı eşitliğin karşı tarafına geçerken işareti tersine döner ve -6 olur.
3
2x = 8 aşamasına geldiğinizde, x'i tek başına bırakmak için her iki tarafı 2'ye bölmeniz gerekir.

Practice More

Bu mantığı pekiştirmek için 3x - 4 = 11 denklemini çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Değer verme yöntemiyle seçeneklerdeki sayıları denklemde x yerine koyarak eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edebilirsiniz. Örneğin 4 değerini koyduğunuzda 2(4) + 6 = 8 + 6 = 14 sağlandığını görürsünüz.
Estimated Time:45s
Question 27Question →

xx gerçel sayısı için

3(2x−1)−4(x+2)=x+22 3(2x - 1) - 4(x + 2) = \frac{x + 2}{2}

eşitliği verildiğine göre, xx değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Verilen denklemde gerekli dağıtma ve sadeleştirme işlemleri yapıldığında xx değeri 8 olarak bulunur.
Denklemdeki parantezler kurallara uygun şekilde açılıp benzer terimler birleştirildikten sonra, içler-dışlar çarpımı yardımıyla paydadan kurtulunmuş ve xx değeri yalnız bırakılarak 8 sonucu elde edilmiştir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin sol tarafındaki parantezleri dağıtın.
6x−3−4x−8=x+226x - 3 - 4x - 8 = \frac{x+2}{2}
Çarpma işleminin çıkarma ve toplama üzerine dağılma özelliğini uygulamak gerekir.
2
Sol taraftaki benzer terimleri (değişkenler ve sabit sayılar) birleştirin.
2x−11=x+222x - 11 = \frac{x+2}{2}
Denklemi sadeleştirerek işlem kolaylığı sağlamak hedeflenir.
3
Eşitliğin her iki tarafını paydada bulunan 2 sayısı ile çarpın (İçler-dışlar çarpımı).
2(2x−11)=x+2  ⟹  4x−22=x+22(2x - 11) = x + 2 \implies 4x - 22 = x + 2
Rasyonel ifadeden kurtularak doğrusal bir denklem elde etmek gerekir.
4
Bilinmeyenleri (xx) eşitliğin bir tarafına, sabit sayıları diğer tarafına toplayın.
4x−x=2+22  ⟹  3x=244x - x = 2 + 22 \implies 3x = 24
Değişkeni yalnız bırakmak için terim taşıma kuralı uygulanır.
5
Her iki tarafı 3'e bölerek xx değerini bulun.
x=8x = 8
Bilinmeyenin katsayısını 1 yaparak nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde dağılma özelliği ve rasyonel ifadelerin çözümü.

Hints

1
Öncelikle parantezlerin önündeki sayıları parantez içine dağıtarak işe başlayın.
2
Elde ettiğiniz 2x−11=(x+2)/22x - 11 = (x+2)/2 ifadesinde bölü durumundaki 2'yi karşı tarafa çarpım olarak geçirin.
3
4x−22=x+24x - 22 = x + 2 denkleminde xx'li terimleri bir tarafa, sayıları diğer tarafa toplayarak çözümü bitirin.

Practice More

Değişkenin hem payda hem de pay kısmında olduğu rasyonel denklemleri çözerek bu beceriyi pekiştirebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 28Question →

Bir matematik öğretmeni, tahtaya aşağıdaki denklemi yazmış ve bir öğrencisinden bu denklemi adım adım çözmesini istemiştir.

2(x−1)3−x−24=1 \frac{2(x-1)}{3} - \frac{x-2}{4} = 1

Öğrencinin çözüm adımları şöyledir:

I. Adım: 8(x−1)12−3(x−2)12=1212 \frac{8(x-1)}{12} - \frac{3(x-2)}{12} = \frac{12}{12}
II. Adım: 8(x−1)−3(x−2)=12 8(x-1) - 3(x-2) = 12
III. Adım: 8x−8−3x−6=12 8x - 8 - 3x - 6 = 12
IV. Adım: 5x−14=12 5x - 14 = 12
V. Adım: 5x=26⇒x=265 5x = 26 \Rightarrow x = \frac{26}{5}

Buna göre, öğrenci ilk hatayı kaçıncı adımda yapmıştır?

Show answer & explanation

Answer: III

Answer

Öğrenci ilk hatayı III. adımda yapmıştır.
Doğru cevap III. adımdır. II. adımda elde edilen 8(x−1)−3(x−2)=128(x-1) - 3(x-2) = 12 ifadesi açılırken, −3-3 katsayısı parantez içindeki −2-2 ile çarpıldığında sonuç +6+6 olmalıdır. Ancak öğrenci bu çarpımı −6-6 olarak yazarak işaret hatası yapmıştır. Doğru açılım 8x−8−3x+6=128x - 8 - 3x + 6 = 12 şeklinde olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
I. ve II. Adımları kontrol et
I. adımda paydalar doğru eşitlenmiş (12), II. adımda paydalar doğru atılmıştır.
Eşitliğin her iki tarafı aynı sayı ile çarpıldığında eşitlik bozulmaz.
2
III. Adımı analiz et (Dağılma özelliği)
−3(x−2)-3(x-2) ifadesinin açılımı −3x+6-3x + 6 olmalıdır.
Negatif bir katsayı parantez içine dağıtılırken, parantez içindeki her terimin işareti değişir (−3×−2=+6-3 \times -2 = +6).
3
Hatayı tespit et
Öğrenci −3x−6-3x - 6 yazarak işaret hatası yapmıştır.
Eksi ile eksinin çarpımının artı olduğu gözden kaçırılmıştır.

Key Concept

Dağılma Özelliği ve İşaret Yönetimi

Hints

1
Parantez önündeki katsayı negatif olduğunda, bu katsayıyı parantez içindeki tüm terimlerle çarparken işaretlere dikkat edin.

Practice More

İç içe parantezlerin ve negatif katsayıların olduğu benzer denklemler çözülmelidir.
Estimated Time:1m 30s
Question 29Question →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı,
3(x−x−12)=2(x+1−2x3)+1 3 \left( x - \frac{x-1}{2} \right) = 2 \left( x + \frac{1-2x}{3} \right) + 1
denklemini sağlayan xx değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 1/5

Answer

Denklemi sağlayan x değeri 1/5 olarak bulunur.
Denklemin sol tarafı sadeleştirildiğinde (3x+3)/2(3x+3)/2, sağ tarafı sadeleştirildiğinde (2x+5)/3(2x+5)/3 elde edilir. Bu iki ifade birbirine eşitlenip içler dışlar çarpımı yapıldığında 9x+9=4x+109x+9=4x+10 denklemi oluşur. Buradan 5x=15x=1 ve x=1/5x=1/5 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin sol tarafındaki parantez içini sadeleştirin.
x−x−12=2x−(x−1)2=2x−x+12=x+12x - \frac{x-1}{2} = \frac{2x - (x-1)}{2} = \frac{2x - x + 1}{2} = \frac{x+1}{2}
Parantez içindeki çıkarma işlemini yapmak için payda eşitlemek gerekir.
2
Eşitliğin sağ tarafındaki parantez içini sadeleştirin.
x+1−2x3=3x+1−2x3=x+13x + \frac{1-2x}{3} = \frac{3x + 1 - 2x}{3} = \frac{x+1}{3}
Sağ taraftaki rasyonel ifadeyi tek payda altında toplamak işlemleri kolaylaştırır.
3
Sadeleştirilmiş ifadeleri ana denklemde yerine koyun ve katsayıları dağıtın.
3⋅(x+12)=2⋅(x+13)+1⇒3x+32=2x+23+13 \cdot \left( \frac{x+1}{2} \right) = 2 \cdot \left( \frac{x+1}{3} \right) + 1 \Rightarrow \frac{3x+3}{2} = \frac{2x+2}{3} + 1
Katsayılar parantez içindeki pay ile çarpılır.
4
Sağ taraftaki toplama işlemini tamamlayın ve içler dışlar çarpımı yapın.
3x+32=2x+2+33⇒3x+32=2x+53⇒3(3x+3)=2(2x+5)\frac{3x+3}{2} = \frac{2x+2+3}{3} \Rightarrow \frac{3x+3}{2} = \frac{2x+5}{3} \Rightarrow 3(3x+3) = 2(2x+5)
Denklemi doğrusal hale getirmek için rasyonel ifadelerden kurtulmak gerekir.
5
Denklemi çözerek x değerini bulun.
9x+9=4x+10⇒9x−4x=10−9⇒5x=1⇒x=1/59x + 9 = 4x + 10 \Rightarrow 9x - 4x = 10 - 9 \Rightarrow 5x = 1 \Rightarrow x = 1/5
Bilinmeyenler bir tarafa, sabit sayılar diğer tarafa toplanarak çözüm elde edilir.

Key Concept

Rasyonel katsayılı birinci dereceden denklemlerde payda eşitleme ve işaret dağıtma kuralları.
Estimated Time:1m 30s
Question 30Question →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı △\triangle ve ◯\bigcirc işlemleri için aşağıdaki tanımlar verilmiştir.

[Visual Hint: Definitions of the operations]

Buna göre, △(◯(1))=◯(△(2))\triangle(\bigcirc(1)) = \bigcirc(\triangle(2)) eşitliğini sağlayan mm gerçel sayısı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: -2

Answer

Eşitliği sağlayan m değeri -2'dir.
Verilen tanımlara göre adım adım işlem yapıldığında; sol taraf 18−m18-m, sağ taraf ise 16−2m16-2m olarak bulunur. Bu iki ifadenin eşitliğinden m=−2m = -2 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin sol tarafındaki iç işlemi hesapla.
◯(1)=2(1)+4=6\bigcirc(1) = 2(1) + 4 = 6
Önce parantez içindeki daire işlemi uygulanır.
2
Eşitliğin sol tarafındaki dış işlemi hesapla.
△(6)=3(6)−m=18−m\triangle(6) = 3(6) - m = 18 - m
Bulunan 6 değeri üçgen kuralına göre işlenir.
3
Eşitliğin sağ tarafındaki iç işlemi hesapla.
△(2)=3(2)−m=6−m\triangle(2) = 3(2) - m = 6 - m
Önce parantez içindeki üçgen işlemi uygulanır.
4
Eşitliğin sağ tarafındaki dış işlemi hesapla.
◯(6−m)=2(6−m)+4=12−2m+4=16−2m\bigcirc(6 - m) = 2(6 - m) + 4 = 12 - 2m + 4 = 16 - 2m
Bulunan (6-m) ifadesi daire kuralına göre işlenir. 2 katsayısının parantez içine dağıtılmasına dikkat edilmelidir.
5
Elde edilen iki ifadeyi eşitle ve denklemi çöz.
18−m=16−2m⇒2m−m=16−18⇒m=−218 - m = 16 - 2m \Rightarrow 2m - m = 16 - 18 \Rightarrow m = -2
Birinci dereceden denklem çözülerek bilinmeyen bulunur.

Key Concept

Özel Tanımlı İşlemler ve Bileşke Fonksiyon Mantığı ile Denklem Çözme

Hints

1
Önce eşitliğin her iki tarafındaki 'iç' işlemleri (parantez içlerini) hesaplayarak başlayın.
2
Sol tarafta ◯(1)\bigcirc(1) değerini bulup üçgen kuralına koyun. Sağ tarafta △(2)\triangle(2) değerini bulup daire kuralına koyun. Daire kuralını uygularken (6−m)(6-m) ifadesini parantez içinde yazmayı unutmayın.
3
Sağ taraftaki işlemde 2(6−m)+42(6-m) + 4 ifadesini açarken 2'yi hem 6 ile hem de -m ile çarpmalısınız. Denklem 18−m=16−2m18 - m = 16 - 2m h haline gelecektir.

Practice More

Benzer mantıkla, xx değişkeninin her iki tarafta da olduğu ve 'her x gerçel sayısı için sağlanır' koşulunu içeren denklemleri inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Denklemi mm parametresine bağlı fonksiyonlar olarak yazıp f(g(1))=g(f(2))f(g(1)) = g(f(2)) şeklinde bileşke fonksiyon kuralı ile de çözebilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Question 31Question →

Uzunluğu sabit olan bir metal tel, hiç artmayacak şekilde bükülerek bir kare elde ediliyor. Aynı tel düzeltilip tekrar bükülerek bir düzgün altıgen elde edildiğinde, kenar uzunluğunun kareye göre 55 cm daha kısa olduğu görülüyor. Buna göre, kullanılan telin toplam uzunluğu kaç cm'dir?

Show answer & explanation

Answer: 60

Answer

Telin toplam uzunluğu 60 cm'dir.
Soruda aynı telin iki farklı geometrik şekle (kare ve düzgün altıgen) dönüştürülmesi anlatılmaktadır. Telin uzunluğu değişmediği için iki şeklin çevresi eşittir. Karenin bir kenarına xx denilirse çevresi 4x4x, düzgün altıgenin bir kenarı (x−5)(x-5) olacağından çevresi 6(x−5)6(x-5) olur. Bu iki ifade eşitlendiğinde (4x=6x−304x = 6x - 30) karenin kenarı 15 cm, telin toplam uzunluğu ise 60 cm bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Karenin bir kenar uzunluğuna xx diyelim. Bu durumda telin toplam uzunluğu karenin çevresine, yani 4x4x'e eşit olur.
Tel Uzunluğu = 4x4x
Karenin çevresi 4 kenarının toplamıdır.
2
Düzgün altıgenin kenar uzunluğu, karenin kenar uzunluğundan 5 cm kısa olduğuna göre, altıgenin bir kenarı (x−5)(x-5) cm olur. Telin uzunluğu altıgenin çevresine de eşittir.
Tel Uzunluğu = 6(x−5)6(x-5)
Düzgün altıgenin çevresi 6 kenarının toplamıdır.
3
Telin uzunluğu sabit olduğundan iki ifadeyi birbirine eşitleyip denklemi çözelim.
4x=6(x−5)4x = 6(x-5)
Aynı tel kullanıldığı için çevre uzunlukları eşittir.
4
Denklemi çözelim: 4x=6x−30⇒30=2x⇒x=154x = 6x - 30 \Rightarrow 30 = 2x \Rightarrow x = 15.
Karenin kenarı x=15x = 15 cm
Birinci dereceden denklem çözümü.
5
Telin toplam uzunluğunu bulmak için xx değerini yerine yazalım: 4×154 \times 15.
6060 cm
Sonuç hesabı.

Key Concept

Birinci Dereceden Denklemlerle Geometrik Problemlerin Modellenmesi

Hints

1
Telin uzunluğu her iki durumda da aynıdır. Karenin 4, düzgün altıgenin 6 kenarı olduğunu hatırlayınız.
2
Karenin bir kenarına xx cm derseniz, telin uzunluğu 4x4x olur. Altıgenin bir kenarı bundan 5 cm kısadır.

Practice More

Benzer bir soruyu çevre uzunlukları yerine alan ilişkileri üzerinden kurgulayarak ikinci dereceden denklemlere geçiş yapabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 32Question →
xx değişkenine bağlı
ax−2−1x+1=2x2−x−2\frac{a}{x-2} - \frac{1}{x+1} = \frac{2}{x^2-x-2}
denkleminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, aa gerçel sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 53\frac{5}{3}

Answer

a sayısının alabileceği değerler 1 ve 2/3 olup, bunların toplamı 5/3 tür.
Çözüm kümesinin boş olması iki durumda mümkündür: 1) Değişkenin yok olması ve geriye yanlış bir eşitlik kalması (a=1a=1 durumu), 2) Bulunan kökün paydayı sıfır yaparak tanımsız olması (a=2/3a=2/3 durumu). Bu değerlerin toplamı 5/35/3'tür.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemdeki paydalar incelenir ve ortak payda belirlenir.
x2−x−2=(x−2)(x+1)x^2-x-2 = (x-2)(x+1) olduğundan, sol taraftaki kesirlerin paydaları eşitlenerek ifade düzenlenir: a(x+1)−1(x−2)(x−2)(x+1)=2(x−2)(x+1)\frac{a(x+1) - 1(x-2)}{(x-2)(x+1)} = \frac{2}{(x-2)(x+1)}
Rasyonel denklemlerde işlem yapabilmek için paydaların eşitlenmesi gerekir.
2
Paydalar eşit olduğu için paylar birbirine eşitlenir ve denklem düzenlenir. (Tanım kümesi: x≠2x \neq 2 ve x≠−1x \neq -1)
ax+a−x+2=2⇒(a−1)x+a=0⇒(a−1)x=−aax + a - x + 2 = 2 \Rightarrow (a-1)x + a = 0 \Rightarrow (a-1)x = -a
Birinci dereceden denklem formuna (Ax=BAx = B) getirilerek çözüm analizi yapılır.
3
Çözüm kümesinin boş küme olması için gereken 1. Durum (Katsayıların Sıfırlanması) incelenir.
xx'in katsayısı 00 ve sonuç 00'dan farklı olmalıdır. a−1=0⇒a=1a-1=0 \Rightarrow a=1. Bu durumda denklem 0=−10 = -1 olur, çözüm yoktur. Yani a=1a=1 bir değerdir.
0x=k0x = k (k≠0k \neq 0) formatındaki denklemlerin çözüm kümesi boş kümedir.
4
Çözüm kümesinin boş küme olması için gereken 2. Durum (Tanımsızlık) incelenir.
Bulunan xx değeri paydayı sıfır yapıyorsa çözüm kümesine dahil edilemez. x=−aa−1x = \frac{-a}{a-1}. Paydayı sıfır yapan değerler 22 ve −1-1'dir.
x=2x=2 için: −aa−1=2⇒−a=2a−2⇒3a=2⇒a=2/3\frac{-a}{a-1} = 2 \Rightarrow -a = 2a-2 \Rightarrow 3a=2 \Rightarrow a=2/3.
x=−1x=-1 için: −aa−1=−1⇒−a=−a+1\frac{-a}{a-1} = -1 \Rightarrow -a = -a+1 (Çözüm yok).
Denklemi sağlayan kök, başlangıçtaki paydayı sıfır yapıyorsa bu kök çözüm kümesine alınmaz, dolayısıyla küme boş kalır.
5
Bulunan uygun aa değerleri toplanır.
aa değerleri 11 ve 23\frac{2}{3}'tür. Toplam: 1+23=531 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} bulunur.
Soruda aa'nın alabileceği değerlerin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde çözüm kümesinin boş küme olması için ya 0x=k(k≠0)0x=k (k \neq 0) durumu oluşmalı ya da bulunan kök tanım kümesi dışında (paydayı sıfır yapan değer) olmalıdır.

Hints

1
Denklemdeki rasyonel ifadeleri toplamak için paydaları eşitleyin ve payları birbirine eşitleyerek doğrusal bir denklem (Ax+B=0Ax+B=0 formatında) elde edin.
2
Bir denklemin çözüm kümesi boşsa, iki ihtimal vardır: Ya 0x=k0x = k (k≠0k \neq 0) gibi bir çelişki oluşuyordur ya da bulunan xx değeri paydayı sıfır yaptığı için kabul edilemiyordur.
3
(a−1)x=−a(a-1)x = -a denklemini inceleyin. Katsayı sıfır olursa ne olur? Ayrıca, bu denklemin kökü olan xx, başlangıçtaki x−2x-2 paydasını sıfır yaparsa ne olur?
Estimated Time:2m 30s
Question 33Question →

Bir kamu personeli seçme sınavı denemesinde adaylara şu soru yöneltilmiştir:

3x+15=453x + 15 = 45

Buna göre, bu denklemi sağlayan xx değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Verilen denklemi sağlayan x değeri 10'dur.
Verilen 3x+15=453x + 15 = 45 denkleminde, önce +15+15 sayısı karşı tarafa −15-15 olarak geçirilir. Bu durumda 3x=303x = 30 elde edilir. Daha sonra xx değerini bulmak için 3030 sayısı 33'e bölünür ve x=10x = 10 sonucuna ulaşılır. Bu değer denklemi sağlayan doğru köktür.

Step-by-Step Solution

1
Bilinmeyeni yalnız bırakmak için +15+15 sayısını eşitliğin sağ tarafına geçirelim.
3x=45−153x = 45 - 15
Eşitliğin bir tarafındaki toplama işlemi durumundaki sayı, diğer tarafa çıkarma işlemi (işaret değiştirerek) olarak geçer.
2
Eşitliğin sağ tarafındaki çıkarma işlemini yapalım.
3x=303x = 30
4545'den 1515 çıkarıldığında 3030 elde edilir.
3
xx değerini bulmak için her iki tarafı xx'in katsayısı olan 33'e bölelim.
x=303=10x = \frac{30}{3} = 10
xx'i tamamen yalnız bırakmak için çarpım durumundaki 33 sayısını bölü olarak karşıya geçirmemiz gerekir.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde temel amaç, bilinmeyeni (x) eşitliğin bir tarafında yalnız bırakmaktır.

Hints

1
xx sayısını yalnız bırakmak için önce yanındaki toplama işlemini tersine çevirmeyi deneyin.
2
+15+15 sayısı karşı tarafa nasıl geçer? Eşitliğin sağ tarafında hangi işlemi yapmalısınız?
3
3x=303x = 30 eşitliğini elde ettikten sonra her iki tarafı 33'e bölerek sonuca ulaşabilirsiniz.

Practice More

Buna benzer bir sonraki adım olarak, bilinmeyenin her iki tarafta olduğu (örneğin 2x+5=x+122x + 5 = x + 12) denklemleri çözmeye çalışabilirsiniz.

Alternative Method

Denklemi çözmek yerine seçenekleri xx yerine koyarak hangisinin 4545 sonucunu verdiğini kontrol edebilirsiniz: 3×10+15=30+15=453 \times 10 + 15 = 30 + 15 = 45.
Estimated Time:45s
Question 34Question →
Aşağıda verilen birinci dereceden denklemde xx bir gerçel sayıyı temsil etmektedir:
4(x−2)−3(x+1)=−54(x - 2) - 3(x + 1) = -5
Buna göre, bu denklemi sağlayan xx değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Denklemi sağlayan xx değeri 6 olarak bulunur.
Denklemde parantezler katsayılar dağıtılarak açıldığında 4x−8−3x−3=−54x - 8 - 3x - 3 = -5 ifadesi elde edilir. Benzer terimler sadeleştirildiğinde x−11=−5x - 11 = -5 olur. Buradan −11-11 sayısı eşitliğin karşı tarafına +11+11 olarak geçtiğinde x=6x = 6 sonucuna ulaşılır. Bu değer denklemi sağlar.

Step-by-Step Solution

1
Parantezleri katsayıları dağıtarak açın.
4x−8−3x−3=−54x - 8 - 3x - 3 = -5
Çarpmanın toplama/çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliğini uygulayarak denklemi basitleştirmek gerekir.
2
Eşitliğin sol tarafındaki benzer terimleri (bilinmeyenler ve sabit sayılar) gruplandırın.
(4x−3x)+(−8−3)=−5⇒x−11=−5(4x - 3x) + (-8 - 3) = -5 \Rightarrow x - 11 = -5
Denklemi çözmek için terimleri sadeleştirmek gerekir.
3
Sabit terimi (-11) eşitliğin sağ tarafına geçirin.
x=−5+11⇒x=6x = -5 + 11 \Rightarrow x = 6
Bilinmeyeni (xx) yalnız bırakmak için sabit terimi karşı tarafa işareti değişecek şekilde (negatiften pozitife) taşırız.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde parantez açma ve terim taşıma kuralları.

Hints

1
Parantezlerin önündeki katsayıları içeriye dağıtırken hem sayıya hem de işaretine dikkat edin.
2
xx içeren terimleri kendi aralarında, sayıları kendi aralarında toplayarak denklemi x+a=bx + a = b formatına getirin.
3
x−11=−5x - 11 = -5 denklemini çözmek için −11-11 sayısını eşitliğin karşı tarafına +11+11 olarak geçirin.

Practice More

Rasyonel katsayılı birinci dereceden denklemlerle ilgili alıştırmalar yaparak işlem hızınızı artırabilirsiniz.

Alternative Method

Bulduğunuz sonuçları denklemde xx yerine koyarak denklemin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edebilirsiniz. Örneğin x=6x=6 için: 4(6−2)−3(6+1)=4(4)−3(7)=16−21=−54(6-2) - 3(6+1) = 4(4) - 3(7) = 16 - 21 = -5 olur, bu da sonucun doğruluğunu kanıtlar.
Estimated Time:1m 30s
Question 35Question →
3(2x−1)−4(x−2)=193(2x - 1) - 4(x - 2) = 19

Yukarıda verilen denklemi sağlayan xx değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Denklemi sağlayan değer 7'dir.
Verilen denklemde parantezler sırasıyla açıldığında 6x−3−4x+8=196x - 3 - 4x + 8 = 19 elde edilir. Benzer terimler düzenlendiğinde 2x+5=192x + 5 = 19 denklemi bulunur. Buradan 2x=142x = 14 ve x=7x = 7 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Parantezleri dağıt
6x−3−4x+8=196x - 3 - 4x + 8 = 19
Parantez dışındaki katsayılar, parantez içindeki her bir terimle çarpılır. İkinci parantezdeki -4 katsayısına dikkat edilmelidir.
2
Benzer terimleri topla
(6x−4x)+(−3+8)=19⇒2x+5=19(6x - 4x) + (-3 + 8) = 19 \Rightarrow 2x + 5 = 19
xx'li terimler kendi aralarında, sabit sayılar kendi aralarında işleme alınır.
3
Sabit terimi karşıya at
2x=19−5⇒2x=142x = 19 - 5 \Rightarrow 2x = 14
Bilinmeyeni yalnız bırakmak için +5 sayısı eşitliğin diğer tarafına -5 olarak geçer.
4
Her iki tarafı bilinmeyenin katsayısına böl
x=142=7x = \frac{14}{2} = 7
xx'in değerini bulmak için katsayısı olan 2'ye bölünür.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde çözüm kümesi bulunurken, parantezlerin doğru dağıtılması ve işaret kurallarına dikkat edilerek bilinmeyenin yalnız bırakılması esastır.
Question 36Question →
aa bir tam sayı olmak üzere,
x(2a−1)=7a+1 x(2a - 1) = 7a + 1
eşitliğini sağlayan xx değeri bir tam sayı olduğuna göre, aa'nın alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

a'nın alabileceği değerlerin toplamı 3'tür.
Verilen denklemde xx yalnız bırakıldığında x=7a+12a−1x = \frac{7a+1}{2a-1} elde edilir. Bu ifadenin tam sayı olması için payın paydaya bölünmesi gerekir. İşlemi kolaylaştırmak adına ifade 2 ile genişletilip polimom bölmesi yapıldığında 2x=7+92a−12x = 7 + \frac{9}{2a-1} bulunur. Buradan 2a−12a-1'in 9'un tam sayı bölenleri (−9,−3,−1,1,3,9-9, -3, -1, 1, 3, 9) olması gerektiği görülür. Bu denklemler çözüldüğünde aa değerleri −4,−1,0,1,2,5-4, -1, 0, 1, 2, 5 olarak bulunur ve toplamları 3'tür.

Step-by-Step Solution

1
x değişkenini a cinsinden ifade et
x=7a+12a−1 x = \frac{7a + 1}{2a - 1}
Denklem çözümünde istenen değişken yalnız bırakılarak analize hazırlanır.
2
Kesri tam sayılı kesre dönüştür veya payı paydanın katı şeklinde yaz (2 ile genişleterek bölmeyi kolaylaştır)
2x=14a+22a−1=7(2a−1)+92a−1=7+92a−1 2x = \frac{14a + 2}{2a - 1} = \frac{7(2a - 1) + 9}{2a - 1} = 7 + \frac{9}{2a - 1}
Değişkeni paydadan kurtararak tam sayı olma koşulunu (bölen analizi) daha kolay incelemek için.
3
Tam sayı olma koşulunu sağlayan bölenleri belirle
9 sayısının tam sayı bölenleri: {−9,−3,−1,1,3,9}\{-9, -3, -1, 1, 3, 9\}. 2a−12a-1 bu değerlere eşit olmalıdır.
İfadenin tam sayı olması için paydanın payı tam bölmesi gerekir.
4
Her bölen için a değerini hesapla
2a−1=−9⇒a=−42a-1 = -9 \Rightarrow a=-4
2a−1=−3⇒a=−12a-1 = -3 \Rightarrow a=-1
2a−1=−1⇒a=02a-1 = -1 \Rightarrow a=0
2a−1=1⇒a=12a-1 = 1 \Rightarrow a=1
2a−1=3⇒a=22a-1 = 3 \Rightarrow a=2
2a−1=9⇒a=52a-1 = 9 \Rightarrow a=5
Olası tüm a tam sayı değerlerini bulmak için.
5
Bulunan değerleri topla
(−4)+(−1)+0+1+2+5=3(-4) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 5 = 3
Soruda istenen nihai sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Parametreli denklemlerde tam sayı çözüm analizi ve polinom bölmesi.

Hints

1
Önce denklemde x'i yalnız bırakın ve a cinsinden bir kesir elde edin.
2
Kesirli ifadenin tam sayı olması için paydanın payı tam bölmesi gerekir. Payı paydaya benzeterek (polinom bölmesi yaparak) ifadeyi tam sayı ve basit kesir toplamı şeklinde yazmayı deneyin.

Alternative Method

Polinom bölmesi yerine 7a+1=k(2a−1)7a+1 = k(2a-1) diyerek a(7−2k)=−k−1a(7-2k) = -k-1 şeklinde aa'yı çekip kk değerlerini analiz etmek mümkündür ancak daha karmaşıktır.
Estimated Time:2m 0s
Question 37Question →

Bir terazinin sol kefesinde her birinin ağırlığı xx kg olan 2 adet özdeş kutu ve 9 kg'lık bir ağırlık, sağ kefesinde ise 21 kg'lık bir ağırlık bulunmaktadır. Terazi bu haliyle dengede olduğuna göre, bir adet xx kutusunun ağırlığı kaç kg'dır?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Bir adet xx kutusunun ağırlığı 6 kg'dır.
Terazi dengede olduğu için 2x+9=212x + 9 = 21 denklemi kurulur. Buradan 9 sayısı karşıya −9-9 olarak geçer ve 2x=122x = 12 elde edilir. Her iki taraf 2'ye bölündüğünde x=6x = 6 kg bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Terazinin denge durumunu matematiksel bir denklem olarak ifade edin.
2x+9=212x + 9 = 21
Sol kefedeki ağırlıkların toplamı, sağ kefedeki ağırlığa eşit olmalıdır.
2
+9+9 sayısını eşitliğin sağ tarafına geçirin.
2x=21−92x = 21 - 9
Bilinmeyeni (xx) yalnız bırakmak için sabit terimi karşı tarafa zıt işaretiyle (+9→−9+9 \rightarrow -9) göndeririz.
3
Eşitliğin sağ tarafındaki çıkarma işlemini yapın.
2x=122x = 12
Denklemi sadeleştirerek bilinmeyenin katsayısına ulaşırız.
4
Her iki tarafı xx'in katsayısı olan 2'ye bölün.
x=6x = 6
xx değerini tek başına bulmak için çarpım durumundaki katsayıyı bölü olarak karşıya göndeririz.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde terimlerin eşitliğin diğer tarafına işaret değiştirerek geçmesi ve bilinmeyenin yalnız bırakılması.

Hints

1
Terazinin dengede olması, her iki tarafın toplam ağırlığının birbirine eşit olduğu anlamına gelir.
2
Önce kutuların yanındaki 9 kg'lık fazlalığı her iki taraftan da çıkarmayı deneyin.
3
2 adet kutunun toplam ağırlığı 21−9=1221 - 9 = 12 kg ise, bir adet kutunun ağırlığını bulmak için bu değeri 2'ye bölmelisiniz.

Practice More

Bilinmeyenin katsayısının negatif olduğu (örneğin 10−2x=410 - 2x = 4) benzer bir denklem çözerek işaret değiştirme kuralını pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Deneme-yanılma yoluyla seçenekleri 2x+9=212x + 9 = 21 denkleminde yerine koyabilirsiniz. Örneğin x=6x = 6 için 2(6)+9=12+9=212(6) + 9 = 12 + 9 = 21 eşitliği sağlandığı görülür.
Estimated Time:45s
Question 38Question →
xx değişkenine bağlı
a(x−1)3+12=4x−b6+x \frac{a(x-1)}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4x - b}{6} + x
denkleminin çözüm kümesi tüm gerçel sayılar (R\mathbb{R}) olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Doğru cevap 12'dir.
Denklemin tüm gerçel sayılar için sağlanması, eşitliğin her iki tarafındaki x'li terimlerin katsayılarının birbirine ve sabit sayıların birbirine eşit olması demektir. İşlemler doğru yapıldığında a=5a=5 ve b=7b=7 bulunur, toplamları 12'dir.

Step-by-Step Solution

1
Denklemdeki paydaları eşitlemek için eşitliğin her iki tarafını 6 ile çarp.
2⋅[a(x−1)]+3⋅[1]=1⋅[4x−b]+6⋅[x] 2 \cdot [a(x-1)] + 3 \cdot [1] = 1 \cdot [4x - b] + 6 \cdot [x]
Kesirli ifadelerden kurtularak işlemi basitleştirmek için en küçük ortak kat (EKOK) kullanılır.
2
Parantezleri dağıt ve benzer terimleri düzenle.
2ax−2a+3=4x−b+6x 2ax - 2a + 3 = 4x - b + 6x
2ax+(3−2a)=10x−b 2ax + (3 - 2a) = 10x - b
x'li terimler ve sabit terimler gruplandırılarak katsayı eşitliği için hazırlanır.
3
Çözüm kümesinin tüm gerçel sayılar olması için x'in katsayılarını ve sabit terimleri eşitle.
x katsayıları: 2a=10⇒a=5 2a = 10 \Rightarrow a = 5
Sabit terimler: 3−2a=−b 3 - 2a = -b
Her x değeri için sağlanan denklemlerde (özdeşlik), eşitliğin iki tarafı tıpatıp aynı olmalıdır (0x=00x=0 durumu).
4
Bulunan a değerini yerine koyarak b'yi bul ve toplamı hesapla.
3−2(5)=−b⇒3−10=−b⇒−7=−b⇒b=7 3 - 2(5) = -b \Rightarrow 3 - 10 = -b \Rightarrow -7 = -b \Rightarrow b = 7
a+b=5+7=12 a + b = 5 + 7 = 12
a ve b değerleri bulunduktan sonra istenen toplam hesaplanır.

Key Concept

Bir denklemin çözüm kümesinin tüm gerçel sayılar olması için, düzenlenmiş halinin 0=00=0 (özdeşlik) biçiminde olması gerekir.

Hints

1
Denklemdeki kesirlerden kurtulmak için tüm terimleri paydaların en küçük ortak katı olan 6 ile çarpın.
2
Bir denklemin çözüm kümesinin 'tüm gerçel sayılar' olması, o denklemin bir özdeşlik olduğu anlamına gelir. Yani sol taraftaki x'in katsayısı sağ taraftakine, sabit terim de sabit terime eşit olmalıdır.
3
Düzenlenmiş denklem 2ax+(3−2a)=10x−b2ax + (3-2a) = 10x - b şeklindedir. Burada 2a=102a=10 eşitliğini kullanarak a'yı bulun.

Practice More

Çözüm kümesi boş küme olan parametreli denklemler (örneğin katsayılar eşit, sabitler farklı) üzerine çalışın.
Estimated Time:2m 30s
Question 39Question →
aa bir gerçel sayı olmak üzere, xx değişkenine bağlı
2(ax−1)−3(x+2)=5x−a 2(ax - 1) - 3(x + 2) = 5x - a
denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, aa kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

4
Verilen denklem düzenlendiğinde (2a−8)x=8−a(2a - 8)x = 8 - a elde edilir. Birinci dereceden bir denklemin çözüm kümesinin boş küme olması için, bilinmeyenin katsayısı 0 olmalı, ancak eşitliğin diğer tarafı 0'dan farklı olmalıdır. 2a−8=02a - 8 = 0 eşitliğinden a=4a = 4 bulunur. Bu değer için denklem 0⋅x=40 \cdot x = 4 haline gelir ki bu ifade yanlıştır, dolayısıyla çözüm kümesi boştur.

Step-by-Step Solution

1
Parantezleri dağıtarak ifadeyi düzenle.
2ax−2−3x−6=5x−a 2ax - 2 - 3x - 6 = 5x - a
Denklemi çözülebilir en sade hale getirmek için gruplama yapmalıyız.
2
Benzer terimleri (x'li terimler ve sabitler) bir araya getir.
(2a−3)x−8=5x−a (2a - 3)x - 8 = 5x - a
Değişkeni yalnız bırakmak veya katsayılarını analiz etmek için düzenleme gerekir.
3
x'li terimleri eşitliğin bir tarafına, sabitleri diğer tarafına topla.
(2a−3)x−5x=−a+8  ⟹  (2a−8)x=8−a (2a - 3)x - 5x = -a + 8 \implies (2a - 8)x = 8 - a
ax + b = 0 formatındaki bir denklemin çözüm durumunu incelemek için x ortak parantezine alınır.
4
Çözüm kümesinin boş küme olması şartını uygula.
2a−8=0  ⟹  2a=8  ⟹  a=4 2a - 8 = 0 \implies 2a = 8 \implies a = 4
Birinci dereceden bir denklemin (mx = n) çözüm kümesinin boş olması için, x'in katsayısı (m) 0 olmalı, ancak eşitliğin diğer tarafı (n) 0'dan farklı olmalıdır. Burada 2a-8=0 iken sağ taraf 8-4=4 oluyor (0'dan farklı), şart sağlanır.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli mx+n=0mx + n = 0 veya mx=nmx = n denkleminde; m=0m = 0 ve n≠0n \neq 0 ise çözüm kümesi boş kümedir (çözüm yoktur).
Question 40Question →
xx değişkenine bağlı
3(ax−2)+5=2(3x+1)−b 3(ax - 2) + 5 = 2(3x + 1) - b
denkleminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, aa ve bb gerçel sayıları için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
Show answer & explanation

Answer: a=2a=2 ve b≠3b \neq 3

Answer

a=2a=2 ve b≠3b \neq 3
Verilen denklemin düzenlenmiş hali (3a−6)x=3−b(3a - 6)x = 3 - b şeklindedir. Bir denklemin çözüm kümesinin boş küme olması için, değişkenin yok olması (0x0x) ve geriye kalan eşitliğin yanlış olması (örneğin 0=50=5) gerekir. Bu nedenle xx'in katsayısı olan 3a−63a-6 sıfıra eşitlenmeli (a=2a=2), ancak sabit terim olan 3−b3-b sıfırdan farklı olmalıdır (b≠3b \neq 3).

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin her iki tarafındaki parantezleri dağıtarak ifadeyi düzenle.
3ax−6+5=6x+2−b 3ax - 6 + 5 = 6x + 2 - b 3ax−1=6x+(2−b) 3ax - 1 = 6x + (2 - b)
Denklemi Ax+B=Cx+DAx + B = Cx + D standart formuna getirmek gerekir.
2
xx içeren terimleri eşitliğin sol tarafına, sabit sayıları sağ tarafına topla.
3ax−6x=2−b+1 3ax - 6x = 2 - b + 1 (3a−6)x=3−b (3a - 6)x = 3 - b
Çözüm kümesini analiz etmek için bilinmeyen çarpanı (xx'in katsayısı) yalnız bırakılmalıdır.
3
Çözüm kümesinin boş küme olması için gereken şartları uygula.
Şart 1: xx'in katsayısı 00 olmalı (3a−6=03a - 6 = 0).
Şart 2: Sabit kısım 00'dan farklı olmalı (3−b≠03 - b \neq 0).
Birinci dereceden bir denklemde 0⋅x=k0 \cdot x = k (k≠0k \neq 0) durumu elde edilirse eşitlik hiçbir xx değeri için sağlanamaz (çelişki).
4
aa ve bb değerlerini bul.
3a=6⇒a=23a = 6 \Rightarrow a = 2
3−b≠0⇒b≠33 - b \neq 0 \Rightarrow b \neq 3
Sonuçları seçeneklerle eşleştirmek için.

Key Concept

Birinci dereceden denklemlerde çözüm kümesinin boş küme olması durumu (ax+b=0ax + b = 0 için a=0a=0 ve b≠0b \neq 0).

Hints

1
Denklemi önce xx parantezine alarak (A)x=B(A)x = B formatına getirmelisiniz.

Practice More

Çözüm kümesinin tüm gerçel sayılar olması için aa ve bb değerlerinin ne olması gerektiği incelenmelidir.
Estimated Time:2m 0s
PreviousPage 2 / 3Next
Birinci Dereceden Denklemler Practice Questions — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Page 2 | Examkin