Layer 1

Question 21Question →

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{ABC}) = 135^\circ$ , $|AB| = 7\sqrt{2}$ cm ve $|BC| = 17$ cm olarak verilmiştir.

Buna göre, $|AC|$ uzunluğu kaç santimetredir?

20

23

24

25

26

Show answer & explanation

Answer: 25

Answer

|AC|

uzunluğu 25 santimetredir.

Soruda verilen üçgen geniş açılı (

135^\circ

) olduğu için, çözüm için üçgenin dışına bir yardımcı dikme çizilmelidir.

BC

kenarı uzatılıp

A

'dan dikme inildiğinde,

45^\circ-45^\circ-90^\circ

özellikli küçük bir üçgen ve kenarları 7 ile 24 olan büyük bir dik üçgen oluşur. 7-24-25 özel üçgeni gereği hipotenüs 25 cm olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Geniş açılı üçgenlerde dışarıdan dikme inme yöntemini uygula.

BC

kenarını

B

köşesi yönünde uzatıp,

A

köşesinden bu uzantıya bir dikme inilerek

H

noktası oluşturulur.

135^\circ

'nin bütünleri olan

45^\circ

'lik açıyı kullanarak özel bir dik üçgen elde etmek için.

2

Oluşan küçük dik üçgendeki kenar uzunluklarını hesapla.

AHB

üçgeni bir 45-45-90 üçgenidir. Hipotenüs

|AB| = 7\sqrt{2}

olduğundan, dik kenarlar

|AH| = 7

cm ve

|HB| = 7

cm olur.

45-45-90 üçgeninde hipotenüs, dik kenarın

\sqrt{2}

katıdır (

k, k, k\sqrt{2}

).

3

Büyük dik üçgenin taban uzunluğunu ve hipotenüsü hesapla.

Büyük

AHC

dik üçgeninin tabanı

|HC| = |HB| + |BC| = 7 + 17 = 24

cm'dir. Dik kenarlar 7 ve 24'tür.

|AC|

uzunluğunu bulmak için Pisagor bağıntısı veya özel üçgen kuralı uygulanır.

4

Pisagor bağıntısı veya özel üçgen bilgisiyle sonucu bul.

7-24-25 özel dik üçgeni kuralına göre hipotenüs

|AC| = 25

cm bulunur.

7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2

.

Key Concept

Geniş açılı üçgenlerde, açının bütünleri (180'e tamamlayanı) kullanılarak üçgenin dış bölgesinde bir dik üçgen oluşturulması ve Pisagor bağıntısı.

Hints

1

Üçgenin iç açılarından biri

135^\circ

. Bu açının bütünleri olan

45^\circ

'yi kullanabileceğiniz bir yardımcı doğru çizmeyi deneyin.

2

B

köşesinden geçen taban doğrusunu dışarıya doğru uzatın ve

A

köşesinden bu uzantıya bir dikme indirin. Oluşan küçük üçgen tanıdık geliyor mu?

3

Oluşan dış üçgen 45-45-90 üçgenidir. Hipotenüsü

7\sqrt{2}

ise dik kenarları 7'dir. Şimdi büyük dik üçgenin kenarlarına bakın: biri 7, diğeri

7+17

.

Practice More

Benzer mantıkla

120^\circ

açısı ve

30^\circ-60^\circ-90^\circ

üçgeni oluşturmayı gerektiren sorular çözülebilir.

Alternative Method

Kosinüs Teoremi:

b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos(B)

. Burada

\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}

olduğu için formül

b^2 = (17)^2 + (7\sqrt{2})^2 - 2(17)(7\sqrt{2})(-\frac{\sqrt{2}}{2})

haline gelir. İşaret değişimine dikkat edilmelidir.

Estimated Time:2m 30s

Question 22Question →

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{ABC}) = 45^\circ$ , $m(\widehat{ACB}) = 30^\circ$ ve $|AB| = 8\sqrt{2}$ cm olarak verilmiştir.

Buna göre, $|BC|$ kenarının uzunluğu kaç cm'dir?

16

8 + 8\sqrt{3}

8\sqrt{3}

16\sqrt{2}

8\sqrt{3} - 8

Show answer & explanation

Answer: $8 + 8\sqrt{3}$

Answer

Dikme indirilerek oluşturulan 45-45-90 ve 30-60-90 üçgenlerinden elde edilen uzunlukların toplamı

8(1 + \sqrt{3})

yani

8 + 8\sqrt{3}

cm'dir.

Verilen

45^\circ

ve

30^\circ

açılarını kullanmak için

A

köşesinden tabana dikme indirildiğinde, solda bir ikizkenar dik üçgen (45-45-90), sağda ise bir 30-60-90 üçgeni oluşur. Sol taraftan gelen 8 birimlik parça ile sağ taraftan gelen

8\sqrt{3}

birimlik parça toplandığında doğru sonuca ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

A

köşesinden

[BC]

kenarına bir

AH

dikmesi indirilir.

Üçgen,

ABH

ve

AHC

olmak üzere iki dik üçgene ayrılır.

Özel açıları (

45^\circ

ve

30^\circ

) kullanabilmek için dik üçgenler oluşturmak gerekir.

2

ABH

üçgeninde (

45^\circ-45^\circ-90^\circ

), hipotenüs

|AB| = 8\sqrt{2}

cm olduğu için dik kenarlar hesaplanır.

|AH| = |BH| = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 8

cm bulunur.

45-45-90 üçgeninde hipotenüs, dik kenarın

\sqrt{2}

katıdır.

3

AHC

üçgeninde (

30^\circ-60^\circ-90^\circ

),

30^\circ

'nin karşısındaki kenar

|AH|=8

cm olduğu için diğer kenarlar hesaplanır.

60^\circ

'nin karşısındaki

|HC| = 8\sqrt{3}

cm (ve hipotenüs

|AC| = 16

cm) bulunur.

30-60-90 üçgeninde

60^\circ

'nin karşısı,

30^\circ

'nin karşısının

\sqrt{3}

katıdır.

4

|BC|

uzunluğu için bulunan parçalar toplanır.

|BC| = |BH| + |HC| = 8 + 8\sqrt{3}

cm.

BC

kenarı

H

noktası ile iki parçaya ayrılmıştır.

Key Concept

Özel Açılı Üçgenler (30-60-90 ve 45-45-90)

Hints

1

Özel açıları (

30^\circ, 45^\circ

) parçalamadan kullanabilmek için

A

köşesinden

BC

kenarına bir dikme indirmeyi deneyin.

2

Dikme indirdiğinizde solda bir 45-45-90 üçgeni, sağda ise bir 30-60-90 üçgeni oluşacaktır.

Practice More

Benzer mantıkla çözülen, açılarından biri

135^\circ

veya

120^\circ

olan geniş açılı üçgen sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Sinüs Teoremi kullanılarak da çözülebilir:

|AC|/\sin(45) = |AB|/\sin(30)

eşitliğinden

|AC|=16

bulunur. Daha sonra Kosinüs teoremi ile

|BC|

bulunabilir, ancak dikme indirmek çok daha pratiktir.

Estimated Time:1m 30s

Question 23Question →

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ olarak verilmiştir. $A$ köşesinin $[BC]$ hipotenüsüne olan en kısa uzaklığı 6 cm, $[BC]$ kenarının orta noktasına olan uzaklığı ise 12 cm'dir. $m(\widehat{ABC}) > m(\widehat{ACB})$ olduğuna göre, $m(\widehat{ACB})$ kaç derecedir?

15

22,5

30

45

75

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

Aranan açı 15 derecedir.

Dik üçgende hipotenüse çizilen kenarortay (

|AD|

), hipotenüsün ayırdığı parçalara eşittir (

|DC|

). Bu durum

ADC

üçgeninin ikizkenar olmasını sağlar. Yükseklik üçgeninde (

AHD

) hipotenüs (

12

), dik kenarın (

6

) iki katı olduğu için tepe açısı (kenarortayın tabanla yaptığı açı)

30^\circ

bulunur. İkizkenar

ADC

üçgeninde dış açı

30^\circ

ise, taban açısı olan

C

açısı

15^\circ

olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen uzunlukları tanımlayalım.

A

köşesinden inilen dikme ayağına

H

, orta noktaya

D

diyelim.

|AH| = 6

cm (yükseklik),

|AD| = 12

cm (kenarortay) olur.

En kısa uzaklık yüksekliktir; orta noktaya olan uzaklık kenarortaydır.

2

AHD

dik üçgeninde açıları inceleyelim.

Hipotenüs

|AD|=12

ve dik kenar

|AH|=6

olduğu için bu bir 30-60-90 üçgenidir.

\sin(\widehat{ADH}) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}

olduğundan

m(\widehat{ADH}) = 30^\circ

olur.

Bir dik üçgende dik kenar hipotenüsün yarısı ise, o kenarı gören açı

30^\circ

dir.

3

Muhteşem üçlü kuralını ve ikizkenar üçgen özelliklerini kullanalım.

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir (

|AD| = |DC| = |BD|

). Dolayısıyla

ADC

üçgeni ikizkenardır.

Muhteşem üçlü kuralı gereği

|AD| = |DC|

.

4

Dış açı kuralı ile

C

açısını hesaplayalım.

ADC

üçgeninde

m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{ACD}) = x

dersek, iki iç açının toplamı komşu olmayan dış açıya (

m(\widehat{ADH})

) eşittir.

2x = 30^\circ \Rightarrow x = 15^\circ

.

Bir üçgende iki iç açının toplamı, kendilerine komşu olmayan bir dış açıya eşittir.

Key Concept

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir (Muhteşem Üçlü) ve yükseklik ile kenarortay arasındaki açı ilişkisi.

Hints

1

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortayı çizin. Bu kenarortayın uzunluğu ile ayırdığı parçalar arasındaki ilişkiyi hatırlayın (Muhteşem Üçlü).

2

Oluşan dik üçgende hipotenüs 12 cm, bir dik kenar 6 cm'dir. Bu size hangi özel üçgeni hatırlatıyor?

3

Kenarortayın hipotenüsle yaptığı açı

30^\circ

'dir. Kenarortay hipotenüsün yarısına eşit olduğundan oluşan ikizkenar üçgende dış açı kuralını uygulayın.

Alternative Method

Formül Yöntemi: Bir dik üçgende yükseklik (

h

) ile kenarortay (

V_a

) arasındaki açı

\alpha = |B - C|

'dir.

AHD

üçgeninde

\cos(\alpha) = 6/12 = 1/2 \Rightarrow \alpha = 60^\circ

.

|B - C| = 60^\circ

ve

B + C = 90^\circ

. Bu denklem sistemi çözülerek

2C = 30^\circ \Rightarrow C = 15^\circ

bulunur.

Estimated Time:2m 30s

Question 24Question →

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[BA] \perp [AC]$ ve $m(\widehat{ACB}) = 30^\circ$ olarak verilmiştir. $B$ köşesine ait açıortay $[AC]$ kenarını $D$ noktasında kesmektedir.

$|AD| = 6$ cm olduğuna göre, $|BC|$ uzunluğu kaç santimetredir?

6\sqrt{3}

12

12\sqrt{3}

18

24

Show answer & explanation

Answer: $12\sqrt{3}$

Answer

12\sqrt{3}

cm

Verilen

ABC

dik üçgeninde

C

açısı

30^\circ

olduğundan

B

açısı

60^\circ

olur. Açıortay bu açıyı

30^\circ-30^\circ

böler. Oluşan

ABD

üçgeni (30-60-90) kullanılarak

|AB|=6\sqrt{3}

cm bulunur. Büyük üçgende ise hipotenüs

|BC|

,

|AB|

'nin 2 katıdır; yani

12\sqrt{3}

cm'dir.

Step-by-Step Solution

1

Üçgenin açılarını belirle

ABC

üçgeninde

A=90^\circ

ve

C=30^\circ

olduğundan,

B=60^\circ

'dir.

BD

açıortay olduğu için

B

açısını

30^\circ

ve

30^\circ

olarak ikiye böler.

Üçgenin iç açıları toplamı

180^\circ

'dir ve açıortay açıyı iki eş parçaya ayırır.

2

ABD

üçgenini analiz et

ABD

üçgeninde

A=90^\circ

ve

m(\widehat{ABD})=30^\circ

'dir. Bu bir 30-60-90 üçgenidir.

30^\circ

karşısındaki kenar

|AD|=6

cm ise,

60^\circ

karşısındaki kenar

|AB| = 6\sqrt{3}

cm olur.

30-60-90 üçgeninde

60^\circ

'nin karşısındaki kenar,

30^\circ

'nin karşısındaki kenarın

\sqrt{3}

katıdır.

3

ABC

büyük üçgeninde hipotenüsü (

|BC|

) hesapla

Büyük

ABC

üçgeni de bir 30-60-90 üçgenidir.

30^\circ

'nin karşısındaki kenar

|AB|=6\sqrt{3}

cm olduğuna göre,

90^\circ

'nin karşısındaki hipotenüs

|BC| = 2 \cdot (6\sqrt{3}) = 12\sqrt{3}

cm bulunur.

30-60-90 üçgeninde hipotenüs,

30^\circ

'nin karşısındaki kenarın 2 katıdır.

Key Concept

30-60-90 Üçgeni Özellikleri ve Açıortay

Hints

1

Üçgenin iç açılar toplamından

B

açısının tamamını bulun ve açıortayın bu açıyı nasıl böldüğünü düşünün.

2

ABD

üçgeni bir özel üçgendir (30-60-90).

30^\circ

'nin karşısı 6 cm ise, diğer dik kenar (

AB

) ne olur?

3

|AB|

uzunluğunu bulduktan sonra büyük üçgen (

ABC

) için 30-60-90 özelliğini tekrar kullanın: Hipotenüs (

BC

),

30^\circ

'nin karşısındaki kenarın 2 katıdır.

Alternative Method

m(\widehat{DBC}) = 30^\circ

ve

m(\widehat{C}) = 30^\circ

olduğu için

BDC

üçgeni ikizkenardır (

|BD|=|DC|

).

ABD

üçgeninde hipotenüs

|BD|=12

bulunur, dolayısıyla

|DC|=12

olur. Buradan

|AC|=18

bulunur.

\sin(60^\circ) = |AC|/|BC| \Rightarrow \sqrt{3}/2 = 18/|BC|

işlemiyle de sonuca gidilebilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 25Question →

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ ve $m(\widehat{ACB}) = 15^\circ$ olarak verilmiştir. $A$ köşesinden hipotenüse indirilen dikmenin ayağı $H$ ve $[BC]$ kenarının orta noktası $K$ noktasıdır. Eğer $|HK| = 2\sqrt{3}$ cm ise, hipotenüs uzunluğu $|BC|$ kaç santimetredir?

4

6

8

12

16

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Hipotenüs uzunluğu 8 cm'dir.

Soruda verilen

15-75-90

üçgeni özelliği gereği yükseklik hipotenüsün dörtte biridir (

h_{a} = |BC|/4

). Kenarortay ise hipotenüsün yarısıdır (

|AK| = |BC|/2 = 2h_{a}

). Oluşan

AHK

dik üçgeninde hipotenüs

2h

, dik kenar

h

olduğundan bu bir

30-60-90

üçgenidir ve diğer dik kenar

|HK| = h\sqrt{3}

olur. Verilen

|HK|=2\sqrt{3}

eşitliğinden

h=2

bulunur. Buradan hipotenüs

|BC|=4h=8

cm elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

15-75-90

üçgeninde hipotenüse ait yüksekliğin (

h

), hipotenüsün (

|BC|

) dörtte biri olduğunu hatırlayalım.

|AH| = h

ve

|BC| = 4h

.

15-75-90

üçgeninin temel özelliği:

h_{hyp} = \frac{1}{4} \cdot Hyp

.

2

Muhteşem üçlü kuralını kullanarak kenarortay uzunluğunu (

|AK|

)

h

cinsinden ifade edelim.

|AK| = \frac{|BC|}{2} = \frac{4h}{2} = 2h

.

Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir.

3

AHK

dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak

h

değerini bulalım.

h^2 + (2\sqrt{3})^2 = (2h)^2 \Rightarrow h^2 + 12 = 4h^2 \Rightarrow 3h^2 = 12 \Rightarrow h = 2

.

AHK

üçgeninde hipotenüs

2h

, bir dik kenar

h

ise diğer dik kenar

h\sqrt{3}

'tür (30-60-90 üçgeni).

4

Bulunan

h

değerini kullanarak

|BC|

uzunluğunu hesaplayalım.

|BC| = 4h = 4 \cdot 2 = 8

cm.

Soruda istenen hipotenüs uzunluğudur.

Key Concept

15-75-90 üçgeninde yükseklik-hipotenüs ilişkisi (

h=4a

) ve muhteşem üçlü kuralının bir arada kullanımı.

Hints

1

Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunluğu, hipotenüsün yarısına eşittir (Muhteşem Üçlü).

2

15-75-90 üçgeninde hipotenüse ait yükseklik (

h

) ile hipotenüs (

a

) arasında

h = a/4

bağıntısı vardır.

Practice More

Benzer şekilde, 22.5-67.5-90 üçgeninde yükseklik ile hipotenüs arasındaki ilişkiyi (

h = a / 2\sqrt{2}

) inceleyiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 26Question →

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{ABC}) = 45^\circ$ , $m(\widehat{ACB}) = 30^\circ$ ve $|BC| = 4 + 4\sqrt{3}$ cm olduğuna göre, $|AB|$ uzunluğu kaç santimetredir?

4

4\sqrt{2}

4\sqrt{3}

8

8\sqrt{2}

Show answer & explanation

Answer: $4\sqrt{2}$

Answer

4\sqrt{2}

santimetre olan seçenek doğrudur.

Üçgenin içinden indirilen bir dikme ile iki tane özel açılı dik üçgen (

45^\circ-45^\circ-90^\circ

ve

30^\circ-60^\circ-90^\circ

) oluşturulur. Bu üçgenlerin ortak kenarı olan yükseklik

4

cm olarak hesaplanır. İstenen

|AB|

kenarı, ikizkenar dik üçgenin hipotenüsü olduğu için yüksekliğin

\sqrt{2}

katı olan

4\sqrt{2}

cm sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

A

köşesinden

[BC]

kenarına bir dikme indirelim.

Dikmenin

[BC]

kenarını kestiği noktaya

H

diyelim.

[AH] \perp [BC]

olur.

Özel açılı (

30^\circ, 45^\circ, 60^\circ

) üçgen sorularında, bu açılardan faydalanmak için dik üçgenler oluşturulur.

2

ABH

dik üçgenindeki özellikleri belirleyelim.

m(\widehat{BAH}) = 45^\circ

olur.

|AH| = x

dersek,

|BH| = x

ve

|AB| = x\sqrt{2}

olur.

45^\circ-45^\circ-90^\circ

ikizkenar dik üçgeninde dik kenarlar eşit, hipotenüs dik kenarın

\sqrt{2}

katıdır.

3

AHC

dik üçgenindeki özellikleri belirleyelim.

m(\widehat{CAH}) = 60^\circ

olur.

|AH| = x

ise,

30^\circ

karşısındaki kenar

x

olduğundan,

60^\circ

karşısındaki

|HC| = x\sqrt{3}

olur.

30^\circ-60^\circ-90^\circ

üçgeninde

60^\circ

'nin karşısındaki kenar,

30^\circ

'nin karşısındakinin

\sqrt{3}

katıdır.

4

|BC|

uzunluğunu

x

cinsinden yazıp verilen değere eşitleyelim.

|BC| = |BH| + |HC| = x + x\sqrt{3} = x(1 + \sqrt{3})

olur.

x(1 + \sqrt{3}) = 4 + 4\sqrt{3} = 4(1 + \sqrt{3})

ise

x = 4

bulunur.

BC

uzunluğu, oluşturduğumuz iki dik üçgenin taban parçalarının toplamına eşittir.

5

|AB|

uzunluğunu hesaplayalım.

|AB| = x\sqrt{2} = 4\sqrt{2}

cm bulunur.

İkinci adımda belirlediğimiz

|AB| = x\sqrt{2}

ilişkisini kullanarak sonuca ulaşıyoruz.

Key Concept

Özel Açılı Üçgenlerde Yardımcı Dikme Yardımıyla Çözüm

Hints

1

Üçgenin içinde

45^\circ

ve

30^\circ

gibi özel açılar varsa,

A

köşesinden tabana bir dikme indirerek iki tane dik üçgen oluşturmayı deneyin.

2

İndirdiğiniz yüksekliğe

x

derseniz, sol taraftaki üçgende taban

x

, sağ taraftaki üçgende taban

x\sqrt{3}

olur. Bunların toplamı size

|BC|

uzunluğunu verecektir.

3

x + x\sqrt{3} = 4(1 + \sqrt{3})

denklemini çözerek

x

değerini bulun. Ardından

AB

kenarının bu

x

değerinin

\sqrt{2}

katı olduğunu unutmayın.

Practice More

Benzer bir soruda dış açıları kullanarak (örneğin

135^\circ

veya

120^\circ

) dışarıdan dikme indirip dik üçgen oluşturma pratiği yapabilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 27Question →

Şekildeki $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ ve $m(\widehat{ACB}) = 15^\circ$ olarak verilmiştir. $[AC]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası işaretlenmiştir.

$m(\widehat{DBC}) = 15^\circ$ ve $|DC| = 12$ cm olduğuna göre, $|AB|$ kaç cm'dir?

4

6

4\sqrt{3}

6\sqrt{3}

12

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

6 cm

Verilen 15 derecelik açılar kullanıldığında BDC üçgeninin ikizkenar olduğu görülür (|BD|=|DC|=12). Bu durumda ABD üçgeni bir 30-60-90 dik üçgenine dönüşür. Hipotenüsü 12 cm olan bu üçgende, 60 derecenin komşusu (30 derecenin karşısı) olan AB kenarı hipotenüsün yarısına, yani 6 cm'ye eşittir.

Step-by-Step Solution

1

ABC üçgenindeki açıları belirle.

C açısı 15° ve A açısı 90° olduğundan, B açısının tamamı 75° olur.

Üçgenin iç açıları toplamı 180°'dir.

2

BDC üçgeninin özelliğini tespit et.

DBC açısı 15° ve C açısı 15° olduğundan, BDC ikizkenar üçgendir ve |BD| = |DC| = 12 cm olur.

Taban açıları eşit olan üçgenler ikizkenardır.

3

ABD üçgenindeki açıları bul.

ABC açısı 75° ve DBC açısı 15° olduğundan, ABD açısı 75° - 15° = 60° olur.

Açıların farkı alınarak bilinmeyen açı bulunur.

4

ABD dik üçgeninde trigonometrik oranı veya özel üçgen kuralını uygula.

ABD üçgeni bir 30-60-90 üçgenidir (D açısı 30°). 90°'nin karşısı (BD) 12 cm ise, 30°'nin karşısı (AB) hipotenüsün yarısıdır: 12 / 2 = 6 cm.

30-60-90 üçgeninde 30 derecenin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısıdır.

Key Concept

15-75-90 üçgeni içindeki ikizkenar parçalanma ve 30-60-90 üçgeni ilişkisi.

Hints

1

Önce üçgenin verilmeyen açılarını (özellikle B açısının tamamını ve parçalarını) hesaplayın.

2

BDC üçgeninin taban açılarına (DBC ve C açıları) dikkat edin; bu üçgenin kenarları arasında nasıl bir ilişki var?

3

BDC ikizkenardır, yani BD uzunluğu DC'ye eşittir. Şimdi oluşan ABD dik üçgeninin açılarına (60-30) göre işlem yapın.

Practice More

15-75-90 üçgeninde hipotenüse inen yüksekliğin hipotenüsün 4'te 1'i olduğu kuralını içeren sorular çözebilirsiniz.

Alternative Method

Trigonometri kullanarak: AB = |BC| * sin(15) formülü yerine, doğrudan BDC ikizkenarlığını görmek çok daha kısadır.

Estimated Time:2m 0s

Question 28Question →

Aşağıdaki $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ ve $[AH] \perp [BC]$ olarak verilmiştir.

$|BH| = 2$ cm ve $|HC| = 8$ cm olduğuna göre, $|AH|$ kaç santimetredir?

4

5

10

16

2\sqrt{5}

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Doğru cevap 4 cm'dir.

Bir dik üçgende dik açıdan hipotenüse inilen dikme, hipotenüsü iki parçaya ayırır. Öklit yükseklik bağıntısına göre, yüksekliğin karesi bu parçaların çarpımına eşittir (

h^2 = p \cdot k

). Verilen soruda

h^2 = 2 \cdot 8 = 16

olduğundan, yükseklik 4 cm bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen geometrik şekli ve özellikleri analiz et.

Üçgen dik üçgendir (

A

açısı

90^\circ

) ve hipotenüse ait yükseklik çizilmiştir (

[AH] \perp [BC]

). Bu durumda Öklit bağıntıları geçerlidir.

Dik üçgende hipotenüse inilen dikme varsa Öklit bağıntısı kullanılır.

2

Yükseklik bağıntısını uygula.

|AH|^2 = |BH| \cdot |HC|

formülü kullanılır. Değerler yerine konulursa:

|AH|^2 = 2 \cdot 8

.

Öklit'in yükseklik bağıntısı:

h^2 = p \cdot k

.

3

Sonucu hesapla.

|AH|^2 = 16 \Rightarrow |AH| = \sqrt{16} = 4

cm.

İşlem sonucu.

Key Concept

Öklit Bağıntıları (Yükseklik)

Hints

1

Dik üçgende dik açıdan inilen dikme varsa 'Öklit Bağıntılarını' hatırlayınız.

2

Öklit yükseklik bağıntısı: Yüksekliğin karesi, tabanda ayırdığı parçaların çarpımına eşittir (

h^2 = p \cdot k

).

3

|AH|^2 = 2 \cdot 8

eşitliğini çözünüz.

Practice More

Benzer bir üçgende dik kenarlardan birinin uzunluğunu Öklit bağıntısı ile bulmayı deneyin.

Estimated Time:45s

Question 29Question →

Dik kenarlarından birinin uzunluğu $3\sqrt{13}$ cm olan bir dik üçgenin, hipotenüse ait yüksekliğinin uzunluğu 6 cm'dir.

Buna göre, bu üçgenin diğer dik kenarının uzunluğu kaç cm'dir?

4

2\sqrt{13}

9

13

6\sqrt{2}

Show answer & explanation

Answer: $2\sqrt{13}$

Answer

Diğer dik kenarın uzunluğu

2\sqrt{13}

cm'dir.

Verilen dik üçgende hipotenüse ait yükseklik çizildiğinde oluşan parçalar arasındaki Öklid bağıntısı (

h^2 = p \cdot k

) ve Pisagor teoremi kullanılarak sonuca ulaşılır. Bilinen kenardan yola çıkılarak önce bir parça (9), sonra Öklid ile diğer parça (4) ve en son diğer dik kenar (

2\sqrt{13}

) bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Verilenleri bir model üzerinde göstererek bilinen dik kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümünü (k) hesapla.

Pisagor teoreminden:

k^2 + 6^2 = (3\sqrt{13})^2 \Rightarrow k^2 + 36 = 117 \Rightarrow k^2 = 81 \Rightarrow k = 9

cm.

Yükseklik dik üçgeni iki küçük dik üçgene ayırır; bilinen kenarı içeren küçük üçgende Pisagor uygulanır.

2

Öklid (Euclid) bağıntısını kullanarak diğer dik kenarın izdüşümünü (p) bul.

h^2 = p \cdot k \Rightarrow 6^2 = p \cdot 9 \Rightarrow 36 = 9p \Rightarrow p = 4

cm.

Dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.

3

Diğer küçük dik üçgende Pisagor teoremi uygulayarak istenen dik kenarı (c) bul.

c^2 = h^2 + p^2 \Rightarrow c^2 = 6^2 + 4^2 \Rightarrow c^2 = 36 + 16 = 52

. Buradan

c = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}

cm.

Diğer dik kenar, yükseklik ve bulduğumuz kısa parçadan oluşan dik üçgenin hipotenüsüdür.

Key Concept

Öklid Bağıntıları ve Pisagor Teoremi

Hints

1

Soruyu çözmek için bir dik üçgen çizin ve hipotenüse ait yüksekliği indirin.

2

Yüksekliğin ayırdığı küçük üçgenlerden birinde Pisagor teoremi uygulayarak taban parçalarından birini bulun.

3

Öklid bağıntısını (

h^2 = p \cdot k

) kullanarak diğer taban parçasını bulun, ardından tekrar Pisagor yapın.

Practice More

Benzer bir soruyu Öklid yan kenar bağıntılarını kullanarak çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Öklid'in dik kenar bağıntısı (

b^2 = k \cdot a

) kullanılarak önce hipotenüsün tamamı (

a

), sonra diğer dik kenar bulunabilir:

(3\sqrt{13})^2 = k \cdot a

.

Estimated Time:2m 0s

Question 30Question →

$ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [BC]$ ve $m(\widehat{ACB}) = 30^\circ$ olarak verilmiştir. Hipotenüs uzunluğu $|AC| = 10$ cm olduğuna göre, $AB$ kenarının uzunluğu kaç santimetredir?

5

5\sqrt{3}

5\sqrt{2}

10

20

Show answer & explanation

Answer: $5$

Answer

30^\circ

'lik açının karşısındaki kenar uzunluğu

5

cm'dir.

Geometride

30^\circ-60^\circ-90^\circ

üçgeni en temel özel üçgenlerden biridir. Kural gereği, bu üçgende

30^\circ

'lik açının tam karşısında bulunan dik kenarın uzunluğu, en uzun kenar olan hipotenüsün tam yarısı kadardır. Soruda hipotenüs

|AC| = 10

cm verildiğinden,

30^\circ

'nin karşısındaki

|AB|

kenarı

5

cm olur.

Step-by-Step Solution

1

Üçgenin iç açılarının belirlenmesi

m(\widehat{BAC}) = 60^\circ

Dik üçgende bir dar açı

30^\circ

ise, diğer dar açı

90^\circ - 30^\circ = 60^\circ

olur.

2

Özel üçgen kuralının uygulanması

|AB| = \frac{|AC|}{2}

30^\circ-60^\circ-90^\circ

üçgeninde,

30^\circ

karşısındaki kenar hipotenüsün yarısına eşittir.

3

Hesaplama yapılması

|AB| = \frac{10}{2} = 5

cm

Hipotenüs uzunluğu

10

cm olarak verildiği için sonuç

5

cm bulunur.

Key Concept

30^\circ-60^\circ-90^\circ

Özel Dik Üçgeni

Hints

1

Bu bir dik üçgen olduğu için iç açılar toplamından faydalanarak üçüncü açıyı bulun.

2

30^\circ-60^\circ-90^\circ

üçgeninde kenarlar arasında

1 : \sqrt{3} : 2

oranı olduğunu hatırlayın.

3

En kısa kenar olan

30^\circ

'nin karşısındaki kenar, hipotenüsün (

90^\circ

karşısındaki kenar) yarısıdır.

Practice More

Kenarları

3-4-5

olan bir dik üçgenin alanını hesaplayarak dik üçgen bilgilerini pekiştirebilirsin.

Alternative Method

Trigonometri kullanarak

\sin(30^\circ) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}}

formülünden

\frac{1}{2} = \frac{|AB|}{10}

eşitliği ile

|AB| = 5

bulunabilir.

Estimated Time:45s

Dik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method