Examkin

Küme Problemleri

43 questions

Question 41Question →

Bir bakanlıkta görev yapan uzman yardımcılarının Kamu İhale (K), Personel (P) ve Bütçe (B) mevzuatlarına hakimiyet durumları incelenmiştir. Kurumdaki tüm uzman yardımcılarının bu üç mevzuattan en az birine hakim olduğu bilinmektedir.

İnceleme sonuçlarına göre:
- Sadece bir mevzuat türüne hakim olanların sayıları birbirine eşittir.
- Sadece iki mevzuat türüne hakim olanların sayıları birbirine eşittir.
- Sadece iki mevzuat türüne hakim olanların sayısı (herhangi bir kesişim grubu için), her üç mevzuata da hakim olanların sayısının 3 katıdır.
- Her üç mevzuata da hakim olanların sayısı, sadece bir mevzuat türüne hakim olan herhangi bir grubun sayısının yarısıdır.
- En az iki mevzuat türüne hakim olan toplam uzman yardımcısı sayısı 40'tır.

Buna göre, bu grupta yer alan toplam uzman yardımcısı sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 64

Answer

Toplam uzman yardımcısı sayısı 64'tür.
Verilen ilişkiler Venn şeması üzerinde modellendiğinde; 'en az iki' şartını sağlayan bölge 3y+z=403y + z = 40 denklemini verir. Değişkenler zz cinsinden yazıldığında (y=3z,x=2zy=3z, x=2z), z=4z=4 bulunur. Buradan y=12y=12 ve x=8x=8 elde edilir. Toplam uzman sayısı 3x+3y+z3x + 3y + z formülüyle 24+36+4=6424 + 36 + 4 = 64 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Kümeleri ve bölgeleri değişkenlerle ifade et.
Sadece bir mevzuata hakim olan grup sayısı (sadece K, sadece P, sadece B) her biri için xx olsun. Sadece iki mevzuata hakim olan grup sayısı (sadece K∩P, sadece K∩B, sadece P∩B) her biri için yy olsun. Üçüne de hakim olanların sayısı zz olsun.
Problemde verilen eşitlikleri matematiksel denklemlere dökmek için her bölgeye bir değişken atamak gerekir.
2
Verilen ilişkileri denklemlere dök.
1. 'Sadece iki... üçünün 3 katıdır': y=3zy = 3z. 2. 'Her üçü... sadece birin yarısıdır': z=x/2⇒x=2zz = x/2 \Rightarrow x = 2z.
Bilinmeyenleri tek bir cins (z) üzerinden ifade etmek çözümü kolaylaştırır.
3
'En az iki' bilgisini kullanarak z değerini bul.
En az iki mevzuat bilenler = (Sadece iki bilenler toplamı) + (Üçünü de bilenler). Yani 3y+z=403y + z = 40. yy yerine 3z3z koyarsak: 3(3z)+z=40⇒9z+z=40⇒10z=40⇒z=43(3z) + z = 40 \Rightarrow 9z + z = 40 \Rightarrow 10z = 40 \Rightarrow z = 4.
Sayısal değeri verilen tek bilgi 'en az iki' olduğu için çözüm buradan başlar.
4
Diğer değişkenleri (x ve y) hesapla.
z=4z = 4 ise, y=3×4=12y = 3 \times 4 = 12 ve x=2×4=8x = 2 \times 4 = 8.
Toplam sayıyı bulmak için tüm alt bölgelerin değerlerine ihtiyaç vardır.
5
Toplam kişi sayısını hesapla.
Toplam = (3 tane x) + (3 tane y) + (1 tane z) = 3(8)+3(12)+4=24+36+4=643(8) + 3(12) + 4 = 24 + 36 + 4 = 64.
Evrensel küme, tüm ayrık alt kümelerin toplamına eşittir.

Key Concept

Kümelerde Birleşim ve Kesişim Problemleri (Venn Şeması ile Modelleme)

Hints

1
Soruyu çözmek için üç kesişim kümesi olan bir Venn şeması çizin ve bölgeleri harflendirin (sadece bir, sadece iki, hepsi).
2
'Sadece iki mevzuata hakim olanlar' ifadesi Venn şemasında üç farklı yaprak bölgesini temsil eder, bu yüzden denklemde 3y olarak alınmalıdır.
3
En az iki mevzuat bilenler = (3 × Sadece iki bilenler) + (Hepsi). Yani 3y+z=403y + z = 40 denklemini kurup, diğer değişkenleri zz cinsinden yazın.

Practice More

Benzer bir mantıkla, 'en çok bir mevzuat bilenler' sayısının verildiği ve kesişimin istendiği bir soru çözülebilir.
Estimated Time:3m 0s
Question 42Question →

Bir kamu kurumunun bilgi işlem dairesinde çalışan 5050 personelin tamamı, kurum içi yazılım sistemleri olan 'DYS' ve 'EBYS' sistemlerini kullanma durumlarına göre incelenmiştir. Yapılan inceleme sonucunda;

- DYS sistemini kullanan 3232 personel,
- EBYS sistemini kullanan 2828 personel olduğu görülmüştür.

Bu personelden her iki sistemi de kullanmayanların sayısı, her iki sistemi de kullananların sayısının yarısına eşittir.

Buna göre, bu personelden sadece bir sistemi kullanan toplam personel sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2020

Answer

Sadece bir sistemi kullanan toplam personel sayısı 2020 kişidir.
Verilen bilgiler doğrultusunda evrensel küme denklemi 50=(32+28−x)+x250 = (32 + 28 - x) + \frac{x}{2} şeklinde kurulur. Buradan kesişim kümesi olan xx (her iki sistemi kullananlar) 2020 olarak bulunur. Sadece bir sistemi kullananlar ise (32−20)+(28−20)=12+8=20(32-20) + (28-20) = 12 + 8 = 20 personelden oluşur.

Step-by-Step Solution

1
Kümelerin ve bilinmeyenlerin tanımlanması
DYS kullananlar s(D)=32s(D) = 32, EBYS kullananlar s(E)=28s(E) = 28, her iki sistemi kullananlar s(D∩E)=xs(D \cap E) = x, hiçbirini kullanmayanlar s(D∪E)′=x2s(D \cup E)' = \frac{x}{2}.
Problemdeki verileri matematiksel sembollere dökerek denklem kurmak.
2
Evrensel küme denkleminin kurulması
s(U)=s(D∪E)+s(D∪E)′=50s(U) = s(D \cup E) + s(D \cup E)' = 50
Toplam personel sayısının, sistemleri kullananlar ve kullanmayanların toplamına eşit olması kuralı.
3
Birleşim kümesi formülünün uygulanması
50=[s(D)+s(E)−s(D∩E)]+x2⇒50=(32+28−x)+x250 = [s(D) + s(E) - s(D \cap E)] + \frac{x}{2} \Rightarrow 50 = (32 + 28 - x) + \frac{x}{2}
Kesişim kümesini çıkararak birleşim kümesini bulma formülünü kullanmak.
4
Denklemin çözülmesi
50=60−x+x2⇒50=60−x2⇒x2=10⇒x=2050 = 60 - x + \frac{x}{2} \Rightarrow 50 = 60 - \frac{x}{2} \Rightarrow \frac{x}{2} = 10 \Rightarrow x = 20
Her iki sistemi kullanan personel sayısını (xx) belirlemek.
5
Sadece bir sistemi kullananların hesaplanması
Sadece DYS: 32−20=1232 - 20 = 12, Sadece EBYS: 28−20=828 - 20 = 8. Toplam: 12+8=2012 + 8 = 20.
Her bir kümeden kesişimi çıkararak fark kümelerini bulmak ve toplamak.

Key Concept

Kümelerde Eleman Sayısı ve Problem Çözümü

Hints

1
Her iki sistemi de kullanan personel sayısına xx diyerek bir Venn şeması çizmeyi deneyin.
2
Hiçbirini kullanmayanlar x/2x/2 ise, tüm personelin toplamı olan 5050 sayısını birleşim kümesi ve dışarıdaki elemanların toplamı olarak yazın.
3
50=(32−x)+x+(28−x)+x/250 = (32 - x) + x + (28 - x) + x/2 denklemini çözerek xx değerine ulaşın.

Practice More

Üçlü küme problemlerinde 'en az ikisi' veya 'en çok biri' gibi ifadelerle çalışma yaparak konuyu pekiştirebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 43Question →

Bir kurumda çalışan 50 personelin her biri; İngilizce, Almanca ve Fransızca dillerinden en az birini konuşabilmektedir. Bu personel grubuyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Yalnızca bir dil bilenlerin sayıları birbirine eşittir.
* Yalnızca iki dil bilenlerin sayıları birbirine eşittir.
* Her üç dili de bilenlerin sayısı xx'tir.
* Yalnızca İngilizce bilenlerin sayısı, her üç dili de bilenlerin sayısının 3 katıdır.

Buna göre, bu kurumda İngilizce bilen personel sayısı en çok kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 28

Answer

İngilizce bilen personel sayısı en çok 28'dir.
Kurulan 10x+3b=5010x + 3b = 50 denkleminde xx ve bb doğal sayı olmalıdır. Bu denklemi sağlayan iki durum vardır: (x=2,b=10)(x=2, b=10) ve (x=5,b=0)(x=5, b=0). İngilizce bilenlerin sayısı s(I˙)=4x+2bs(İ) = 4x + 2b formülüyle hesaplanır. İlk durumda sonuç 28, ikinci durumda 20 bulunur. En çok istendiği için doğru cevap 28'dir.

Step-by-Step Solution

1
Kümeler için değişkenleri tanımla.
Yalnızca bir dil bilenlerin sayısı her bir dil için aa, yalnızca iki dil bilenlerin sayısı her bir ikili kombinasyon için bb, her üç dili bilenlerin sayısı c=xc=x olsun.
Soruda verilen eşitliklerden yararlanarak bilinmeyen sayısını azaltmak gerekir.
2
Toplam personel sayısı üzerinden genel denklemi kur.
3 tane 'yalnız bir', 3 tane 'yalnız iki' ve 1 tane 'üçlü kesişim' bölgesinin toplamı 50'dir: 3a+3b+x=503a + 3b + x = 50
Birleşim kümesinin eleman sayısı formülü: s(I˙∪A∪F)=50s(İ \cup A \cup F) = 50.
3
Verilen katsayı ilişkisini denkleme uygula.
Yalnızca İngilizce bilen (aa) ile üç dili bilen (xx) arasındaki ilişki a=3xa = 3x şeklindedir. Denklem: 3(3x)+3b+x=50⇒10x+3b=503(3x) + 3b + x = 50 \Rightarrow 10x + 3b = 50
Tek bilinmeyenli veya iki bilinmeyenli bir Diophant (tam sayı) denklemine ulaşmak için.
4
Tam sayı şartını sağlayan (x,b)(x, b) ikililerini bul.
İnsan sayısı negatif veya kesirli olamayacağı için:
1. Durum: x=2x=2 için 20+3b=50⇒3b=30⇒b=1020 + 3b = 50 \Rightarrow 3b = 30 \Rightarrow b = 10 (Geçerli)
2. Durum: x=5x=5 için 50+3b=50⇒3b=0⇒b=050 + 3b = 50 \Rightarrow 3b = 0 \Rightarrow b = 0 (Geçerli)
Diğer xx değerleri için bb tam sayı çıkmaz.
Soruda 'en çok' ifadesi geçtiği için olası tüm durumlar incelenmelidir.
5
İngilizce bilenlerin sayısını (s(I˙)s(İ)) formüle et ve maksimum değeri bul.
s(I˙)=(Yalnız I˙)+(Yalnız I˙∩A)+(Yalnız I˙∩F)+(U¨c¸u¨)s(İ) = (\text{Yalnız } İ) + (\text{Yalnız } İ \cap A) + (\text{Yalnız } İ \cap F) + (\text{Üçü})
s(I˙)=a+b+b+x=3x+2b+x=4x+2bs(İ) = a + b + b + x = 3x + 2b + x = 4x + 2b

1. Durum (x=2,b=10x=2, b=10): 4(2)+2(10)=8+20=284(2) + 2(10) = 8 + 20 = 28
2. Durum (x=5,b=0x=5, b=0): 4(5)+0=204(5) + 0 = 20

En büyük değer 28'dir.
İngilizce kümesi, sadece İngilizce bilenleri değil, İngilizce içeren tüm kesişimleri kapsar.

Key Concept

Kümelerde Birleşim ve Denklem Kurma

Hints

1
Kümeleri çizerek her bir bölgeye değişken verin (Örn: Yalnız bir dil bilenler 'a', yalnız iki dil bilenler 'b', hepsi 'x').
2
Tüm bölgelerin toplamı 50'dir. Verilen 'Yalnız İngilizce = 3 * Hepsi' bilgisini kullanarak denklemi iki bilinmeyenli hale getirin (10x+3b=5010x + 3b = 50).
3
10x+3b=5010x + 3b = 50 denkleminde xx ve bb insan sayısı olduğu için negatif olamaz ve tam sayı olmalıdır. xx'e değer vererek bb'nin tam sayı çıktığı durumları bulun.
Estimated Time:2m 30s
PreviousPage 3 / 3
Küme Problemleri Practice Questions — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Page 3 | Examkin