Examkin

Question

Difficulty: HardKüme Problemleri

Bir bakanlıkta görev yapan uzman yardımcılarının Kamu İhale (K), Personel (P) ve Bütçe (B) mevzuatlarına hakimiyet durumları incelenmiştir. Kurumdaki tüm uzman yardımcılarının bu üç mevzuattan en az birine hakim olduğu bilinmektedir.

İnceleme sonuçlarına göre:
- Sadece bir mevzuat türüne hakim olanların sayıları birbirine eşittir.
- Sadece iki mevzuat türüne hakim olanların sayıları birbirine eşittir.
- Sadece iki mevzuat türüne hakim olanların sayısı (herhangi bir kesişim grubu için), her üç mevzuata da hakim olanların sayısının 3 katıdır.
- Her üç mevzuata da hakim olanların sayısı, sadece bir mevzuat türüne hakim olan herhangi bir grubun sayısının yarısıdır.
- En az iki mevzuat türüne hakim olan toplam uzman yardımcısı sayısı 40'tır.

Buna göre, bu grupta yer alan toplam uzman yardımcısı sayısı kaçtır?

  1. A
    48
  2. B
    52
  3. C
    60
  4. 64Answer
  5. E
    72

Answer

Toplam uzman yardımcısı sayısı 64'tür.
Verilen ilişkiler Venn şeması üzerinde modellendiğinde; 'en az iki' şartını sağlayan bölge 3y+z=403y + z = 40 denklemini verir. Değişkenler zz cinsinden yazıldığında (y=3z,x=2zy=3z, x=2z), z=4z=4 bulunur. Buradan y=12y=12 ve x=8x=8 elde edilir. Toplam uzman sayısı 3x+3y+z3x + 3y + z formülüyle 24+36+4=6424 + 36 + 4 = 64 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Kümeleri ve bölgeleri değişkenlerle ifade et.
Sadece bir mevzuata hakim olan grup sayısı (sadece K, sadece P, sadece B) her biri için xx olsun. Sadece iki mevzuata hakim olan grup sayısı (sadece K∩P, sadece K∩B, sadece P∩B) her biri için yy olsun. Üçüne de hakim olanların sayısı zz olsun.
Problemde verilen eşitlikleri matematiksel denklemlere dökmek için her bölgeye bir değişken atamak gerekir.
2
Verilen ilişkileri denklemlere dök.
1. 'Sadece iki... üçünün 3 katıdır': y=3zy = 3z. 2. 'Her üçü... sadece birin yarısıdır': z=x/2⇒x=2zz = x/2 \Rightarrow x = 2z.
Bilinmeyenleri tek bir cins (z) üzerinden ifade etmek çözümü kolaylaştırır.
3
'En az iki' bilgisini kullanarak z değerini bul.
En az iki mevzuat bilenler = (Sadece iki bilenler toplamı) + (Üçünü de bilenler). Yani 3y+z=403y + z = 40. yy yerine 3z3z koyarsak: 3(3z)+z=40⇒9z+z=40⇒10z=40⇒z=43(3z) + z = 40 \Rightarrow 9z + z = 40 \Rightarrow 10z = 40 \Rightarrow z = 4.
Sayısal değeri verilen tek bilgi 'en az iki' olduğu için çözüm buradan başlar.
4
Diğer değişkenleri (x ve y) hesapla.
z=4z = 4 ise, y=3×4=12y = 3 \times 4 = 12 ve x=2×4=8x = 2 \times 4 = 8.
Toplam sayıyı bulmak için tüm alt bölgelerin değerlerine ihtiyaç vardır.
5
Toplam kişi sayısını hesapla.
Toplam = (3 tane x) + (3 tane y) + (1 tane z) = 3(8)+3(12)+4=24+36+4=643(8) + 3(12) + 4 = 24 + 36 + 4 = 64.
Evrensel küme, tüm ayrık alt kümelerin toplamına eşittir.

Key Concept

Kümelerde Birleşim ve Kesişim Problemleri (Venn Şeması ile Modelleme)

Hints

1
Soruyu çözmek için üç kesişim kümesi olan bir Venn şeması çizin ve bölgeleri harflendirin (sadece bir, sadece iki, hepsi).
2
'Sadece iki mevzuata hakim olanlar' ifadesi Venn şemasında üç farklı yaprak bölgesini temsil eder, bu yüzden denklemde 3y olarak alınmalıdır.
3
En az iki mevzuat bilenler = (3 × Sadece iki bilenler) + (Hepsi). Yani 3y+z=403y + z = 40 denklemini kurup, diğer değişkenleri zz cinsinden yazın.

Practice More

Benzer bir mantıkla, 'en çok bir mevzuat bilenler' sayısının verildiği ve kesişimin istendiği bir soru çözülebilir.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Küme Problemleri

More questions from this topic