Sayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

41 questions

$a$ ve $b$ sıfırdan farklı gerçel sayıları için $a \cdot b = 1$ olduğu bilinmektedir.

Buna göre;

I. $a$ rasyonel sayı ise $b$ rasyonel sayıdır.
II. $a$ irrasyonel sayı ise $b$ irrasyonel sayıdır.
III. $a + b$ rasyonel sayı ise $a^2$ rasyonel sayıdır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

I, II ve III

Show answer & explanation

Answer: I ve II

Answer

I ve II ifadeleri her zaman doğrudur.

I ve II öncülleri, rasyonel ve irrasyonel sayıların çarpma işlemine göre tersinin aynı sayı kümesine ait olması kuralına dayanır ve daima doğrudur. III öncülünde ise toplamı ve çarpımı rasyonel olan sayıların kendileri ve kareleri irrasyonel olabilir; bu durum kareköklü denklemlerin kök yapısından kaynaklanır.

Step-by-Step Solution

I. öncülü analiz et.

b = \frac{1}{a}

bağıntısı yazılır.

a \cdot b = 1

olduğu için

b

sayısı

a

'nın çarpma işlemine göre tersidir. Rasyonel sayılar kümesi (sıfır hariç) çarpma işlemine göre tersi alınabilir ve sonuç yine rasyoneldir.

II. öncülü analiz et.

a

irrasyonel ise

b

de irrasyoneldir.

Eğer

b

rasyonel olsaydı,

a = \frac{1}{b}

de rasyonel olurdu. Bu durum

a

'nın irrasyonel olmasıyla çelişir. Dolayısıyla

b

irrasyonel kalmalıdır.

III. öncül için karşıt örnek oluştur.

a+b=3

rasyonel bir sayıdır.

a+b=3

ab=1

ise

a

b

sayıları

x^2 - 3x + 1 = 0

denkleminin kökleridir. Kökler

x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}

şeklindedir. Bu durumda

a^2 = (\frac{3 + \sqrt{5}}{2})^2 = \frac{14 + 6\sqrt{5}}{4} = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}

olur ki bu irrasyoneldir.

Key Concept

Sayı kümelerinin kapalılık özellikleri ve rasyonel/irrasyonel sayıların işlemsel ilişkileri.

Practice More

İrrasyonel iki sayının toplamının rasyonel olabileceği durumları inceleyen benzer sorular çözebilirsiniz.

Estimated Time:2m 0s

PreviousPage 3 / 3

Sayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More