Sayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel) Practice Questions — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Page 2

Question 21Question →

x

bir tam sayı olmak üzere,

\sqrt{x^2 - 8x + 48}

ifadesinin bir rasyonel sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre, $x$ 'in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

8

16

17

19

32

Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

x

değerlerinin toplamı 16'dır.

Verilen köklü ifadenin rasyonel olabilmesi için kök içinin bir tam sayının karesi olması gerekir (

k^2

). İfade

(x-4)^2 + 32 = k^2

şeklinde düzenlendiğinde,

k^2 - (x-4)^2 = 32

elde edilir. Bu iki kare farkı,

(k-(x-4))(k+(x-4))=32

biçiminde yazılır. Çarpımları 32 olan ve toplamları çift sayı olan (aynı pariteli) çarpan çiftleri (2, 16) ve (4, 8)'dir. Bu çiftlerden elde edilen

x-4

değerleri

\pm 7

ve

\pm 2

olur. Buradan

x

değerleri 11, -3, 6 ve 2 bulunur. Toplamları 16'dır.

Step-by-Step Solution

1

İfadeyi tam kareye tamamlama yöntemiyle düzenle.

\sqrt{(x-4)^2 + 32} = k

(

k \in \mathbb{Q}

)

Kök içindeki ifadenin rasyonel olabilmesi için, içerideki sayının tam kare olması gerekir (çünkü

x

tam sayı, dolayısıyla kök içi tam sayıdır).

2

Eşitliği düzenleyerek iki kare farkı formatına getir.

k^2 - (x-4)^2 = 32 \Rightarrow (k - (x-4)) \cdot (k + (x-4)) = 32

Çarpanlarına ayırarak tam sayı çözümlerini bulmak için.

3

Çarpımı 32 olan ve aynı pariteye (tek-çiftlik durumuna) sahip çarpan çiftlerini belirle.

Çarpanların toplamı

2k

(çift) olduğu için her iki çarpan da çift olmalıdır:

(2, 16)

ve

(4, 8)

.

Tek ve çift sayıların toplamı tek, çarpımı çift olurdu; ancak burada toplamın

2k

olması her iki çarpanın da çift olmasını zorunlu kılar.

4

Her çarpan çifti için

x

değerlerini hesapla.

1. Durum

(2, 16)

:

2(x-4) = 16-2 \Rightarrow x=11

veya

2(x-4) = 2-16 \Rightarrow x=-3

. 2. Durum

(4, 8)

:

2(x-4) = 8-4 \Rightarrow x=6

veya

2(x-4) = 4-8 \Rightarrow x=2

.

Y = x-4

dersek, çarpanlar

k-Y

ve

k+Y

olur. Farkları

2Y

'dir.

5

Bulunan tüm

x

değerlerini topla.

11 + (-3) + 6 + 2 = 16

Soruda istenen nihai sonucu bulmak için.

Key Concept

Tam Kareye Tamamlama ve İki Kare Farkı

Hints

1

Kök dışına rasyonel çıkabilmesi için, kök içindeki ifadenin bir tam sayının karesine (

k^2

) eşit olması gerekir.

2

x^2 - 8x + 48

ifadesini tam kareye tamamlayın:

(x-4)^2 + 32 = k^2

.

3

k^2 - (x-4)^2 = 32

eşitliğini iki kare farkı olarak yazıp çarpanlarına ayırın. Çarpanların ikisinin de çift sayı olması gerektiğini unutmayın.

Practice More

Benzer mantıkla

\sqrt{n^2 + 12n + 12}

ifadesini tam sayı yapan

n

değerlerini bulunuz.

Alternative Method

Denklem

x^2 - 8x + (48-k^2) = 0

olarak düşünülüp, diskriminantın tam kare olması şartından da gidilebilir ancak bu yol daha karmaşıktır.

Estimated Time:3m 0s

Question 22Question →

Sıfırdan farklı $x, y$ ve $z$ gerçel sayıları için aşağıdaki üç koşul sağlanmaktadır:

I. $x + y$ toplamı bir rasyonel sayıdır.
II. $y \cdot z$ çarpımı bir rasyonel sayıdır.
III. $x \cdot z$ çarpımı bir irrasyonel sayıdır.

Buna göre $x, y$ ve $z$ sayılarının ait oldukları sayı kümeleri aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

x

rasyonel,

y

ve

z

irrasyonel sayıdır.

y

rasyonel,

x

ve

z

irrasyonel sayıdır.

z

rasyonel,

x

ve

y

irrasyonel sayıdır.

x, y

ve

z

irrasyonel sayılardır.

x, y

ve

z

rasyonel sayılardır.

Show answer & explanation

Answer: $x, y$ ve $z$ irrasyonel sayılardır.

Answer

Her üç sayı da (

x, y

ve

z

) irrasyonel olmak zorundadır.

Verilen öncüllerden yola çıkarak 'olmayana ergi' (proof by contradiction) yöntemi uygulandığında; herhangi bir sayının rasyonel olduğu varsayımı, diğer sayıların da rasyonel olmasını gerektirir. Bu durum, üçüncü öncüldeki (

x \cdot z

irrasyoneldir) koşuluyla çelişir. Dolayısıyla, bu zincirleme mantık gereği

x, y

ve

z

sayılarının tamamı irrasyonel kümesine ait olmak zorundadır.

Step-by-Step Solution

1

III. öncülü analiz et.

x \cdot z

irrasyoneldir.

Bu bilgi,

x

ve

z

'nin aynı anda rasyonel olamayacağını, hatta en az birinin irrasyonel olması gerektiğini gösterir.

2

x

'in rasyonel olduğunu varsayarak çelişki ara.

Eğer

x \in \mathbb{Q}

ise, I. öncülden (

x+y \in \mathbb{Q}

) dolayı

y

de rasyonel olmak zorundadır. Eğer

y \in \mathbb{Q}

(ve

y \neq 0

) ise, II. öncülden (

y \cdot z \in \mathbb{Q}

) dolayı

z

de rasyonel olmak zorundadır.

İki rasyonel sayının toplamı ve çarpımı rasyoneldir. Bir rasyonel ile bir irrasyonelin toplamı/çarpımı (0 hariç) irrasyoneldir.

3

Varsayımın sonucunu III. öncülle karşılaştır.

Eğer

x, y, z

hepsi rasyonel olursa,

x \cdot z

rasyonel olur. Ancak III. öncül

x \cdot z

'nin irrasyonel olduğunu söylüyor.

Bu bir çelişkidir. Demek ki

x

rasyonel olamaz. Yani

x

irrasyoneldir.

4

x

'in irrasyonel olduğu bilgisini kullanarak diğerlerini bul.

x

irrasyonel ise,

x+y

'nin rasyonel olması için

y

irrasyonel olmalıdır (örneğin

y = q - x

).

y

irrasyonel ise (ve

y \neq 0

),

y \cdot z

'nin rasyonel olması için

z

irrasyonel olmalıdır (örneğin

z = p/y

).

İrrasyonel bir sayı ile rasyonel bir sayının toplamı irrasyoneldir. İrrasyonel bir sayı ile sıfırdan farklı bir rasyonel sayının çarpımı irrasyoneldir.

5

Sonuçları birleştir.

x, y

ve

z

'nin hepsi irrasyonel olmak zorundadır.

Çelişki yöntemiyle tek tutarlı seçeneğin bu olduğu ispatlanmıştır.

Key Concept

İrrasyonel Sayılarla İşlemlerde Kapalılık Özellikleri ve Olmayana Ergi (Çelişki) Yöntemi

Hints

1

Soruyu çözmek için 'olmayana ergi' yöntemini kullanmayı deneyin. Örneğin, '

x

rasyonel bir sayı olsaydı ne olurdu?' sorusuyla başlayın.

2

Eğer

x

rasyonel ise,

x+y

'nin rasyonel olması

y

hakkında ne söyler? Ardından bu

y

bilgisiyle

y \cdot z

koşuluna bakın.

3

x

rasyonel ise

y

de rasyonel olur.

y

rasyonel ise

z

de rasyonel olur. Üçü de rasyonel olursa

x \cdot z

çarpımı irrasyonel olabilir mi?

Practice More

İki irrasyonel sayının toplamının rasyonel, çarpımının irrasyonel olduğu durumlar üzerine alıştırma yapın.

Alternative Method

Değer verme yöntemi (Counter-example):

x, y, z

için rasyonel değerler vererek III. öncülün sağlanmadığını görünce şıkları eleyebilirsiniz.

Estimated Time:3m 0s

Question 23Question →

Sayı kümeleri ve bu kümeler arasındaki ilişkilerle ilgili olarak aşağıda verilen ifadelerden hangisi yanlıştır?

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

kapsama ilişkisi doğrudur.

\pi

sayısı irrasyonel bir sayı iken

\frac{22}{7}

sayısı rasyonel bir sayıdır.

\sqrt{0,\overline{4}}

sayısı rasyonel bir sayıdır.

\sqrt{0,9}

sayısı rasyonel bir sayıdır.

0

sayısı rasyonel sayılar kümesinin (

\mathbb{Q}

) bir elemanıdır.

Show answer & explanation

Answer: $\sqrt{0,9}$ sayısı rasyonel bir sayıdır.

Answer

\sqrt{0,9}

sayısının rasyonel olduğunu belirten ifade yanlıştır; çünkü bu sayı kök dışına tam olarak çıkamaz ve irrasyoneldir.

\sqrt{0,9}

ifadesi rasyonel sayıya çevrildiğinde

\sqrt{\frac{9}{10}}

olur.

9

sayısı kök dışına

3

olarak çıksa da paydadaki

10

tam kare bir sayı olmadığı için kök dışına tam sayı olarak çıkamaz (

\sqrt{10}

olarak kalır). Bu durum sayının irrasyonel olmasına neden olur, dolayısıyla rasyonel olduğunu iddia eden ifade yanlıştır.

Step-by-Step Solution

1

Seçeneklerdeki köklü ifadelerin değerlerini rasyonel sayıya çevirerek kontrol et.

\sqrt{0,\overline{4}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}

(Rasyonel).

\sqrt{0,9} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}

(İrrasyonel).

Bir sayının rasyonel olması için

a/b

formunda yazılabilmesi, köklü bir sayının rasyonel olması için ise kök dışına tam çıkabilmesi gerekir.

2

Sayı kümeleri arasındaki kapsama ilişkisini ve özel sayıların (0,

\pi

) yerini doğrula.

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

doğrudur.

0 \in \mathbb{Q}

ve

\pi \in \mathbb{Q}'

bilgileri doğrudur.

Doğal sayılar, tam sayılar ve rasyonel sayılar hiyerarşik olarak birbirini kapsar;

\pi

gibi devretmeyen sayılar ise irrasyoneldir.

3

Bulguları karşılaştırarak yanlış olan ifadeyi seç.

\sqrt{0,9}

rasyonel değil irrasyonel bir sayıdır.

\sqrt{10}

tam kare bir sayı olmadığından irrasyoneldir, dolayısıyla

\frac{3}{\sqrt{10}}

de irrasyonel olur.

Key Concept

Sayı kümelerinin hiyerarşik yapısı ve rasyonel/irrasyonel sayı ayrımı.

Hints

1

Bir sayının rasyonel olması için tam sayılar arasında bir oran (

a/b

) şeklinde yazılabilmesi gerekir.

2

Köklü ondalık sayılarda önce sayıyı kesre çevirin; örneğin

0,9 = \frac{9}{10}

ve

0,09 = \frac{9}{100}

farkına dikkat edin.

3

\sqrt{\frac{9}{10}}

ifadesinde

9

kök dışına çıkar ancak

10

çıkamaz. Bir ifadenin payda veya payında tam çıkamayan bir kök varsa o sayı irrasyoneldir.

Practice More

İrrasyonel sayılarla yapılan toplama ve çarpma işlemlerinin sonuçlarının ne zaman rasyonel olabileceğini inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Ondalık köklerin karesini alarak kontrol edebilirsiniz:

0,3

sayısının karesi

0,09

eder,

0,9

etmez. Dolayısıyla

\sqrt{0,9}

sayısı

0,3

değildir.

Estimated Time:1m 30s

Question 24Question →

Matematik öğretmeni, sayı kümelerini tanıtırken tahtaya şu bilgiyi yazmıştır: "Tam sayılar kümesi ( $\mathbb{Z}$ ); negatif tam sayılar, sıfır ve pozitif tam sayıların birleşiminden oluşur. Doğal sayılar kümesi ( $\mathbb{N}$ ) ise sıfırdan başlayarak sonsuza giden tam sayılardır."

Buna göre, tam sayılar kümesinin ( $\mathbb{Z}$ ) bir elemanı olduğu hâlde doğal sayılar kümesinin ( $\mathbb{N}$ ) bir elemanı olmayan sayı aşağıdakilerden hangisidir?

-8

0

\frac{2}{5}

\sqrt{3}

12

Show answer & explanation

Answer: $-8$

Answer

Negatif bir tam sayı olan

-8

ifadesi, tam sayılar kümesine dahil olup doğal sayılar kümesine dahil değildir.

Doğal sayılar kümesi

0

ve pozitif tam sayıları kapsarken, tam sayılar kümesi bunlara ek olarak negatif tam sayıları da içerir. Dolayısıyla, bir sayının tam sayı olup doğal sayı olmaması için negatif bir tam sayı olması gerekir. Seçeneklerdeki negatif tam sayı olan ifade bu kurala uymaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Doğal sayılar kümesinin elemanlarını belirle.

\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}

Doğal sayılar sıfır ve tüm pozitif tam sayıları kapsar.

2

Tam sayılar kümesinin elemanlarını belirle.

\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}

Tam sayılar; negatif tam sayılar, sıfır ve pozitif tam sayıların tamamıdır.

3

İstenen şartı sağlayan sayı grubunu tespit et.

\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N} = \{-1, -2, -3, \dots\}

(Negatif Tam Sayılar)

Tam sayılar kümesinde olup doğal sayılar kümesinde olmayan elemanlar sadece negatif tam sayılardır.

4

Seçenekleri kontrol et.

-8

sayısı negatif bir tam sayıdır.

Verilen seçenekler arasında sadece negatif tam sayı olan ifade şartı sağlar.

Key Concept

Sayı kümeleri arasındaki alt küme ve kapsama ilişkileri, özellikle tam sayılar ve doğal sayılar arasındaki fark.

Hints

1

Doğal sayılar kümesi ile tam sayılar kümesini karşılaştırın; biri diğerini kapsar.

2

Hangi sayı türü tam sayılar kümesinde vardır ancak doğal sayılar kümesinde hiç bulunmaz?

3

Soru aslında sizden bir negatif tam sayı bulmanızı istemektedir.

Practice More

Rasyonel sayılar ile irrasyonel sayılar arasındaki farkları gösteren sınıflandırma sorularını çözebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 25Question →

Sıfırdan farklı $a, b$ ve $c$ gerçel sayıları için $a + b$ ve $b + c$ toplamlarının birer rasyonel sayı, $a + c$ toplamının ise bir irrasyonel sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle rasyonel bir sayıdır?

a + b + c

a - c

a^2

a \cdot c

b

Show answer & explanation

Answer: $a - c$

Answer

İki rasyonel sayının farkı daima rasyonel olduğundan, rasyonel olan iki toplamın farkı olan

a - c

ifadesi kesinlikle rasyoneldir.

Verilen bilgilere göre

a+b

ve

b+c

birer rasyonel sayıdır. Rasyonel sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalıdır, yani iki rasyonel sayının farkı daima rasyoneldir.

(a+b) - (b+c) = a - c

işlemi yapıldığında sonuç rasyonel bir değer olan

q_1 - q_2

sayısına eşit olur. Bu nedenle rasyonel olan iki toplamın farkı olan ifade kesinlikle rasyoneldir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen rasyonel ifadeleri belirlemek ve aralarındaki ilişkiyi kurmak.

a + b = q_1

ve

b + c = q_2

(burada

q_1, q_2 \in \mathbb{Q}

)

Rasyonel sayıların kendi aralarındaki işlemlerinin sonuçlarını analiz etmek için cebirsel eşitlikler kurulur.

2

İki rasyonel ifadeyi birbirinden çıkarmak.

(a + b) - (b + c) = a - c = q_1 - q_2

Değişkenler arasındaki farkın rasyonel olup olmadığını kontrol etmek.

3

Rasyonel sayıların çıkarma işlemine göre kapalılık özelliğini uygulamak.

a - c

ifadesi rasyoneldir.

İki rasyonel sayının farkı daima rasyonel bir sayıdır.

4

a, b

ve

c

sayılarının karakterini analiz etmek.

a, b

ve

c

sayılarının her biri irrasyoneldir.

a - c

rasyonel ve

a + c

irrasyonel ise toplamları olan

2a

irrasyoneldir; dolayısıyla değişkenlerin kendileri irrasyoneldir.

Key Concept

Rasyonel sayıların toplama ve çıkarma işlemlerine göre kapalılık özelliği ile irrasyonel sayıların rasyonel sayılarla etkileşimi.

Question 26Question →

$a$ ve $b$ gerçel sayıları için aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

a

irrasyonel ve

b

rasyonel bir sayı ise

a \cdot b

çarpımı irrasyoneldir

a

ve

b

irrasyonel sayılar ise

a + b

toplamı irrasyoneldir

a + b

ve

a - b

sayıları rasyonel ise

a

ve

b

sayıları rasyoneldir

a^2

ve

b^2

sayıları rasyonel ise

a \cdot b

çarpımı rasyoneldir

a \cdot b

çarpımı rasyonel ise

a

ve

b

sayıları rasyoneldir

Show answer & explanation

Answer: $a + b$ ve $a - b$ sayıları rasyonel ise $a$ ve $b$ sayıları rasyoneldir

Answer

Toplamları ve farkları rasyonel olan iki sayının kendileri de rasyoneldir seçeneği doğrudur.

Rasyonel sayılar kümesi toplama, çıkarma ve (sıfır hariç) bölme işlemlerine göre kapalıdır. Eğer iki sayının toplamı (

a+b

) ve farkı (

a-b

) rasyonel ise, bu ifadelerin toplamı olan

2a

da rasyoneldir. Dolayısıyla

a

rasyoneldir.

a

rasyonel ise ve

a+b

rasyonel ise,

b

de rasyonel olmak zorundadır.

Step-by-Step Solution

1

Doğru olduğu iddia edilen önermedeki şartları belirle.

a+b = Q_1

ve

a-b = Q_2

olsun. Burada

Q_1

ve

Q_2

birer rasyonel sayıdır.

Rasyonel sayılar kümesi

\mathbb{Q}

toplama ve çıkarma işlemine göre kapalıdır.

2

Bu iki ifadeyi taraf tarafa toplayarak

a

sayısını elde et.

(a+b) + (a-b) = 2a

. Dolayısıyla

2a = Q_1 + Q_2

olur.

Q_1 + Q_2

işlemi iki rasyonel sayının toplamı olduğundan sonuç yine rasyoneldir.

3

a

sayısının rasyonel olup olmadığını analiz et.

2a

rasyonel ise

a = \frac{Q_1 + Q_2}{2}

de rasyoneldir.

Sıfırdan farklı bir rasyonel sayıya bölme işlemi rasyonelliği bozmaz.

4

Aynı mantıkla

b

sayısını bulmak için taraf tarafa çıkarma işlemi yap.

(a+b) - (a-b) = 2b

. Benzer şekilde

b

sayısı da rasyonel çıkar.

Hem

a

hem de

b

rasyonel olmak zorundadır. Bu nedenle bu önerme daima doğrudur.

Key Concept

Rasyonel Sayıların Kapalılık Özelliği

Hints

1

Seçenekleri değerlendirirken 'daima' kelimesine dikkat ediniz. Tek bir aksi örnek (karşıt örnek) bulmanız o seçeneği elemek için yeterlidir.

2

İrrasyonel sayılarla işlem yaparken sonucun rasyonel çıkabileceği özel durumları (

\\sqrt{2}

ile

-\\sqrt{2}

toplamı veya

\\sqrt{2}

ile

\\sqrt{2}

çarpımı gibi) düşününüz.

3

Doğru seçenekte verilen iki ifadeyi (

a+b

ve

a-b

) taraf tarafa toplayıp çıkararak

a

ve

b

sayılarını yalnız bırakmayı deneyiniz.

Practice More

İki irrasyonel sayının bölümünün rasyonel olma durumunu inceleyen sorular çözünüz.

Alternative Method

Değer verme yöntemi (Counter-example): Yanlış seçenekleri elemek için

a=\sqrt{2}, b=-\sqrt{2}

veya

b=0

gibi sınır değerleri deneyerek şıkların çoğunu eleyebilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 27Question →

Sıfırdan farklı

x, y

ve

z

gerçel sayıları için,

x \cdot y

ve

y \cdot z

ifadelerinin birer rasyonel sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

x ve z sayıları birer tam sayıdır

x . z çarpımı bir rasyonel sayıdır

x + z toplamı bir rasyonel sayıdır

x / z oranı bir rasyonel sayıdır

y rasyonel ise x irrasyoneldir

Show answer & explanation

Answer: x / z oranı bir rasyonel sayıdır

Answer

x / z oranı bir rasyonel sayıdır

Verilen bilgilere göre

x \cdot y

ve

y \cdot z

rasyonel sayılardır. Bu rasyonel sayılara sırasıyla

a

ve

b

diyelim. Buradan

x = a/y

ve

z = b/y

yazılabilir.

\frac{x}{z}

oranı hesaplandığında

y

çarpanları sadeleşir ve geriye

a/b

kalır. İki rasyonel sayının bölümü yine bir rasyonel sayı olduğundan, bu ifade kesinlikle rasyoneldir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen bilgileri matematiksel eşitliklere dök

x \cdot y = q_1

ve

y \cdot z = q_2

olsun (burada

q_1, q_2 \in \mathbb{Q}

).

Rasyonel sayı olma bilgisini işlem yapabilir hale getirmek için.

2

x ve z değişkenlerini y cinsinden ifade et

x = \frac{q_1}{y}

ve

z = \frac{q_2}{y}

Değişkenler arasındaki ilişkiyi ortak değişken (y) üzerinden kurmak için.

3

Seçeneklerdeki x/z oranını incele

\frac{x}{z} = \frac{q_1 / y}{q_2 / y} = \frac{q_1}{q_2}

Doğru önermeyi bulmak için.

4

Sonucun rasyonel olup olmadığını değerlendir

İki rasyonel sayının (

q_1

ve

q_2

) oranı yine bir rasyonel sayıdır (bölen sıfırdan farklı olduğu sürece).

Rasyonel sayılar kümesi bölme işlemine göre kapalıdır.

Key Concept

Rasyonel Sayıların Özellikleri

Hints

1

Değişkenlere sayı değeri vererek (örneğin

\sqrt{2}

gibi) seçenekleri eleyebilirsiniz.

2

x \cdot y = a

ve

y \cdot z = b

diyerek

x

ve

z

'yi

y

cinsinden yazmayı deneyin.

Estimated Time:2m 30s

Question 28Question →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı $a$ ve $b$ sayıları için aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

a rasyonel ve b irrasyonel sayı ise, a + b toplamı irrasyonel sayıdır

a ve b irrasyonel sayı ise, a · b çarpımı irrasyonel sayıdır

a ve b irrasyonel sayı ise, a + b toplamı irrasyonel sayıdır

a rasyonel ve b irrasyonel sayı ise, a · b çarpımı irrasyonel sayıdır

a pozitif rasyonel sayı ise, √a irrasyonel sayıdır

Show answer & explanation

Answer: a rasyonel ve b irrasyonel sayı ise, a + b toplamı irrasyonel sayıdır

Answer

a rasyonel ve b irrasyonel sayı ise, a + b toplamı irrasyonel sayıdır seçeneği doğrudur.

Rasyonel bir sayı (

a

) ile irrasyonel bir sayının (

b

) toplamı daima irrasyoneldir. Eğer sonuç rasyonel olsaydı (

a+b=r

), irrasyonel sayı (

b

) iki rasyonel sayının farkına (

r-a

) eşit olurdu ki bu, rasyonel sayıların kapalılık özelliği gereği

b

'nin de rasyonel olmasını gerektirirdi. Bu durum

b

'nin irrasyonel olmasıyla çelişir.

Step-by-Step Solution

1

Seçeneklerin analizi için rasyonel (Q) ve irrasyonel (Q') sayı kümelerinin özelliklerini hatırla.

Q: Rasyonel sayılar (a/b şeklinde yazılabilen), Q': İrrasyonel sayılar (köklü sayılar, π gibi).

Daima doğru olan ifadeyi bulmak için aksine örnek (counter-example) verme yöntemi kullanılacaktır.

2

İki irrasyonel sayının toplamı ve çarpımı özelliklerini test et.

a=\sqrt{2}

ve

b=-\sqrt{2}

alınırsa toplam

0 \in Q

olur.

a=\sqrt{2}

ve

b=\sqrt{2}

alınırsa çarpım

2 \in Q

olur.

Bu durum, 'İki irrasyonel sayının toplamı/çarpımı irrasyoneldir' seçeneklerini eler.

3

Rasyonel ve irrasyonel sayıların çarpımını test et (

a \in Q, b \in Q'

).

a=0

(rasyonel) ve

b=\sqrt{2}

(irrasyonel) alınırsa,

a \cdot b = 0

olur ve

0

rasyoneldir.

Bu durum, 'Rasyonel ve irrasyonel sayının çarpımı daima irrasyoneldir' seçeneğini eler (0 yutan elemandır).

4

Rasyonel ve irrasyonel sayıların toplamını analiz et (

a \in Q, b \in Q'

).

a+b=r

(rasyonel) olsaydı,

b=r-a

olurdu. İki rasyonel sayının farkı rasyonel olacağından

b

rasyonel olurdu. Bu bir çelişkidir.

Çelişki nedeniyle

a+b

sonucu asla rasyonel olamaz, daima irrasyoneldir.

Key Concept

Rasyonel ve İrrasyonel Sayıların Kapalılık Özellikleri

Hints

1

'Daima' sorularında, verilen ifadeyi çürütecek tek bir ters örnek (aksine örnek) bulmaya çalışın.

2

Rasyonel sayılar kümesinde '0' (sıfır) sayısının çarpma işlemindeki etkisini ve irrasyonel sayılarda köklü ifadelerin eşleniklerini düşünün.

3

Rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayının toplamı rasyonel olsaydı, irrasyonel sayı iki rasyonel sayının farkı olarak yazılabilir miydi?

Practice More

İki irrasyonel sayının bölümünün rasyonel olabileceği durumları inceleyen bir soru çözebilirsiniz.

Alternative Method

Değer vererek eleme yöntemi:

a=0, a=4, b=\sqrt{2}, b=-\sqrt{2}

gibi özel değerleri seçeneklerde yerine koyarak yanlış olanları eleyebilirsiniz.

Estimated Time:2m 0s

Question 29Question →

$x$ ve $y$ gerçel sayıları için; $x \cdot y$ çarpımının bir rasyonel sayı, $x + y$ toplamının ise bir irrasyonel sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

x ve y irrasyonel sayılardır.

x irrasyonel ise y rasyoneldir.

x rasyonel ise y irrasyoneldir.

x sıfırdan farklı ise y irrasyoneldir.

x² + y² toplamı rasyonel sayıdır.

Show answer & explanation

Answer: x rasyonel ise y irrasyoneldir.

Answer

x rasyonel ise y irrasyoneldir

Soruda verilen iki koşul vardır: çarpım rasyonel (

Q

), toplam irrasyonel (

Q'

). Eğer

x

bir rasyonel sayı ise, toplamın (

x+y

) irrasyonel olabilmesi için

y

mutlaka irrasyonel olmalıdır (Çünkü Rasyonel + Rasyonel = Rasyonel olurdu). Bu durumda

x

rasyonel,

y

irrasyoneldir. Çarpımlarının (

x \cdot y

) rasyonel olabilmesi için ise rasyonel olan çarpanın mutlaka 0 olması gerekir (0 hariç rasyonel

\times

irrasyonel = irrasyoneldir). Dolayısıyla

x=0

ve

y

irrasyonel olduğunda önerme her zaman doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen koşulları sağlayan olası (x, y) ikililerini analiz et.

Durum 1: Her ikisi de irrasyonel (Örn:

x=\sqrt{2}, y=\sqrt{2} \rightarrow x \cdot y=2 \in Q, x+y=2\sqrt{2} \in Q'

)
Durum 2: Biri 0 (rasyonel), diğeri irrasyonel (Örn:

x=0, y=\sqrt{2} \rightarrow x \cdot y=0 \in Q, x+y=\sqrt{2} \in Q'

)

Çarpımın rasyonel olması için ya birbirini kökten kurtarmalılar ya da biri 0 olmalıdır.

2

Seçenekleri bu durumlara göre test et.

A seçeneği Durum 2'de yanlıştır (x=0 rasyoneldir).

Her zaman doğru olması için tüm durumlarda geçerli olmalıdır.

3

Doğru seçeneği mantıksal çıkarımla kanıtla.

Eğer

x

rasyonel ise,

x+y

'nin irrasyonel olması için

y

KESİNLİKLE irrasyonel olmalıdır. (Rasyonel + İrrasyonel = İrrasyonel). Ayrıca

x

rasyonel ise, çarpımın rasyonel kalması için

x=0

olmak zorundadır (çünkü

y

irrasyoneldir).

x=0

ve

y=\sqrt{2}

durumu koşulları sağlar.

Rasyonel sayılar toplama işlemine göre kapalıdır; bir rasyonel ile bir rasyonelin toplamı irrasyonel olamaz.

Key Concept

Rasyonel ve İrrasyonel Sayıların İşlem Özellikleri

Hints

1

0 sayısının rasyonel bir sayı olduğunu ve çarpma işlemindeki etkisini düşünün.

2

Rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayının toplamı her zaman irrasyoneldir.

Estimated Time:2m 0s

Question 30Question →

Sıfırdan farklı $x$ ve $y$ gerçel sayıları için;

I. $x \cdot y$ çarpımının bir rasyonel sayı,
II. $x + y$ toplamının bir irrasyonel sayı

olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu sayılarla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

x rasyonel, y irrasyonel sayıdır

x ve y irrasyonel sayılardır

x ve y rasyonel sayılardır

x² ve y² rasyonel sayılardır

x bir tam sayı ise y bir doğal sayıdır

Show answer & explanation

Answer: x ve y irrasyonel sayılardır

Answer

Her iki sayının da irrasyonel sayı olduğu kesindir.

Verilen iki koşulu aynı anda sağlayan tek durum, her iki sayının da irrasyonel olmasıdır. Rasyonel sayılar kümesi çarpma ve toplama işlemlerine göre kapalıdır; yani iki rasyonel sayının toplamı ve çarpımı yine rasyoneldir. Toplamın irrasyonel olması için sayılardan en az biri irrasyonel olmalıdır. Eğer biri rasyonel (sıfır hariç) diğeri irrasyonel olsaydı, çarpımları irrasyonel olurdu. Çarpımın rasyonel kalabilmesi için (biri diğerinin eşleniği gibi durumlarda) her ikisinin de irrasyonel olması gerekir.

Step-by-Step Solution

1

Birinci durumu analiz et (Rasyonel olma durumu)

Eğer x rasyonel bir sayı olsaydı (x ∈ Q ve x ≠ 0), çarpımları rasyonel olduğu için y = (x·y)/x işlemi gereği y de rasyonel olmak zorunda kalırdı.

Sıfırdan farklı iki rasyonel sayının bölümü rasyoneldir.

2

Çelişkiyi tespit et

Eğer hem x hem de y rasyonel olsaydı, toplamları (x+y) kesinlikle rasyonel olurdu. Ancak soruda toplamın irrasyonel olduğu verilmiştir.

Rasyonel sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.

3

Sonuca var

Varsayımımız yanlış olduğu için x rasyonel olamaz. x irrasyoneldir. Aynı mantık y için de geçerlidir. Dolayısıyla her ikisi de irrasyoneldir.

Olmayana ergi (redüksiyon) yöntemi ile ispat.

Key Concept

Rasyonel ve İrrasyonel Sayıların İşlem Özellikleri

Hints

1

Rasyonel sayılar kendi aralarında toplandığında sonuç ne tür bir sayı olur?

2

Eğer sayılardan biri rasyonel (örneğin 3) diğeri irrasyonel (örneğin √2) olsaydı, çarpımları (3√2) rasyonel olabilir miydi?

Practice More

Rasyonel ve irrasyonel sayıların toplamının daima irrasyonel olduğunu gösteren bir ispat sorusu çözülebilir.

Alternative Method

Değer vererek deneme yöntemi: x = √2 ve y = √2 durumunu dene (Toplam: 2√2 İrrasyonel, Çarpım: 2 Rasyonel). x = 2 ve y = 3 durumunu dene (Toplam: 5 Rasyonel - uymaz).

Estimated Time:1m 30s

Question 31Question →

Sayı kümelerini öğrenen bir öğrenci, elindeki listede bulunan sayılardan hangisinin rasyonel sayılar kümesinin ( $\mathbb{Q}$ ) bir elemanı olduğu halde tam sayılar kümesinin ( $\mathbb{Z}$ ) bir elemanı olmadığını fark etmiştir.

Buna göre, öğrencinin fark ettiği bu sayı aşağıdakilerden hangisidir?

-3

0

\frac{2}{5}

\sqrt{25}

8

Show answer & explanation

Answer: $\frac{2}{5}$

Answer

İki tam sayının oranı şeklinde ifade edilen ancak tam sayı değeri taşımayan

\frac{2}{5}

sayısı rasyonel bir sayıdır fakat tam sayı değildir.

\frac{2}{5}

sayısı, rasyonel sayı tanımına uygun olarak iki tam sayının oranı şeklinde yazılmıştır. Ancak bu bölme işleminin sonucu bir tam sayı vermediği için tam sayılar kümesine dahil değildir. Diğer tüm seçeneklerdeki sayılar rasyonel olmalarının yanı sıra aynı zamanda birer tam sayıdır.

Step-by-Step Solution

1

Tam sayılar kümesini (

\mathbb{Z}

) tanımlama

\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}

Bir sayının tam sayı olup olmadığını anlamak için kümenin sınırlarını bilmek gerekir.

2

Rasyonel sayılar kümesini (

\mathbb{Q}

) tanımlama

a

ve

b

tam sayı,

b \neq 0

olmak üzere

\frac{a}{b}

biçiminde yazılabilen sayılardır.

Her tam sayı paydası 1 olan bir rasyonel sayıdır (

\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}

).

3

Seçeneklerdeki sayıların kümelerini inceleme

-3

,

0

,

8

ve

\sqrt{25}=5

sayıları tam sayılardır.

\frac{2}{5}

ise rasyoneldir ancak tam sayı değildir.

Tam sayı olmayan bir rasyonel sayı, paydası 1'e sadeleştirilemeyen bir kesirdir.

Key Concept

Sayı Kümeleri Arasındaki Kapsama İlişkisi

Hints

1

Her tam sayının paydası 1 olan bir rasyonel sayı olduğunu hatırlayın.

2

Karekök içindeki sayıları dışarı çıkarıp çıkaramayacağınıza bakın; örneğin

\sqrt{25}

kaça eşittir?

3

Bir sayının tam sayı olmaması için ondalıklı bir kısmının bulunması veya kesir olarak sadeleştiğinde paydasının 1 olmaması gerekir.

Practice More

İrrasyonel sayılar ile rasyonel sayılar arasındaki farkı anlamak için

\pi

ve

\sqrt{2}

gibi örnekleri inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 32Question →

Gerçel sayılar kümesi

\mathbb{R}

üzerinde,

A

ve

B

kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanıyor:

A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 \in \mathbb{Q} \}

B = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^3 \in \mathbb{Q} \}

Buna göre, bu kümelerle ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

Rasyonel sayılar kümesi,

A

ve

B

kümelerinin her ikisinin de alt kümesidir

A

kümesinde olup

B

kümesinde olmayan en az bir eleman vardır

B

kümesinde olup

A

kümesinde olmayan en az bir eleman vardır

A

ve

B

kümelerinin kesişimi rasyonel sayılar kümesine eşittir

A

ve

B

kümelerinin birleşimi gerçel sayılar kümesine eşittir

Show answer & explanation

Answer: $A$ ve $B$ kümelerinin birleşimi gerçel sayılar kümesine eşittir

Answer

A

ve

B

kümelerinin birleşiminin gerçel sayılar kümesine eşit olduğu ifadesi yanlıştır.

Yanlış olan ifade, birleşim kümesinin tüm gerçel sayılara eşit olduğunu iddia eden seçenektir.

\pi

(pi) sayısı veya

\sqrt{2}+\sqrt{3}

gibi transandantal veya karmaşık köklü sayılar ne

A

kümesine (karesi rasyonel) ne de

B

kümesine (küpü rasyonel) dahildir. Bu sayılar gerçel sayı olmalarına rağmen bu iki kümenin birleşiminin dışındadır.

Step-by-Step Solution

1

A

ve

B

kümelerinin tanımlarını analiz et.

A

, karesi rasyonel olan sayıları;

B

ise küpü rasyonel olan sayıları içerir.

\mathbb{Q} \subset A

ve

\mathbb{Q} \subset B

'dir.

Rasyonel sayıların tüm kuvvetleri rasyoneldir.

2

A

ve

B

kümelerinin farklarını incele.

\sqrt{2} \in A

(çünkü

(\sqrt{2})^2=2 \in \mathbb{Q}

) fakat

\sqrt{2} \notin B

(çünkü

(\sqrt{2})^3=2\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}

). Benzer şekilde

\sqrt[3]{2} \in B

fakat

\sqrt[3]{2} \notin A

.

Bu durum,

A \setminus B

ve

B \setminus A

kümelerinin boş olmadığını gösterir.

3

Kesişim kümesi

A \cap B

'yi belirle.

Bir

x

sayısı hem

A

'da hem

B

'de ise,

x^2 \in \mathbb{Q}

ve

x^3 \in \mathbb{Q}

olur.

x \neq 0

ise

x = x^3 / x^2

işlemi rasyonel iki sayının bölümü olacağından

x

rasyonel olmalıdır. Yani

A \cap B = \mathbb{Q}

.

Rasyonel sayıların bölümü (bölen sıfır değilse) rasyoneldir.

4

Birleşim kümesi

A \cup B

'yi ve

\mathbb{R}

ile ilişkisini sına.

Birleşim kümesi tüm gerçel sayıları kapsamaz. Örneğin

\pi

sayısı;

\pi^2 \notin \mathbb{Q}

olduğundan

A

'da değildir ve

\pi^3 \notin \mathbb{Q}

olduğundan

B

'de değildir. Dolayısıyla

\pi \in \mathbb{R}

olmasına rağmen

A \cup B

kümesinde yoktur.

Karşıt örnek (counter-example) yöntemi ile ifadenin yanlışlığı ispatlanır.

Key Concept

İrrasyonel Sayıların Özellikleri ve Kapalılık

Hints

1

Bir ifadenin yanlış olduğunu göstermek için o kurala uymayan tek bir örnek (karşıt örnek) bulmanız yeterlidir.

2

Şu sayıyı test edin:

\pi

(pi sayısı). Karesi rasyonel midir? Küpü rasyonel midir?

3

Eğer bir sayı

A

veya

B

kümelerinde değilse, birleşimlerinde de değildir.

\pi

sayısı her iki kümede de yoktur, ancak bir gerçel sayıdır.

Practice More

Sayı kümeleri arasındaki kapsama ilişkilerini (örn. N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R) Venn şeması üzerinde çalışın.

Estimated Time:3m 0s

Question 33Question →

Sıfırdan farklı bir $x$ gerçel sayısı için aşağıdaki iki bilginin doğru olduğu bilinmektedir:

I. $x^3$ sayısı bir rasyonel sayıdır.
II. $x^2$ sayısı bir irrasyonel sayıdır.

Buna göre, $x$ sayısı ile ilgili aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

x

bir rasyonel sayıdır.

x^4

sayısı rasyoneldir.

x^5

sayısı irrasyoneldir.

x^6

sayısı irrasyoneldir.

\frac{1}{x}

sayısı rasyoneldir.

Show answer & explanation

Answer: $x^5$ sayısı irrasyoneldir.

Answer

x^5

sayısının irrasyonel olduğu kesindir.

Verilen bilgilere göre

x^3

rasyonel,

x^2

ise irrasyoneldir. Üslü sayı özellikleri kullanılarak

x^5 = x^3 \cdot x^2

şeklinde yazılabilir. Rasyonel sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalı değildir; sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı daima irrasyoneldir. Dolayısıyla

x^5

kesinlikle irrasyoneldir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen önermeleri analiz et.

I.

x^3 \in \mathbb{Q}

(Rasyonel)
II.

x^2 \notin \mathbb{Q}

(İrrasyonel)

Soruda verilen koşulları matematiksel sembollerle ifade etmek çözümün temelidir.

2

x

sayısının kendisinin rasyonel olup olmadığını belirle.

x

bir irrasyonel sayıdır.

Eğer

x

rasyonel olsaydı (

x \in \mathbb{Q}

), karesi

x^2

de rasyonel olurdu. Ancak II. öncülde

x^2

'nin irrasyonel olduğu belirtilmiş. Bu çelişki

x

'in irrasyonel olduğunu kanıtlar.

3

Seçeneklerdeki ifadeleri

x^3

ve

x^2

cinsinden yazarak incele.

x^5 = x^3 \cdot x^2

Bildiğimiz iki değer (

x^3

ve

x^2

) üzerinden bilinmeyen kuvvetleri yorumlamalıyız.

4

x^5

ifadesinin rasyonellik durumunu kontrol et.

x^3

(Sıfırdan farklı Rasyonel)

\times

x^2

(İrrasyonel) = İrrasyonel

Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı daima irrasyoneldir.

x \neq 0

verildiği için

x^3 \neq 0

dır.

Key Concept

Rasyonel ve İrrasyonel Sayıların Çarpımı

Hints

1

x^5

ve

x^6

gibi ifadeleri, soruda verilen

x^2

ve

x^3

cinsinden yazmayı deneyin.

2

x^5 = x^3 \cdot x^2

eşitliğini kullanarak rasyonellik durumunu inceleyin.

3

Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı daima irrasyoneldir.

Practice More

Benzer mantıkla

x^7

sayısının rasyonellik durumunu inceleyen bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Değer vererek kontrol etme:

x = \sqrt[3]{2}

olsun.

x^3 = 2

(Rasyonel),

x^2 = \sqrt[3]{4}

(İrrasyonel). Bu değer için şıkları test edebilirsiniz.

Estimated Time:3m 0s

Question 34Question →

Sıfırdan farklı $x$ ve $y$ gerçel sayıları için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

I. $x \cdot y$ çarpımı rasyonel bir sayıdır.
II. $x + y$ toplamı irrasyonel bir sayıdır.

Buna göre, $x$ ve $y$ sayılarıyla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Her ikisi de rasyonel sayıdır.

Biri rasyonel, diğeri irrasyonel sayıdır.

Her ikisi de irrasyonel sayıdır.

Her ikisinin de karesi rasyonel sayıdır.

x - y

farkı rasyonel bir sayıdır.

Show answer & explanation

Answer: Her ikisi de irrasyonel sayıdır.

Answer

Her iki sayı da irrasyoneldir.

Verilen iki koşulu aynı anda sağlayan tek senaryo, her iki sayının da irrasyonel olmasıdır. Rasyonel sayıların kendi aralarındaki toplamı rasyoneldir (II. öncüle aykırı). Biri rasyonel diğeri irrasyonel (ve sıfırdan farklı) ise çarpımları irrasyoneldir (I. öncüle aykırı). Geriye kalan tek seçenek ikisinin de irrasyonel olmasıdır.

Step-by-Step Solution

1

Olası durumları analiz et.

Üç ana durum vardır: 1) İkisi de rasyonel, 2) Biri rasyonel biri irrasyonel, 3) İkisi de irrasyonel.

Gerçel sayılar kümesi rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşiminden oluşur.

2

Birinci durumu (İkisi de rasyonel) test et.

Yanlış. Eğer

x, y \in \mathbb{Q}

ise,

x+y \in \mathbb{Q}

olur. Ancak II. öncül toplamın irrasyonel olduğunu söylüyor.

Rasyonel sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.

3

İkinci durumu (Biri rasyonel, biri irrasyonel) test et.

Yanlış.

x \in \mathbb{Q} (x \neq 0)

ve

y \in \mathbb{Q}'

ise,

x \cdot y \in \mathbb{Q}'

(irrasyonel) olur. Ancak I. öncül çarpımın rasyonel olduğunu söylüyor.

Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile irrasyonel sayının çarpımı daima irrasyoneldir.

4

Üçüncü durumu (İkisi de irrasyonel) değerlendir.

Doğru. Diğer tüm olasılıklar elendiği için

x

ve

y

sayılarının ikisi de irrasyonel olmak zorundadır.

Örnek doğrulama:

x=\sqrt{2}

ve

y=\sqrt{8}

olsun.

x \cdot y = \sqrt{16} = 4 \in \mathbb{Q}

(Koşul I sağlandı).

x+y = 3\sqrt{2} \in \mathbb{Q}'

(Koşul II sağlandı).

Key Concept

Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin işlemsel özellikleri (Kapalılık ve etkileşim).

Question 35Question →

Sıfırdan farklı

x

ve

y

gerçel sayıları için,

\frac{x}{y}

ifadesinin bir rasyonel sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

x ve y birer tam sayıdır.

x . y çarpımı bir rasyonel sayıdır.

x irrasyonel sayı ise y de irrasyonel sayıdır.

x + y toplamı bir irrasyonel sayıdır.

x² rasyonel sayı ise y bir rasyonel sayıdır.

Show answer & explanation

Answer: x irrasyonel sayı ise y de irrasyonel sayıdır.

Answer

x irrasyonel sayı ise y de irrasyonel sayıdır.

Sıfırdan farklı bir oranın (

x/y

) rasyonel olabilmesi için,

x

ve

y

sayılarının 'türdeş' olması gerekir. Yani ya her ikisi de rasyonel olmalı ya da her ikisi de birbiriyle sadeleşebilen köklü (irrasyonel) ifadeler içermelidir. Eğer

x

bir irrasyonel sayı ise (örneğin

\sqrt{2}

), sonucun rasyonel çıkabilmesi için

y

sayısının da bunu sadeleştirecek bir irrasyonel çarpanı (örneğin

\sqrt{2}

) olmalıdır. Eğer

y

rasyonel olsaydı, İrrasyonel/Rasyonel = İrrasyonel olurdu ve hipotezle çelişirdi. Bu nedenle

x

irrasyonel ise

y

de kesinlikle irrasyoneldir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen koşulu analiz et

x/y = q (q ∈ ℚ ve q ≠ 0) şeklinde yazılabilir. Buradan x = y . q veya y = x/q eşitliği elde edilir.

Soruda x/y ifadesinin rasyonel sayı olduğu belirtilmiştir.

2

Doğru seçeneği (C) sına

Eğer x irrasyonel bir sayı ise (x ∈ ℚ'), y sayısı rasyonel olamaz. Çünkü 'İrrasyonel / Rasyonel = İrrasyonel'dir. Ancak sonucun (x/y) rasyonel çıkması gerektiği için, y de mutlaka irrasyonel olmalıdır.

Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile irrasyonel sayının bölümü/çarpımı daima irrasyoneldir.

3

Diğer seçenekler için karşıt örnek bul

B seçeneği için: x = ⁴√2 ve y = ⁴√2 olsun. x/y = 1 (Rasyonel). Ancak x.y = √2 (İrrasyonel). Bu yüzden x.y daima rasyonel değildir.

Daima doğru olması için tek bir istisna bile ifadeyi yanlış yapar.

Key Concept

İrrasyonel Sayıların Özellikleri ve Kapalılık

Hints

1

Bir rasyonel sayı (q) ile irrasyonel bir sayının (i) çarpımı veya bölümü ne tür bir sayı verir? Bunu düşünün.

2

x = y \cdot k

(k rasyonel) eşitliğini kurun. Eğer x irrasyonel ise ve k rasyonel ise, y sayısı rasyonel olabilir mi?

3

Rasyonel sayı ile Rasyonel sayının işlemi Rasyoneldir. Ancak İrrasyonel / Rasyonel = İrrasyoneldir. Soruda sonucun Rasyonel olduğu verilmiş.

Alternative Method

Değer vererek eleme yöntemi:

x=\sqrt{2}

ve

y=\sqrt{2}

vererek seçenekleri deneyin. Sonra

x=2

ve

y=2

vererek tekrar deneyin. Her iki durumda da doğru kalan tek seçeneği bulun.

Estimated Time:2m 0s

Question 36Question →

Matematik öğretmeni sayı kümelerinin özelliklerini ve bu kümeler arasındaki hiyerarşik ilişkileri anlatırken tahtaya bazı önermeler yazmıştır. Buna göre, sayı kümeleriyle ilgili aşağıda verilen ifadelerden hangisi yanlıştır?

Her tam sayı, paydası 1 olan bir rasyonel sayı şeklinde ifade edilebilir.

İki irrasyonel sayının toplamı rasyonel bir sayıya eşit olabilir.

Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi gerçel sayılar kümesini verir.

Sayı doğrusu üzerindeki her bir noktaya karşılık gelen sayı rasyoneldir.

Devirli ondalık açılımı olan her sayı rasyonel sayılar kümesinin bir elemanıdır.

Show answer & explanation

Answer: Sayı doğrusu üzerindeki her bir noktaya karşılık gelen sayı rasyoneldir.

Answer

Sayı doğrusu üzerindeki her bir noktaya karşılık gelen sayının rasyonel olduğu ifadesi yanlıştır; çünkü sayı doğrusu (gerçel sayılar) rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşiminden oluşur.

Doğru yanıt olan seçenek, sayı doğrusu üzerindeki her noktanın rasyonel olduğunu iddia etmektedir. Ancak sayı doğrusu (gerçel sayılar), hem rasyonel hem de irrasyonel sayıları kapsar. İrrasyonel sayılar (

\sqrt{3}

,

\pi

,

e

gibi) rasyonel olmadıkları halde sayı doğrusu üzerinde birer noktaya karşılık gelirler.

Step-by-Step Solution

1

Sayı kümelerinin tanımlarını hatırla.

Tam sayılar (

\mathbb{Z}

), rasyonel sayılar (

\mathbb{Q}

), irrasyonel sayılar (

\mathbb{Q}'

) ve gerçel sayılar (

\mathbb{R}

) tanımları gözden geçirilir.

Kümeler arasındaki kapsama ilişkisini belirlemek için tanım bilgisi esastır.

2

Seçenekleri karşılaştır.

Rasyonel sayılar kümesinin sayı doğrusunda yoğun olduğu ancak tam olarak doldurmadığı (tamlık özelliği) bilgisi kullanılır.

Sayı doğrusundaki boşlukların irrasyonel sayılar tarafından doldurulduğunu anlamak gerekir.

3

Yanlış olan önermeyi belirle.

Sayı doğrusu üzerindeki her noktanın rasyonel olduğu iddiası, irrasyonel sayıların varlığıyla (örneğin

\sqrt{2} \approx 1,41...

noktası) çürütülür.

Bir gerçel sayı rasyonel değilse mutlaka irrasyoneldir; dolayısıyla tüm noktalar rasyonel olamaz.

Key Concept

Gerçel Sayılar Sisteminin Yapısı ve Sayı Doğrusu

Hints

1

Sayı doğrusunun sadece rasyonel sayılardan mı yoksa rasyonel ve irrasyonel sayıların toplamından mı oluştuğunu düşünün.

2

Devirli ondalık sayıların kesre dönüştürülme formülünü hatırlayın; bu onları rasyonel yapar mı?

3

\pi

sayısı sayı doğrusu üzerinde bir yer kaplar mı? Eğer kaplıyorsa bu nokta rasyonel bir sayı mıdır?

Practice More

İrrasyonel sayıların sayı doğrusundaki yerini anlamak için 'Karekök 2'nin geometrik gösterimini inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 15s

Question 37Question →

$x$ bir gerçel sayı olmak üzere,

I. $x^3$ ve $x^2 + x$ birer rasyonel sayı ise $x$ rasyonel sayıdır.
II. $x^4$ ve $x^6$ birer rasyonel sayı ise $x$ rasyonel sayıdır.
III. $x^2 + 2x$ bir rasyonel sayı ise $x$ rasyonel sayıdır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

I, II ve III

Show answer & explanation

Answer: Yalnız I

Answer

Sadece I. öncül her zaman doğrudur.

I. öncülde verilen

x^3

ve

x^2+x

ifadeleri kullanılarak

x

değişkeni, rasyonel sayıların toplamı ve oranı şeklinde ifade edilebilmektedir. Paydayı sıfır yapan bir gerçel sayı bulunmadığı için

x

her zaman rasyonel bir değer alır.

Step-by-Step Solution

1

I. öncülün analizini yapalım.

x^3 = q_1

ve

x^2 + x = q_2

olsun (

q_1, q_2 \in \mathbb{Q}

).

x^2 = q_2 - x

yazılıp

x^3

ifadesinde yerine konulursa:

x^3 = x \cdot x^2 = x(q_2 - x) = q_2x - x^2 = q_2x - (q_2 - x) = (q_2 + 1)x - q_2

elde edilir.

x^3

ifadesini rasyonel katsayılar ve

x

cinsinden ifade etmek için.

2

x

değişkenini yalnız bırakalım.

x = \frac{q_1 + q_2}{q_2 + 1}

bulunur. Paydanın sıfır olması için

x^2 + x = -1

yani

x^2 + x + 1 = 0

olmalıdır. Bu denklemin diskriminantı

\Delta = -3 < 0

olduğundan hiçbir gerçel

x

sayısı paydayı sıfır yapmaz. Dolayısıyla

x

daima rasyoneldir.

Rasyonel sayıların birbirine oranı (payda sıfır değilse) rasyoneldir.

3

II. öncülü karşı örnekle inceleyelim.

x = \sqrt{2}

olsun.

x^4 = 4

ve

x^6 = 8

rasyonel sayılardır ancak

x = \sqrt{2}

irrasyonel bir sayıdır.

Bir öncülün her zaman doğru olmadığını göstermek için tek bir karşı örnek yeterlidir.

4

III. öncülü karşı örnekle inceleyelim.

x = \sqrt{2} - 1

olsun.

x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1 = (\sqrt{2})^2 - 1 = 1

rasyoneldir ancak

x = \sqrt{2} - 1

irrasyoneldir.

İkinci dereceden ifadelerin rasyonel olması değişkenin rasyonel olmasını garanti etmez.

Key Concept

Rasyonel ve irrasyonel sayılar arasındaki işlemler ve kuvvet ilişkileri.

Estimated Time:2m 30s

Question 38Question →

Sıfırdan farklı $x$ ve $y$ gerçel sayıları için aşağıda verilen önermelerden hangileri her zaman doğrudur?

I. $x+y$ ve $x-y$ ifadeleri birer rasyonel sayı ise $x$ ve $y$ rasyonel sayılardır.
II. $x \cdot y$ ve $\frac{x}{y}$ ifadeleri birer rasyonel sayı ise $x$ ve $y$ rasyonel sayılardır.
III. $x^3$ ve $x^2$ ifadeleri birer rasyonel sayı ise $x$ rasyonel sayıdır.

Buna göre, yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

I, II ve III

Show answer & explanation

Answer: I ve III

Answer

I ve III ifadeleri her zaman doğrudur.

I. öncülde toplam ve farkın rasyonel olması, sayıların tek tek rasyonel olmasını zorunlu kılar. III. öncülde üslerin farkı 1 olduğu için (

3-2=1

) bölme işlemi ile sayının kendisi elde edilir ve rasyonellik korunur. Bu nedenle I ve III kesinlikle doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

I. öncülü analiz et.

Doğru.

(x+y) + (x-y) = 2x

olur. İki rasyonel sayının toplamı rasyonel olduğundan

2x

rasyoneldir, dolayısıyla

x

rasyoneldir. Benzer şekilde

(x+y) - x = y

işlemi ile

y

'nin de rasyonel olduğu kanıtlanır.

2

II. öncül için karşıt örnek (aksine örnek) ara.

Yanlış.

x = \sqrt{2}

ve

y = \sqrt{2}

olsun (irrasyonel sayılar).

x \cdot y = 2

(rasyonel) ve

\frac{x}{y} = 1

(rasyonel) olur. Ancak

x

ve

y

rasyonel değildir. Bu durum önermeyi çürütür.

3

III. öncülü üsler arasındaki ilişkiyi kullanarak analiz et.

Doğru.

x^3

ve

x^2

rasyonel ve

x \neq 0

olduğu için, bölme işlemi

\frac{x^3}{x^2} = x^1 = x

sonucunu verir. İki rasyonel sayının bölümü (payda 0 olmadıkça) rasyonel olduğundan

x

mutlaka rasyoneldir.

Key Concept

Rasyonel Sayılarda İşlemler ve Kapalılık

Alternative Method

III. öncül için

x^3 = r_1

ve

x^2 = r_2

(rasyonel sayılar) diyelim.

x = r_1 / r_2

olacağından, rasyonel sayıların bölümü yine rasyoneldir.

Estimated Time:2m 0s

Question 39Question →

Sıfırdan farklı bir

x

gerçel sayısı için,

x^2 - 6x

ifadesinin bir rasyonel sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

x rasyonel bir sayıdır

x² sayısı rasyoneldir

(x - 3)² ifadesi rasyonel bir sayıdır

x - 3 irrasyonel bir sayıdır

x² + 6x ifadesi rasyoneldir

Show answer & explanation

Answer: (x - 3)² ifadesi rasyonel bir sayıdır

Answer

(x - 3)² ifadesi rasyonel bir sayıdır seçeneği doğrudur.

Verilen x² - 6x ifadesi, (x-3)² tam kare açılımının ana parçasıdır. (x-3)² ifadesini açtığımızda x² - 6x + 9 elde ederiz. Soruda x² - 6x kısmının rasyonel olduğu verilmiştir. Rasyonel bir sayıya 9 (rasyonel) eklendiğinde sonuç yine rasyonel olacağından, (x-3)² daima rasyoneldir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen bilgiyi matematiksel olarak tanımla.

x² - 6x = q olsun, burada q ∈ ℚ (rasyonel sayılar kümesi).

Soruda ifadenin rasyonel olduğu belirtilmiştir.

2

Doğru olduğu iddia edilen seçeneği (x - 3)² incele ve açılımını yap.

(x - 3)² = x² - 6x + 9

Tam kare özdeşliğini kullanarak ifadenin bileşenlerini görmek için.

3

Elde edilen açılımda verilen bilgiyi yerine koy.

(x - 3)² = (x² - 6x) + 9 = q + 9

x² - 6x ifadesinin q olduğunu biliyoruz.

4

Sonucun rasyonellik durumunu analiz et.

q rasyoneldir, 9 rasyoneldir. İki rasyonel sayının toplamı (q + 9) daima rasyoneldir.

Rasyonel sayılar kümesi toplama işlemi altında kapalıdır.

Key Concept

Tam Kareye Tamamlama ve Rasyonel Sayıların Kapalılık Özelliği

Hints

1

Verilen ifadeyi (x² - 6x) tam kare bir ifadeye benzetmeye çalışın.

2

(x - a)² açılımını düşünün. Burada a ne olmalıdır ki açılımda -6x terimi bulunsun?

3

(x - 3)² ifadesini açın ve soruda verilen x² - 6x bilgisini bu açılımın içinde arayın.

Practice More

x³ + 1/x³ toplamının rasyonel olduğu durumda x + 1/x ifadesinin rasyonelliğini sorgulayan sorular çözülebilir.

Alternative Method

x sayısını 3 + √k şeklinde (k rasyonel olmayan bir sayı) düşünerek seçenekleri test edebilirsiniz.

Estimated Time:3m 0s

Question 40Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde işlem özellikleriyle ilgili olarak;

I. İki irrasyonel sayının toplamı her zaman bir irrasyonel sayıdır.
II. Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı her zaman bir irrasyonel sayıdır.
III. Bir irrasyonel sayının karesi her zaman bir rasyonel sayıdır.

ifadelerinden hangileri daima doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

Yalnız III

I ve II

II ve III

Show answer & explanation

Answer: Yalnız II

Answer

İfadeler tek tek incelendiğinde sadece II. öncülün daima doğru olduğu görülür.

Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı sonucunda elde edilen sayı her zaman irrasyoneldir; çünkü aksi halde irrasyonel sayı, iki rasyonel sayının bölümü olarak yazılabilir ve rasyonel olurdu, bu bir çelişkidir.

Step-by-Step Solution

1

I. öncülü analiz et (İki irrasyonel sayının toplamı)

Daima doğru değildir. Örnek:

a = \sqrt{2}

ve

b = -\sqrt{2}

seçilirse, her ikisi de irrasyoneldir ancak toplamları

a + b = 0

olur ve

0

bir rasyonel sayıdır.

Aksi örnek (counter-example) yöntemiyle çürütme

2

II. öncülü analiz et (Sıfırdan farklı rasyonel ile irrasyonelin çarpımı)

Daima doğrudur.

x \neq 0

rasyonel ve

y

irrasyonel olsun. Eğer

x \cdot y = z

(rasyonel) olsaydı,

y = z/x

olurdu. İki rasyonel sayının bölümü rasyonel olacağından

y

rasyonel olurdu, bu da

y

'nin irrasyonel olmasıyla çelişir.

Olmayana ergi (çelişki bulma) yöntemiyle ispat

3

III. öncülü analiz et (İrrasyonel sayının karesi)

Daima doğru değildir. Örnek:

x = \sqrt{2} + 1

irrasyonel bir sayıdır. Karesi

x^2 = (\sqrt{2} + 1)^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}

olur. Sonuç hala irrasyoneldir.

Tam kare açılımı ve köklü sayı özelliği

Key Concept

İrrasyonel sayıların cebirsel özellikleri ve kapalılık (closure) durumu

Sayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints