X ve Y rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, f(x,y) = \begin{cases}… — KPSS İstatistik

$X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu,

f(x,y) = \begin{cases} 24xy, & x > 0, \ y > 0 \text{ ve } x+y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

olarak verilmiştir.

$U = \frac{X}{Y}$ ve $V = X+Y$ dönüşümleri tanımlanıyor.

Buna göre, $U$ rastgele değişkeninin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_U(u)$ aşağıdakilerden hangisidir?

\displaystyle f_U(u) = \frac{6u}{(u+1)^4}, \quad u > 0

İki değişkenli dönüşüm problemlerinde öncelikle ters dönüşümler hesaplanarak

x = uv/(u+1)

y = v/(u+1)

eşitlikleri elde edilir. Bu dönüşümün Jakobiyen determinantı

J = v/(u+1)^2

olarak bulunur. Yeni ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_{U,V}(u,v) = f_{X,Y}(x,y)|J|

formülünden

\frac{24uv^3}{(u+1)^4}

olarak ortaya çıkar.

x+y<1

koşulu

v<1

aralığını,

x>0

y>0

koşulları ise

u>0

v>0

aralıklarını verir.

U

'nun marjinal dağılımını bulmak için bu ortak fonksiyon,

v

'nin sınırları olan

0

ile

1

arasında entegre edildiğinde doğru sonuç

\frac{6u}{(u+1)^4} \ (u > 0)

şeklinde elde edilir.

x

y

'yi

u

v

cinsinden ifade edin (ters dönüşüm).

U = \frac{X}{Y}

V = X+Y

denklemleri çözülürse;

X = \frac{UV}{U+1}

Y = \frac{V}{U+1}

bulunur.

Yeni değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmak için değişken değiştirme (Jakobiyen) yöntemini uygulamak gereklidir.

Dönüşümün Jakobiyen determinantını (

J

) hesaplayın.

J = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} \frac{v}{(u+1)^2} & \frac{u}{u+1} \\ -\frac{v}{(u+1)^2} & \frac{1}{u+1} \end{pmatrix} = \frac{v}{(u+1)^2}

Dönüşüm sonrasında alan elementindeki değişimi (ölçek faktörünü) hesaba katmak zorunludur.

U

V

'nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu (

f_{U,V}(u,v)

) ve entegrasyon sınırlarını bulun.

f_{U,V}(u,v) = 24\left(\frac{uv}{u+1}\right)\left(\frac{v}{u+1}\right) \left|\frac{v}{(u+1)^2}\right| = \frac{24uv^3}{(u+1)^4}

. Sınırlar:

x>0, y>0 \Rightarrow u>0

x+y<1 \Rightarrow v<1

. Dolayısıyla

u > 0

0 < v < 1

Marjinal dağılımı bulmak için önce doğru sınırlar altındaki ortak dağılımı elde etmeliyiz.

Ortak yoğunluk fonksiyonunun

v

değişkeni üzerinden integralini alarak

U

'nun marjinal yoğunluk fonksiyonunu hesaplayın.

f_U(u) = \int_{0}^{1} \frac{24uv^3}{(u+1)^4} dv = \frac{24u}{(u+1)^4} \left[ \frac{v^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{6u}{(u+1)^4}, \quad u > 0

Bir değişkenin marjinal dağılımı, ortak dağılımın diğer değişken (burada

v

) üzerinden entegre edilmesiyle bulunur.

İki Değişkenli Rastgele Değişkenlerde Dönüşümler ve Jakobiyen Yöntemi

Question