Bir sigorta şirketinde, iki farklı hasar türü için (A ve B türleri) hasar bildirim süreler… — KPSS İstatistik

Bir sigorta şirketinde, iki farklı hasar türü için (A ve B türleri) hasar bildirim süreleri sırasıyla $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. $X$ ve $Y$ birbirinden bağımsız olup, $X \sim \text{Üstel}(\lambda=2)$ ve $Y \sim \text{Üstel}(\lambda=1)$ dağılımına sahiptir.

Risk analizi yapan bir aktüer, bu iki hasar bildirim süresinin birbirine oranını modellemek için $U = \frac{Y}{X}$ rastgele değişkenini tanımlamıştır.

Buna göre, $U$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_U(u)$ aşağıdakilerden hangisidir?

$f_U(u) = \frac{2}{(u+2)^2}, \quad u > 0$ Answer
B
$f_U(u) = \frac{2}{u+2}, \quad u > 0$
C
$f_U(u) = \frac{2}{(2u+1)^2}, \quad u > 0$
D
$f_U(u) = \frac{1}{(u+1)^2}, \quad u > 0$
E
$f_U(u) = 2e^{-2u}, \quad u > 0$

Answer

U

rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_U(u) = \frac{2}{(u+2)^2}

'dir.

Bağımsız

X \sim \text{Üstel}(\lambda=2)

Y \sim \text{Üstel}(\lambda=1)

değişkenleri için

U=Y/X

oranının dağılımı yardımcı bir

V=X

değişkeni tanımlanarak çözülür. Ters dönüşüm

X=V, Y=UV

şeklindedir ve bu dönüşümün Jakobiyen determinantı

|J| = V

'dir. Ortak yoğunluk fonksiyonu dönüştürüldüğünde

g(u,v) = 2v e^{-v(u+2)}

elde edilir.

V

üzerinden

[0, \infty)

aralığında Kısmi integral (veya Gamma fonksiyonu) yardımıyla integral alındığında,

U

'nun marjinal yoğunluk fonksiyonu

\frac{2}{(u+2)^2}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

X

Y

'nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu (PDF) yazma.

f_{X,Y}(x,y) = f_X(x)f_Y(y) = (2e^{-2x})(e^{-y}) = 2e^{-2x-y}, \quad x>0, y>0

X

Y

bağımsız olduğundan ortak yoğunluk, marjinal yoğunlukların çarpımına eşittir.

U = Y/X

V = X

dönüşümü için ters fonksiyonları ve Jakobiyen determinantını bulma.

x = v

y = uv

elde edilir. Jakobiyen matrisi

J = \det \begin{pmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v \\ \partial y/\partial u & \partial y/\partial v \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ v & u \end{pmatrix} = -v

. Alan pozitif tanımlandığından mutlak değer

|J| = v

olur.

Sürekli rastgele değişkenlerin fonksiyonlarının ortak dağılımını bulmak için iki değişkenli dönüşüm yöntemi (Jakobiyen) kullanılmalıdır.

U

V

'nin ortak yoğunluk fonksiyonunu,

g(u,v)

, hesaplama.

g(u,v) = f_{X,Y}(v, uv) \cdot |J| = 2e^{-2v - uv} \cdot v = 2v e^{-v(u+2)}, \quad u>0, v>0

Dönüşüm kuralı gereği, ortak yoğunlukta

x

y

yerine

u

v

cinsinden değerler yazılır ve Jakobiyen ile çarpılır.

V

üzerinden integral alarak

U

'nun marjinal yoğunluk fonksiyonunu bulma.

f_U(u) = \int_{0}^{\infty} 2v e^{-v(u+2)} dv = \frac{2}{(u+2)^2}, \quad u>0

v

değişkenini yok edip sadece istenen

u

değişkenine bağlı PDF'i elde etmek için

v

sınırlarında marjinalleştirme integrali (Gamma fonksiyonu formatında) hesaplanır.

Key Concept

İki sürekli rastgele değişkenin oranının dağılımını bulurken Jakobiyen dönüşümünün kullanımı

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics