Bir üretim tesisinde görevli kalite kontrol mühendisi, elektronik sensörlerden gelen arıza… — KPSS İstatistik

Bir üretim tesisinde görevli kalite kontrol mühendisi, elektronik sensörlerden gelen arıza sinyallerini ve ölçüm değerlerini (voltaj, sıcaklık vb.) analiz etmektedir. Mühendis, sistemde karşılaşılan hataların birbirleriyle olan bağlantılarını istatistiksel olarak değerlendirmektedir.

Sensör verileri üzerinden yapılan bu istatistiksel değerlendirmeler kapsamında, değişkenler ve olaylar arası ilişkiler ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

A
İki arıza olayının aynı anda gerçekleşme olasılığı sıfır ise (ayrık olaylar) ve her iki arızanın da tek başına görülme olasılığı sıfırdan büyükse, bu iki arıza olayı istatistiksel olarak birbirinden bağımsızdır.
B
Üretilen parçaların voltaj ( $X$ ) ve akım ( $Y$ ) değerleri için $E[XY] = E[X]E[Y]$ eşitliğinin sağlanması, bu iki elektriksel değişkenin kesinlikle bağımsız olduğunu gösterir.
C
Ölçülen iki farklı performans değişkeni arasındaki kovaryans değerinin sıfır ( $Cov(X,Y)=0$ ) bulunması, bu değişkenlerin istatistiksel olarak birbirlerinden tamamen bağımsız olduğu anlamına gelir.
Sistemdeki üç farklı hatanın ( $A$ , $B$ ve $C$ ) karşılıklı (tam) bağımsız olması, bu hataların ikişerli olarak da bağımsız olmasını gerektirir; ancak hataların sadece ikişerli bağımsız olması karşılıklı bağımsızlığı garanti etmez.Answer
E
Sistemdeki $A$ ve $B$ arızaları için, $B$ arızasının gerçekleştiği bilindiğinde $A$ arızasının gerçekleşme olasılığı (koşullu olasılık) $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ bağıntısı ile hesaplanır.

Answer

Sistemdeki olayların karşılıklı (tam) bağımsız olması, ikişerli olarak bağımsız olmalarını zorunlu kılar; ancak ikişerli bağımsızlık, karşılıklı bağımsızlık için yeterli değildir.

Olasılık teorisinde, ikiden fazla olayın söz konusu olduğu durumlarda 'karşılıklı (tam) bağımsızlık' en güçlü şarttır. Karşılıklı bağımsızlık kuralı, olayların hem kendi içlerindeki tüm ikili kesişimlerinde bağımsızlık kuralını hem de üçlü kesişimde çarpım kuralını sağlamasını gerektirir. Bu yüzden karşılıklı bağımsız olaylar her zaman ikişerli bağımsızdır. Fakat sadece

P(A \cap B) = P(A)P(B)

P(B \cap C) = P(B)P(C)

P(A \cap C) = P(A)P(C)

şartlarının (ikişerli bağımsızlığın) sağlanması,

P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)

eşitliğini garanti edemez.

Step-by-Step Solution

Ayrıklık ve bağımsızlık kavramlarının analizi

Ayrık olaylar aynı anda gerçekleşemez (

P(A \cap B) = 0

). Eğer bu olayların tekil olasılıkları sıfırdan büyükse, çarpımları sıfır olmaz.

P(A \cap B) \neq P(A)P(B)

olduğundan, olasılıkları sıfırdan büyük ayrık olaylar birbirine bağımlıdır.

Olayların birbirini dışlamasının bağımsızlık anlamına gelmediğini ispatlamak.

Beklenen değer çarpımı ve kovaryans ilişkisinin incelenmesi

Değişkenler için

E[XY]=E[X]E[Y]

veya

Cov(X,Y)=0

olması, sadece bu iki değişken arasında doğrusal bir ilişki (korelasyon) bulunmadığını kanıtlar. Bağımsızlık ise çok daha katı bir kavramdır ve doğrusal olmayan ilişkilerin de bulunmamasını gerektirir.

Sıfır kovaryansın bağımsızlık için yeterli koşul olmadığını açıklamak.

Koşullu olasılık hesaplamasının kontrolü

B

olayı koşulu altında

A

'nın gerçekleşme olasılığı arandığında, evren (örnek uzay)

B

olayı ile sınırlandırılır. Bu yüzden paydada

P(B)

yer almalıdır.

Koşullu olasılık tanımındaki payda mantığını doğrulamak.

İkişerli ve karşılıklı bağımsızlık ilişkisinin belirlenmesi

Olayların karşılıklı bağımsızlığı tüm alt kesişimlerin bağımsızlığını (ikişerli bağımsızlık dâhil) ve

P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)

kuralını sağlarken; sadece ikişerli bağımsızlık üçlü kesişim şartının sağlandığını kesinleştirmez.

Bağımsızlık hiyerarşisini doğru konumlandırmak.

Key Concept

İkişerli ve Karşılıklı Bağımsızlık, Kovaryans-Bağımsızlık İlişkisi

Estimated Time:1m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic