Bir siber güvenlik merkezinde gerçekleşen ağ saldırılarında, saldırının başlamasından tesp… — KPSS İstatistik

Bir siber güvenlik merkezinde gerçekleşen ağ saldırılarında, saldırının başlamasından tespit edilmesine kadar geçen süre ( $X$ saat) ile saldırının başlamasından tamamen kontrol altına alınmasına kadar geçen süre ( $Y$ saat) sürekli rastgele değişkenler olarak modellenmektedir.

Saldırının kontrol altına alınması için önce tespit edilmesi gerektiğinden her zaman $X < Y$ eşitsizliği sağlanmaktadır. Bu iki değişkene ait ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

f(x,y) = \begin{cases} 8xy, & 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, saldırının tespit edilme süresine ( $X$ ) ait marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

$4x - 4x^3, \quad 0 < x < 1$ Answer
B
$4x^3, \quad 0 < x < 1$
C
$4x, \quad 0 < x < 1$
D
$2x, \quad 0 < x < 1$
E
$4x(1-x)^2, \quad 0 < x < 1$

Answer

Saldırının tespit edilme süresine ait marjinal dağılım fonksiyonu

4x - 4x^3, \quad 0 < x < 1

şeklindedir.

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonundan

X

'in marjinal dağılımını elde etmek için

y

'ye göre integral alınmalıdır. Tanım bölgesi olan

0 < x < y < 1

eşitsizliğine göre, sınırlandırılmış alanda

y

'nin değer aralığı

x

ile

1

arasındadır. Bu nedenle hesaplama

f_X(x) = \int_{x}^{1} 8xy \, dy

şeklinde olmalıdır. İntegral alındığında

8x(y^2/2)

elde edilir ve sınırlar yerine konduğunda sonuç

4x(1^2 - x^2) = 4x - 4x^3

çıkar.

Step-by-Step Solution

X

değişkeninin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu olan

f_X(x)

'i bulmak için, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun

y

'ye göre integralini alacağımızı belirlemek.

f_X(x) = \int f(x,y) \, dy

Bir değişkenin marjinal dağılımı, ortak dağılım üzerinden diğer değişkenin (veya değişkenlerin) kendi aralığında entegre edilmesiyle (toplanması/integralinin alınması) bulunur.

İntegralin sınırlarını belirlemek.

Ortak dağılımın tanımlı olduğu bölge

0 < x < y < 1

olduğundan, sabit bir

x

değeri için

y

'nin alabileceği değerler

x

'ten başlar ve

1

'de biter. İntegral sınırları

y = x

'ten

y = 1

'e kadardır.

Marjinal dağılım hesaplanırken, integralin sınırları değişkenlerin birbirine bağımlı olduğu ortak tanım aralığından (bölgeden) çıkarılmalıdır. Eğer sadece 0'dan 1'e kadar alınsaydı eşitsizlik kısıtı ihlal edilmiş olurdu.

Belirlenen sınırlar ile integrali hesaplamak.

f_X(x) = \int_{x}^{1} 8xy \, dy = 8x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{x}^{1}

x

bir sabit gibi düşünülerek

y

değişkenine göre genel integral kuralları uygulanır.

İntegral sınırlarını yerine koyarak fonksiyonu son haline getirmek.

f_X(x) = 4x (1^2 - x^2) = 4x - 4x^3

Belirli integral sınırları işlemde yerine yazılarak sadeleştirme tamamlanır ve

X

'in kendi tanım aralığında (

0 < x < 1

) marjinal dağılımı elde edilir.

Key Concept

Marjinal Olasılık Dağılımları

Estimated Time:1m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics