Bir üretim bandında üretilen iki farklı sensörün tepki süreleri (milisaniye cinsinden uygu… — KPSS İstatistik

Bir üretim bandında üretilen iki farklı sensörün tepki süreleri (milisaniye cinsinden uygun bir ölçekte) $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenleri ile modellenmektedir.

Sensörlerin tepki sürelerine ait ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

f(x,y) = \begin{cases} 6x, & 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, $X$ sensörünün tepki süresine ait marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_X(x)$ ( $0 < x < 1$ aralığı için) aşağıdakilerden hangisidir?

$6x(1-x)$ Answer
B
$3x^2$
C
$6x^2$
D
$6x$
E
$3(1-x^2)$

Answer

X

'in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu

6x(1-x)

şeklindedir.

Doğru seçenek olan

6x(1-x)

X

'in marjinal yoğunluk fonksiyonunu bulmak amacıyla

y

'ye göre integral alınırken,

x < y < 1

eşitsizliği dikkate alınarak alt sınırın

x

, üst sınırın ise

1

olarak doğru şekilde entegre edilmesiyle (

6x[1-x]

) elde edilmiştir.

Step-by-Step Solution

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonundan

X

'in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmak için kullanılacak integral yapısının kurulması.

f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \, dy

X

'in marjinal dağılımı, ortak fonksiyonun diğer değişken olan

Y

üzerinden tüm olası değerleri için entegre edilmesiyle elde edilir.

Tanım kümesine bakılarak

y

değişkeni için uygun integral sınırlarının belirlenmesi.

Tanım aralığı

0 < x < y < 1

olarak verilmiştir. Belirli ve sabit bir

x

değeri için

y

'nin alabileceği değerler

x

'ten başlar ve

1

'de biter. Sınırlar: alt sınır =

x

, üst sınır =

1

Bölge eşitsizliği

x < y < 1

yapısındadır. Bu da

y

'nin hiçbir zaman

x

'ten küçük olamayacağını gösterir.

Belirlenen sınırlar kullanılarak belirli integralin hesaplanması.

f_X(x) = \int_x^1 6x \, dy = 6x \int_x^1 1 \, dy = 6x [y]_x^1 = 6x(1-x)

y

'ye göre integral alınırken

6x

ifadesi bir sabit gibi davranır ve integral dışına çarpan olarak alınabilir. Sonrasında

y

sınırları yerine konularak sonuç bulunur.

Key Concept

İki değişkenli sürekli ortak olasılık dağılımlarında, sınırlı ve değişkenlerin birbirine bağımlı olduğu bölgelerde marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunun integral ile hesabı

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics