Examkin

Question

Difficulty: MediumTutarlılık (Consistency)

Bir araştırma merkezinde çalışan istatistikçi, kitle ortalaması olan μ\mu parametresini kestirmek için nn çaplı bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele örneklem üzerinden iki farklı istatistik tanımlamıştır (n≥2n \ge 2). Kitle varyansının σ2\sigma^2 (sonlu ve sıfırdan farklı) olduğu bilinmektedir.

İstatistikçinin tanımladığı kestiriciler şunlardır:
I. μ^1=nn+2Xˉ\hat{\mu}_1 = \frac{n}{n+2} \bar{X}
II. μ^2=25X1+35Xn\hat{\mu}_2 = \frac{2}{5} X_1 + \frac{3}{5} X_n

Bu iki kestiricinin büyük örneklem özellikleri (asimptotik davranışları) ve yansızlık durumları dikkate alındığında, aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi istatistiksel olarak kesinlikle doğrudur?

  1. μ^1\hat{\mu}_1 kestiricisi μ\mu için yanlı bir yapıya sahip olmakla birlikte tutarlılık şartını sağlar; μ^2\hat{\mu}_2 kestiricisi ise yansız olmasına karşın tutarlılık özelliğini göstermez.Answer
  2. B
    Yansız olan her tahmin edici büyük örneklemlerde kitle parametresine yakınsayacağından μ^2\hat{\mu}_2 tutarlıdır, μ^1\hat{\mu}_1 ise yansızlık şartını ihlal ettiği için tutarsızdır.
  3. C
    Her iki kestirici de tutarlıdır çünkü tahmin edicilerin asimptotik olarak beklenen değerleri kitle ortalaması olan μ\mu parametresine eşittir.
  4. D
    μ^1\hat{\mu}_1 kestiricisinin Hata Kareler Ortalaması (MSE), varyansına eşit olmadığı için bu kestirici tutarsızdır; tutarlılık ancak MSE ile varyans eşitlendiğinde sağlanır.
  5. E
    İki kestirici de tutarsızdır çünkü tutarlılığın sağlanabilmesi için tahmin edicilerin bütün nn değerlerinde varyanslarının tam olarak sıfıra eşit olması ve yansız olmaları gerekir.

Answer

Doğru yanıt, ilk tahmin edicinin yanlı ama tutarlı, ikinci tahmin edicinin ise yansız ama tutarsız olduğunu belirten seçenektir.
İlk kestirici sonlu örneklemde yanlıdır ancak örneklem çapı sonsuza giderken hem taşıdığı yan miktarı hem de varyansı sıfıra asimptotik olarak yakınsar. Bu nedenle Hata Kareler Ortalaması (MSE) limit durumunda sıfır olur ve olasılıkta yakınsama sağlanarak tutarlılık elde edilir. İkinci kestirici ise gözlem değerlerinin sabit bir doğrusal kombinasyonu olduğundan yansızdır; ancak örneklem hacmi ne kadar büyürse büyüsün, içindeki gözlem sayısı sabit kaldığı için varyansı sabit kalır ve sıfıra gitmez. Dolayısıyla büyük örneklemlerde parametre üzerine yığılmaz ve tutarsızdır.

Step-by-Step Solution

1
μ^1\hat{\mu}_1 kestiricisinin beklenen değerini hesaplayarak yansızlığını incelemek.
E(μ^1)=nn+2E(Xˉ)=nn+2μE(\hat{\mu}_1) = \frac{n}{n+2} E(\bar{X}) = \frac{n}{n+2} \mu bulunur. Beklenen değer μ\mu'ye eşit olmadığından μ^1\hat{\mu}_1 yanlıdır.
Bir kestiricinin beklenen değeri, kitle parametresine eşit değilse kestirici yanlı kabul edilir.
2
μ^1\hat{\mu}_1 kestiricisinin Hata Kareler Ortalaması'nın (MSE) limitini alarak tutarlılığını analiz etmek.
Yan miktarı −2μn+2-\frac{2\mu}{n+2} ve varyansı (nn+2)2σ2n\left(\frac{n}{n+2}\right)^2 \frac{\sigma^2}{n} olarak hesaplanır. n→∞n \to \infty için hem yan miktarı hem de varyans sıfıra yakınsadığından MSE sıfıra gider ve μ^1\hat{\mu}_1 tutarlı olur.
Chebyshev eşitsizliği gereği, Hata Kareler Ortalaması asimptotik olarak sıfıra yakınsayan kestiriciler tutarlıdır.
3
μ^2\hat{\mu}_2 kestiricisinin beklenen değerini hesaplayarak yansızlığını incelemek.
E(μ^2)=25E(X1)+35E(Xn)=25μ+35μ=μE(\hat{\mu}_2) = \frac{2}{5} E(X_1) + \frac{3}{5} E(X_n) = \frac{2}{5}\mu + \frac{3}{5}\mu = \mu elde edilir. Bu durum μ^2\hat{\mu}_2'nin yansız olduğunu gösterir.
Doğrusal kombinasyonun katsayıları toplamı 1 olduğu için istatistiğin beklenen değeri kitle ortalamasına eşittir.
4
μ^2\hat{\mu}_2 kestiricisinin varyansının asimptotik durumunu analiz etmek.
Var(μ^2)=(25)2σ2+(35)2σ2=1325σ2Var(\hat{\mu}_2) = \left(\frac{2}{5}\right)^2 \sigma^2 + \left(\frac{3}{5}\right)^2 \sigma^2 = \frac{13}{25}\sigma^2 bulunur. Örneklem hacmi artsa bile varyans sıfıra yakınsamaz (sabit kalır). Bu sebeple μ^2\hat{\mu}_2 tutarsızdır.
Tutarlı bir kestiricinin sonsuz örneklemde varyansının sönümlenerek sıfıra çökmesi gerekir.

Key Concept

Yansızlık ve Tutarlılık Kavramlarının Ayrımı (Örneklem Ortalamasının Türevleri)
Rate this question

Topics

Tutarlılık (Consistency)

More questions from this topic