Tutarlılık (Consistency)

Bir kitleden çekilen $X_1, X_2, \dots, X_n$ bağımsız ve aynı dağılımlı (iid) rastgele örnekleminin beklenen değeri $E(X_i) = \mu$ ve varyansı $0 < Var(X_i) = \sigma^2 < \infty$ şeklindedir.

Kitle ortalaması $\mu$'yü tahmin etmek amacıyla, örneklem çapı $n \to \infty$ iken aşağıdaki üç farklı tahmin edici tanımlanmıştır:

I. $T_1 = \bar{X}_n + \frac{\ln(n)}{\sqrt{n}}$
II. $T_2 = \frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}$
III. $T_3 = \frac{n}{n-1} \bar{X}_n$

Bu tahmin edicilerin yansızlık (unbiasedness) ve tutarlılık (consistency) özellikleri dikkate alındığında, aşağıda verilen ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Bir araştırma merkezinde çalışan istatistikçi, kitle ortalaması olan $\mu$ parametresini kestirmek için $n$ çaplı bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele örneklem üzerinden iki farklı istatistik tanımlamıştır ($n \ge 2$). Kitle varyansının $\sigma^2$ (sonlu ve sıfırdan farklı) olduğu bilinmektedir.

İstatistikçinin tanımladığı kestiriciler şunlardır:
I. $\hat{\mu}_1 = \frac{n}{n+2} \bar{X}$
II. $\hat{\mu}_2 = \frac{2}{5} X_1 + \frac{3}{5} X_n$

Bu iki kestiricinin büyük örneklem özellikleri (asimptotik davranışları) ve yansızlık durumları dikkate alındığında, aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi istatistiksel olarak kesinlikle doğrudur?

Bir çağrı merkezine gelen günlük çağrı sayısı, ortalaması $\lambda$ olan Poisson dağılımına uymaktadır. Bu çağrı merkezinin $n$ günlük rassal örneklemi ($X_1, X_2, \dots, X_n$) gözlemlenmiştir.

İstatistik birimi, kitle ortalaması olan $\lambda$ parametresini tahmin etmek için aşağıdaki iki farklı tahmin ediciyi önermiştir:

Örneklem çapı sonsuza giderken ($n \to \infty$), bu iki tahmin edicinin yansızlık ve tutarlılık özellikleri incelendiğinde aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Bir kitleye ait beklenen değer $E(X_i) = \theta$ ve varyans $Var(X_i) = \sigma^2 < \infty$ olmak üzere, bu kitleden çekilen $n$ birimlik $X_1, X_2, \dots, X_n$ bağımsız ve aynı dağılımlı (iid) rassal örneklemi kullanılarak $\theta$ parametresi için aşağıdaki iki tahmin edici önerilmiştir:

I. $T_1 = X_1$
II. $T_2 = \frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^n X_i$

Buna göre, $n \to \infty$ durumunda bu tahmin edicilerin yansızlık ve tutarlılık özellikleri ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Beklenen değeri $E(X) = \theta$ ve varyansı $0 < Var(X) = \sigma^2 < \infty$ olan bir ana kütleden $n$ birimlik bağımsız ve aynı dağılımlı bir rastgele örneklem ($X_1, X_2, \dots, X_n$) çekilmiştir. $\theta$ parametresini tahmin etmek amacıyla aşağıdaki iki tahmin edici tanımlanmıştır:

Buna göre, örneklem hacmi sonsuza giderken ($n \rightarrow \infty$) bu tahmin edicilerin tutarlılık (consistency) özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Beklenen değeri $E(X) = \theta$ ve varyansı $0 < Var(X) = \sigma^2 < \infty$ olan bir kitleye ait $n$ birimlik bağımsız ve aynı dağılımlı bir örneklem dikkate alınsın. $\theta$ parametresini tahmin etmek amacıyla aşağıdaki iki istatistik önerilmiştir:

I. $T_1 = \frac{n+1}{n} \bar{X}$
II. $T_2 = X_1$

Buna göre, örneklem hacmi sonsuza giderken ($n \rightarrow \infty$) bu tahmin edicilerin tutarlılık (consistency) özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Bir kitleye ait beklenen değer $E(X) = \theta$ ve varyans $Var(X) = \sigma^2 < \infty$ olsun. Bu kitleden çekilen $n$ birimlik bağımsız ve aynı dağılımlı bir örnekleme dayalı olarak tanımlanan $\hat{\theta}_1 = X_1$ ve $\hat{\theta}_2 = \bar{X} + \frac{1}{n}$ tahmin edicileri ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Bir kitle parametresi $\theta$ için önerilen iki farklı tahmin ediciye ilişkin şu bilgiler verilmektedir:

- $T_1$ tahmin edicisi her örneklem hacminde yansızdır ($E(T_1) = \theta$) ancak örneklem hacmi $n$ sonsuza giderken varyansı sıfıra yaklaşmamaktadır ($Var(T_1) \rightarrow c > 0$).
- $T_2$ tahmin edicisi yanlı bir tahmin edicidir ancak $n \rightarrow \infty$ iken hata kareler ortalaması (MSE) sıfıra yaklaşmaktadır ($MSE(T_2) \rightarrow 0$).

Bu bilgilere göre, tutarlılık (consistency) özelliği bakımından aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2 > 0$ olan bir anakütleden alınan $n$ birimlik ($n \ge 2$) rassal bir örneklem dikkate alınsın ($X_1, X_2, \dots, X_n$). Bilinmeyen $\theta = \mu^2$ parametresinin tahmini için aşağıdaki iki kestirici (tahmin edici) tanımlanmıştır:

I. $T_1 = \bar{X}^2$ (Burada $\bar{X}$ örneklem ortalamasıdır)
II. $T_2 = X_1 \cdot X_2$

Gözlem sayısı $n$ sonsuza ıraksarken ($n \to \infty$), bu iki kestiricinin yansızlık ve tutarlılık durumları hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle söylenebilir?