Aşağıdaki tabloda X ve Y kesikli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık kütle fonksiyonu, P(X=x, Y=y), verilmiştir: | X \setminus Y | 0 | 1 | 2 | |---|---|---|---| | **0** | 0{}1 | 0{}2 | 0{}1 | | **1** | 0{}3 | 0{}1 | 0{}2 | Buna göre, X ve Y değişkenleri arasındaki kovaryans, Cov(X, Y) değeri aşa

Aşağıdaki tabloda X ve Y kesikli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık kütle fonksiyonu,… — KPSS İstatistik

Aşağıdaki tabloda $X$ ve $Y$ kesikli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık kütle fonksiyonu, $P(X=x, Y=y)$ , verilmiştir:

$X \setminus Y$	$0$	$1$	$2$
$0$	$0{}1$	$0{}2$	$0{}1$
$1$	$0{}3$	$0{}1$	$0{}2$

Buna göre, $X$ ve $Y$ değişkenleri arasındaki kovaryans, $Cov(X, Y)$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Doğru cevap

-0{}04

değerini gösteren seçenektir.

Verilen ortak olasılık tablosundan,

X

'in beklenen değeri

E[X] = 1 \cdot (0{}3 + 0{}1 + 0{}2) = 0{}6

Y

'nin beklenen değeri

E[Y] = 1 \cdot (0{}2 + 0{}1) + 2 \cdot (0{}1 + 0{}2) = 0{}9

olarak hesaplanır. Çarpımların beklenen değeri

E[XY] = (1 \cdot 1 \cdot 0{}1) + (1 \cdot 2 \cdot 0{}2) = 0{}5

'tir. Kovaryans tanımından,

Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 0{}5 - (0{}6 \cdot 0{}9) = -0{}04

bulunur.

X

'in marjinal olasılıklarını ve beklenen değerini (

E[X]

) hesaplayın.

P(X=1) = 0{}3 + 0{}1 + 0{}2 = 0{}6

olduğundan,

E[X] = 0 \cdot 0{}4 + 1 \cdot 0{}6 = 0{}6

elde edilir.

Kovaryans hesaplaması için öncelikle

X

değişkeninin ortalama (beklenen) değeri bulunmalıdır.

Y

'nin marjinal olasılıklarını ve beklenen değerini (

E[Y]

) hesaplayın.

P(Y=1) = 0{}3

P(Y=2) = 0{}3

olduğundan,

E[Y] = 0 \cdot 0{}4 + 1 \cdot 0{}3 + 2 \cdot 0{}3 = 0{}9

elde edilir.

Kovaryans formülünün diğer bir bileşeni de

Y

değişkeninin marjinal beklenen değeridir.

X

Y

'nin ortak beklenen değerini (

E[XY]

) hesaplayın.

Sıfır dışındaki x ve y değerleri için çarpımlar:

1 \cdot 1 \cdot 0{}1 + 1 \cdot 2 \cdot 0{}2 = 0{}1 + 0{}4 = 0{}5

. Yani

E[XY] = 0{}5

Kovaryans,

E[XY]

ile marjinal beklenen değerlerin çarpımının farkıdır.

Kovaryans formülünü (

Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]

) uygulayın.

Cov(X,Y) = 0{}5 - (0{}6 \cdot 0{}9) = 0{}5 - 0{}54 = -0{}04

bulunur.

Değişkenlerin birlikte değişim ölçüsünü veren standart formül ile nihai sonuca ulaşılır.

Kesikli Ortak Dağılımlarda Kovaryans ve Beklenen Değer