Bir sigorta şirketinde birbiriyle ilişkili iki farklı risk türünün gerçekleşme oranları sı… — KPSS İstatistik

Bir sigorta şirketinde birbiriyle ilişkili iki farklı risk türünün gerçekleşme oranları sırasıyla $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenleriyle modellenmektedir. Analizler sonucunda, bu iki değişkenin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun aşağıdaki gibi olduğu belirlenmiştir:

f(x,y) = \begin{cases} 24xy, & x \ge 0, y \ge 0, x+y \le 1 \\\\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Kurumun toplam risk değerlendirme raporunda kullanılmak üzere, $X$ ve $Y$ risklerinin çarpımının beklenen değeri ( $E[XY]$ ) hesaplanmak istenmektedir.

Buna göre, bu beklenen değer aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{2}{15}$ Answer
B
$\frac{4}{25}$
C
$-\frac{2}{75}$
D
$\frac{2}{5}$
E
$\frac{8}{3}$

Answer

Risklerin çarpımının beklenen değeri

\frac{2}{15}

olarak hesaplanır.

Ortak beklenen değer formülü olan

E[XY] = \int\int xy f(x,y) dy dx

uygulandığında, bölge sınırları dikkate alınarak hesaplanan

\int_0^1 \int_0^{1-x} 24x^2y^2 dy dx

integrali

\frac{2}{15}

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

E[XY]

formülünü ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu için sınırlarıyla birlikte kurmak.

E[XY] = \int_0^1 \int_0^{1-x} (xy) \cdot (24xy) dy dx

Sürekli ortak dağılımlarda çarpımın beklenen değeri tanımıdır ve

y

sınırları

x

'e bağlıdır (

y \le 1-x

İçteki integrali

y

değişkenine göre hesaplamak.

\int_0^1 24x^2 \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^{1-x} dx = \int_0^1 8x^2 (1-x)^3 dx

Çok katlı integrallerde içten dışa doğru işlem yapılır.

Kalan tek değişkenli integrali çözmek.

8 \int_0^1 (x^2 - 3x^3 + 3x^4 - x^5) dx = 8 \left( \frac{1}{3} - \frac{3}{4} + \frac{3}{5} - \frac{1}{6} \right) = 8 \left( \frac{1}{60} \right) = \frac{2}{15}

Polinomun integrali alınarak (veya Beta fonksiyonu kullanılarak) beklenen değere ulaşılır.

Key Concept

Ortak Beklenen Değer Formülü ve Çok Katlı İntegraller

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics