Bir tarım araştırmasında, belirli bir bölgedeki buğday verimi (Y), topraktaki azot miktarı… — KPSS İstatistik

Bir tarım araştırmasında, belirli bir bölgedeki buğday verimi ( $Y$ ), topraktaki azot miktarı ( $X_1$ ) ve fosfor miktarı ( $X_2$ ) değişkenleri incelenmektedir. Bu üç değişkenin $\mathbf{Z} = (Y, X_1, X_2)^T$ rastgele vektörü olarak çok değişkenli normal dağılıma sahip olduğu bilinmektedir.

Değişkenlere ait ortalama vektörü ve kovaryans matrisi sırasıyla aşağıdaki gibi verilmiştir:

\boldsymbol{\mu} = \begin{bmatrix} 10 \\ 5 \\ 4 \end{bmatrix} , \quad \mathbf{\Sigma} = \begin{bmatrix} 4 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{bmatrix}

Buna göre, topraktaki azot ve fosfor miktarları bilindiğinde, buğday veriminin koşullu beklenen değeri $E(Y | X_1, X_2)$ ve koşullu varyansı $Var(Y | X_1, X_2)$ aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

$E(Y | X_1, X_2) = 9 + X_1 - X_2 \quad ; \quad Var(Y | X_1, X_2) = 1$ Answer
B
$E(Y | X_1, X_2) = 9 + X_1 - X_2 \quad ; \quad Var(Y | X_1, X_2) = 7$
C
$E(Y | X_1, X_2) = 4 + 2X_1 - X_2 \quad ; \quad Var(Y | X_1, X_2) = 3$
D
$E(Y | X_1, X_2) = 10 \quad ; \quad Var(Y | X_1, X_2) = 4$
E
$E(Y | X_1, X_2) = 10 + 2X_1 - X_2 \quad ; \quad Var(Y | X_1, X_2) = 4$

Answer

Doğru yanıt, koşullu beklenen değerin

E(Y | X_1, X_2) = 9 + X_1 - X_2

ve koşullu varyansın

Var(Y | X_1, X_2) = 1

olarak bulunduğu seçenektir.

Çok değişkenli normal dağılımda,

\mathbf{Z}

vektörü

\mathbf{Z}_1

\mathbf{Z}_2

olarak bölütlendiğinde,

\mathbf{Z}_1

'in

\mathbf{Z}_2

'ye koşullu dağılımı da normaldir. Formül gereği

E(\mathbf{Z}_1 | \mathbf{Z}_2) = \boldsymbol{\mu}_1 + \Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}(\mathbf{Z}_2 - \boldsymbol{\mu}_2)

Var(\mathbf{Z}_1 | \mathbf{Z}_2) = \Sigma_{11} - \Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21}

eşitlikleri kullanılır. Değerler yerine konulduğunda

\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix}

matrisi elde edilir. Bu matris ile ortalamadan sapmalar çarpılıp

\mu_Y=10

değerine eklendiğinde

9 + X_1 - X_2

sonucuna ulaşılır. Varyans hesabında ise

\Sigma_{11}=4

değerinden

\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21}=3

miktarı çıkarılarak varyans 1 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

Ortalama vektörü ve kovaryans matrisini hedef değişken (Y) ve koşul değişkenleri (X1, X2) olarak bölütlemek.

\Sigma_{11} = 4

\Sigma_{12} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \end{bmatrix}

\Sigma_{21} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}

\Sigma_{22} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}

Koşullu dağılım formüllerini uygulayabilmek için parçalanmış matrislere ihtiyaç vardır.

Koşul değişkenlerinin kovaryans matrisinin (

\Sigma_{22}

) tersini hesaplamak.

\Sigma_{22}^{-1} = \frac{1}{3 \times 2 - 1 \times 1} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}

Koşullu ortalama ve varyans formüllerinde

\Sigma_{22}^{-1}

matrisi çarpan olarak kullanılır.

Koşullu beklenen değeri hesaplamak:

E(Y | X) = \mu_Y + \Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} (X - \mu_X)

\Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \end{bmatrix} \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 5 & -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix}

E(Y | X_1, X_2) = 10 + 1(X_1 - 5) - 1(X_2 - 4) = 9 + X_1 - X_2

Koşullu ortalama, değişkenlerin kendi ortalamalarından sapmalarının uygun kovaryans ağırlıklarıyla hedefe yansıtılmasıdır.

Koşullu varyansı hesaplamak:

Var(Y | X) = \Sigma_{11} - \Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} \Sigma_{21}

Var(Y | X_1, X_2) = 4 - \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} = 4 - (2 + 1) = 4 - 3 = 1

Koşullu varyans, marjinal varyanstan koşul değişkenlerinin sağladığı bilgi miktarının çıkarılmasıyla elde edilir.

Key Concept

Çok Değişkenli Normal Dağılımda Koşullu Dağılımlar

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic