Bir kamu kurumunda uzman yardımcılarının performans değerlendirmesi, standartlaştırılmış ü… — KPSS İstatistik

Bir kamu kurumunda uzman yardımcılarının performans değerlendirmesi, standartlaştırılmış üç farklı kritere göre yapılmaktadır: $X_1$ (İletişim Becerisi), $X_2$ (Analitik Düşünme) ve $X_3$ (Liderlik). Bu kriterlere ait puanlardan oluşan $\mathbf{X} = \begin{bmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{bmatrix}$ rastgele vektörünün, $\boldsymbol{\mu} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ ortalama vektörü ve

\boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix}

kovaryans matrisi ile çok değişkenli normal dağılıma sahip olduğu bilinmektedir.

Kurum, personelin genel yetenek skorunu $U = X_1 + X_2$ , özel proje skorunu ise $V = X_1 - X_3$ olarak tanımlamıştır.

Buna göre, özel proje skoru $V = 2$ olarak ölçülen bir personelin genel yetenek skoru $U$ 'nun koşullu beklenen değeri ( $E(U | V=2)$ ) ve koşullu varyansı ( $Var(U | V=2)$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

$3$ ve $\frac{9}{2}$ Answer
B
$1$ ve $\frac{17}{2}$
C
$1$ ve $\frac{11}{2}$
D
$\frac{2}{3}$ ve $1$
E
$3$ ve $9$

Answer

Personelin genel yetenek skorunun beklenen değeri

3

, koşullu varyansı ise

\frac{9}{2}

'dir.

Çözüm için öncelikle

U

V

'nin oluşturduğu iki değişkenli yeni vektörün varyans-kovaryans yapısı bulunmalıdır.

Var(U) = Var(X_1+X_2) = 3+4+2(1)=9

Var(V) = Var(X_1-X_3) = 3+3-2(2)=2

'dir. Bu iki doğrusal kombinasyonun kovaryansı ise

Cov(U,V) = Cov(X_1,X_1) - Cov(X_1,X_3) + Cov(X_2,X_1) - Cov(X_2,X_3) = 3 - 2 + 1 - (-1) = 3

'tür. Bivariate (İki değişkenli) normal dağılımın özelliklerinden koşullu beklenen değer:

E(U|V=2) = 0 + (3/2)\times(2-0) = 3

, koşullu varyans ise

Var(U|V=2) = 9 - (3^2/2) = 9 - 4.5 = 4.5 = 9/2

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

U

V

'nin marjinal varyanslarını hesaplamak.

Var(U) = 9

Var(V) = 2

bulunur.

Var(X_1+X_2) = \sigma_{11} + \sigma_{22} + 2\sigma_{12} = 3 + 4 + 2(1) = 9

. Benzer şekilde

Var(X_1-X_3) = \sigma_{11} + \sigma_{33} - 2\sigma_{13} = 3 + 3 - 2(2) = 2

U

V

arasındaki kovaryansı bulmak.

Cov(U,V) = 3

olarak hesaplanır.

Cov(X_1+X_2, X_1-X_3) = \sigma_{11} - \sigma_{13} + \sigma_{21} - \sigma_{23} = 3 - 2 + 1 - (-1) = 3 - 2 + 1 + 1 = 3

Koşullu beklenen değer formülünü uygulamak.

E(U | V=2) = 3

elde edilir.

E(U|V=v) = \mu_U + \frac{Cov(U,V)}{Var(V)}(v - \mu_V) = 0 + \frac{3}{2}(2 - 0) = 3

Koşullu varyans formülünü uygulamak.

Var(U | V=2) = \frac{9}{2}

elde edilir.

Var(U|V=v) = Var(U) - \frac{[Cov(U,V)]^2}{Var(V)} = 9 - \frac{3^2}{2} = 9 - \frac{9}{2} = \frac{9}{2}

Key Concept

Çok değişkenli normal dağılımda doğrusal dönüşümlerin ortak dağılımı ve iki değişkenli normal dağılımın koşullu parametrelerinin hesaplanması.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic