Bir elektronik cihazın ömrü (saat cinsinden), beklenen değeri \theta olan üstel dağılıma (… — KPSS İstatistik

Bir elektronik cihazın ömrü (saat cinsinden), beklenen değeri $\theta$ olan üstel dağılıma (Exponential) sahiptir. Bu cihazlardan $n$ ( $n > 1$ ) tanesi rastgele seçilerek ömürleri $X_1, X_2, \dots, X_n$ olarak gözlemlenmiştir.

$\theta$ parametresinin tahmini için, yansız bir tahmin edici olarak sadece ilk gözlem değeri olan $T = X_1$ önerilmiştir. Ancak bir istatistik uzmanı, $S = \sum_{i=1}^n X_i$ yeterli istatistiğini kullanarak Rao-Blackwell teoremi yardımıyla $\phi(S) = E(T \mid S)$ şeklinde yeni bir tahmin edici elde edilebileceğini belirtmiştir.

Buna göre, başlangıçtaki $T$ tahmin edicisinin varyansı ile Rao-Blackwell teoremi sonucunda elde edilen $\phi(S)$ tahmin edicisinin varyansı arasındaki fark ( $Var(T) - Var(\phi(S))$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{(n-1)\theta^2}{n}$ Answer
B
$\frac{\theta^2}{n}$
C
$\theta^2$
D
$\frac{(n-1)\theta^2}{n^2}$
E
$\frac{n\theta^2}{n-1}$

Answer

Başlangıç varyansı ile iyileştirilmiş varyans arasındaki farkı gösteren \frac{(n-1)\theta^2}{n} ifadesidir.

Üstel dağılımda ortalaması

\theta

olan kitleden çekilen örneklemde

X_1

'in varyansı

\theta^2

'dir. Rao-Blackwell teoremi yeterli istatistik

S = \sum X_i

üzerine koşullandırarak simetri özelliğiyle yeni tahmin ediciyi

\bar{X}

olarak bulmamızı sağlar.

\bar{X}

'in varyansı

\frac{\theta^2}{n}

'dir. Bu ikisi arasındaki fark

\theta^2 - \frac{\theta^2}{n} = \frac{(n-1)\theta^2}{n}

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

Başlangıç tahmin edicisinin (T) varyansını hesaplayın.

T = X_1

X_i \sim Exp(1/\theta)

(beklenen değeri

\theta

olan üstel dağılım) olduğu için

E(X_1) = \theta

Var(X_1) = \theta^2

bulunur.

Varyans farkını bulmak için öncelikle orijinal tahmin edicinin varyansına ihtiyaç vardır.

Rao-Blackwell teoremi ile yeni tahmin ediciyi (

\phi(S)

) türetin.

Gözlemler bağımsız ve aynı dağılımlı olduğundan

E(X_i \mid S)

tüm

i

'ler için aynıdır.

\sum_{i=1}^n E(X_i \mid S) = E(S \mid S) = S

eşitliğinden

n \cdot E(X_1 \mid S) = S

ve dolayısıyla

\phi(S) = S/n = \bar{X}

elde edilir.

Yeterli istatistik

S

verildiğinde

X_1

'in koşullu beklenen değeri, iyileştirilmiş yansız tahmin ediciyi verir.

Yeni tahmin edicinin (

\phi(S)

) varyansını bulun.

\phi(S) = \bar{X}

olduğundan,

Var(\bar{X}) = \frac{Var(X_1)}{n} = \frac{\theta^2}{n}

olarak hesaplanır.

Fark formülünde yerine koymak için iyileştirilmiş tahmin edicinin varyansı gereklidir.

İki varyans arasındaki farkı hesaplayın.

Var(T) - Var(\phi(S)) = \theta^2 - \frac{\theta^2}{n} = \frac{n\theta^2 - \theta^2}{n} = \frac{(n-1)\theta^2}{n}

bulunur.

Soruda açıkça başlangıç varyansı ile Rao-Blackwell sonrası varyansın farkı istenmektedir.

Key Concept

Rao-Blackwell teoremi ile tahmin edicinin varyansının küçültülmesi ve koşullu beklenen değer özelliklerinin simetri yardımıyla kullanımı.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic