Ortalaması 0 ve varyansı \theta (\theta > 0) olan normal dağılıma sahip bir kitleden n=2 h… — KPSS İstatistik

Ortalaması $0$ ve varyansı $\theta$ ( $\theta > 0$ ) olan normal dağılıma sahip bir kitleden $n=2$ hacimli $X_1, X_2$ rastgele örneklemi çekilmiştir. Kitle varyansı $\theta$ 'yı tahmin etmek amacıyla yansız bir tahmin edici olarak $T = X_1^2$ öneriliyor.

$\theta$ parametresi için yeterli (sufficient) bir istatistik olan $S = X_1^2 + X_2^2$ kullanılarak, Rao-Blackwell teoremi yardımıyla $T^* = E[T|S]$ yeni tahmin edicisi elde ediliyor.

Buna göre, orijinal tahmin edicinin varyansı $Var(T)$ ile yeni tahmin edicinin varyansı $Var(T^*)$ sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

$2\theta^2$ ve $\theta^2$ Answer
B
$\theta^2$ ve $2\theta^2$
C
$2\theta^2$ ve $2\theta^2$
D
$3\theta^2$ ve $\theta^2$
E
$\theta^2$ ve $0.5\theta^2$

Answer

Orijinal tahmin edicinin varyansı

2\theta^2

ve iyileştirilmiş tahmin edicinin varyansı

\theta^2

değerindedir.

Orijinal tahmin edici

T=X_1^2

'nin varyansı, ki-kare dağılımının özellikleri kullanılarak

2\theta^2

bulunur. Yeterli istatistik

S=X_1^2+X_2^2

verildiğinde

X_1^2

'nin beklenen değeri simetri gereği

S/2

'dir. Elde edilen yeni tahmin edici

T^* = (X_1^2+X_2^2)/2

varyansı hesaplandığında, birbirinden bağımsız değişkenler olduğu için varyansların toplamının dörtte biri alınarak

\theta^2

bulunur. Bu durum Rao-Blackwell teoreminin varyansı azaltma prensibiyle uyumludur.

Step-by-Step Solution

Orijinal tahmin edici T'nin varyansını bulma.

Var(T) = Var(X_1^2) = 2\theta^2

X_1 \sim N(0, \theta)

olduğundan

X_1^2 / \theta \sim \chi^2_{(1)}

dağılır. Ki-kare dağılımının varyansı serbestlik derecesinin 2 katı olduğundan

Var(X_1^2 / \theta) = 2

, dolayısıyla

Var(X_1^2) = 2\theta^2

olur.

Rao-Blackwell teoremini uygulayarak yeni tahmin edici T*'yi bulma.

T^* = \frac{X_1^2 + X_2^2}{2}

T^* = E[X_1^2 | X_1^2 + X_2^2]

X_1

X_2

aynı dağılımlı ve bağımsız olduklarından, toplam verildiğinde simetriktirler. Bu nedenle

E[X_1^2 | S] = E[X_2^2 | S] = \frac{S}{2}

elde edilir.

Yeni tahmin edici T*'nin varyansını hesaplama.

Var(T^*) = \theta^2

Var(T^*) = Var\left(\frac{X_1^2 + X_2^2}{2}\right) = \frac{1}{4} [Var(X_1^2) + Var(X_2^2)] = \frac{1}{4} [2\theta^2 + 2\theta^2] = \theta^2

Varyans değerlerini Rao-Blackwell teoremi kapsamında karşılaştırma.

Var(T) = 2\theta^2

Var(T^*) = \theta^2

Teorem gereği

Var(T^*) \leq Var(T)

eşitsizliği sağlanmalıdır. Hesaplanan değerler bu kuralı doğrular.

Key Concept

Rao-Blackwell Teoremi ve Varyans İyileştirmesi

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic