Kamu kurumlarındaki veri işleme süreçlerini analiz eden bir istatistik uzmanı, X rastgele … — KPSS İstatistik

Kamu kurumlarındaki veri işleme süreçlerini analiz eden bir istatistik uzmanı, $X$ rastgele değişkeni için moment çıkaran fonksiyonu $M_X(t)$ olarak belirlemiştir. Veri standardizasyonu çalışmaları kapsamında bu değişken $Y = 4X + 7$ şeklinde bir doğrusal dönüşüme tabi tutulmuştur. Buna göre, yeni oluşturulan $Y$ değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu ( $M_Y(t)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

$e^{7t} M_X(4t)$ Answer
B
$4 M_X(t) + 7$
C
$e^{7t} M_X(t)$
D
$M_X(4t) + 7$
E
$e^{4t} M_X(7t)$

Answer

Dönüşüm altındaki moment çıkaran fonksiyon

e^{7t} M_X(4t)

olarak elde edilir.

Moment çıkaran fonksiyonların en temel özelliklerinden biri doğrusal dönüşümler altındaki davranışıdır.

Y = aX + b

şeklindeki bir dönüşümde,

M_Y(t) = e^{bt} M_X(at)

kuralı geçerlidir. Soruda

a=4

b=7

değerleri verildiği için bu kural doğrudan uygulanarak doğru sonuca ulaşılır.

Step-by-Step Solution

Y

değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu tanımını yazınız.

M_Y(t) = E[e^{tY}]

Moment çıkaran fonksiyonun temel tanımı beklenen değer üzerindedir.

Y = 4X + 7

dönüşümünü tanımda yerine koyunuz.

M_Y(t) = E[e^{t(4X + 7)}]

Y

değişkeni

X

cinsinden ifade edilerek

X

'in moment fonksiyonuna ulaşılmaya çalışılır.

Üstel fonksiyon özelliklerini kullanarak ifadeyi düzenleyiniz.

M_Y(t) = E[e^{4tX} \cdot e^{7t}]

e^{a+b} = e^a \cdot e^b

kuralı uygulanır.

Beklenen değerin lineerlik özelliğini kullanarak sabit terimi dışarı alınız.

M_Y(t) = e^{7t} E[e^{(4t)X}]

e^{7t}

terimi

X

değişkeninden bağımsız bir sabit olduğu için beklenen değer dışına çarpan olarak çıkar.

Son ifadeyi

X

değişkeninin moment fonksiyonu cinsinden yazınız.

M_Y(t) = e^{7t} M_X(4t)

E[e^{(4t)X}]

ifadesi,

M_X(t)

fonksiyonunda

t

yerine

4t

yazılmasına karşılık gelir.

Key Concept

Doğrusal Dönüşüm Altında MGF Özelliği

Practice More

Bağımsız iki değişkenin toplamının moment fonksiyonunun, bu değişkenlerin ayrı ayrı moment fonksiyonlarının çarpımına eşit olduğu özelliğini inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Topics