Examkin

Question

Difficulty: HardEn Çok Olabilirlik Yöntemi (Maximum Likelihood Estimation)

Bir veri merkezinde kullanılan yüksek kapasiteli belirli bir Katı Hal Sürücüsü (SSD) modelinin ömrü (yıl cinsinden) XX rastgele değişkeni ile modellenmektedir. XX'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x;β)=β2xe−βx,x>0f(x; \beta) = \beta^2 x e^{-\beta x}, \quad x > 0

Burada β>0\beta > 0 bilinmeyen bir parametredir. Veri merkezindeki disklerden rastgele seçilen bağımsız ve özdeş dağılımlı (i.i.d.) nn adet diskin ömürleri X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n olarak gözlemlenmiş ve örneklem ortalaması Xˉ=1n∑i=1nXi\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, disk ömürlerinin varyansı olan τ(β)=2β2\tau(\beta) = \frac{2}{\beta^2} parametresi için en çok olabilirlik tahmin edicisi (MLE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. Xˉ22\frac{\bar{X}^2}{2}Answer
  2. B
    2Xˉ22\bar{X}^2
  3. C
    n2Xˉ22\frac{n^2 \bar{X}^2}{2}
  4. D
    Xˉ\bar{X}
  5. E
    8Xˉ2\frac{8}{\bar{X}^2}

Answer

Xˉ22\frac{\bar{X}^2}{2}
Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonu için örneklemin olabilirlik fonksiyonu L(β)=β2ne−β∑Xi∏XiL(\beta) = \beta^{2n} e^{-\beta \sum X_i} \prod X_i şeklindedir. Log-olabilirlik fonksiyonunun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde β\beta parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi β^=2Xˉ\hat{\beta} = \frac{2}{\bar{X}} olarak bulunur. En çok olabilirlik tahmin edicilerinin değişmezlik (invariance) özelliği gereği, τ(β)=2β2\tau(\beta) = \frac{2}{\beta^2} fonksiyonunun tahmin edicisi, β\beta yerine β^\hat{\beta} yazılarak hesaplanır. Bu işlem sonucunda 2(2/Xˉ)2=Xˉ22\frac{2}{(2/\bar{X})^2} = \frac{\bar{X}^2}{2} değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu oluşturma
L(β)=∏i=1nβ2Xie−βXi=β2n(∏i=1nXi)e−β∑i=1nXiL(\beta) = \prod_{i=1}^n \beta^2 X_i e^{-\beta X_i} = \beta^{2n} \left(\prod_{i=1}^n X_i\right) e^{-\beta \sum_{i=1}^n X_i}
Bağımsız ve özdeş dağılımlı örneklem için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmak amacıyla.
2
Log-olabilirlik fonksiyonunu hesaplama
ln⁡L(β)=2nln⁡β+∑i=1nln⁡Xi−β∑i=1nXi\ln L(\beta) = 2n \ln \beta + \sum_{i=1}^n \ln X_i - \beta \sum_{i=1}^n X_i
Çarpım durumundaki ifadeyi toplama dönüştürerek parametreye göre türev alma işlemini kolaylaştırmak amacıyla.
3
Parametreye göre türev alıp sıfıra eşitleme
∂ln⁡L(β)∂β=2nβ−∑i=1nXi=0  ⟹  β^=2n∑i=1nXi=2Xˉ\frac{\partial \ln L(\beta)}{\partial \beta} = \frac{2n}{\beta} - \sum_{i=1}^n X_i = 0 \implies \hat{\beta} = \frac{2n}{\sum_{i=1}^n X_i} = \frac{2}{\bar{X}}
Log-olabilirlik fonksiyonunu maksimum yapan β\beta değerini (nokta tahmin edicisini) bulmak amacıyla.
4
Değişmezlik (invariance) özelliğini uygulama
τ(β)^=2β^2=2(2/Xˉ)2=24/Xˉ2=Xˉ22\widehat{\tau(\beta)} = \frac{2}{\hat{\beta}^2} = \frac{2}{(2/\bar{X})^2} = \frac{2}{4/\bar{X}^2} = \frac{\bar{X}^2}{2}
Bir parametrenin fonksiyonunun en çok olabilirlik tahmin edicisi, parametrenin tahmin edicisinin o fonksiyonda yerine konmasıyla elde edildiğinden.

Key Concept

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicisi ve Değişmezlik Özelliği
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

En Çok Olabilirlik Yöntemi (Maximum Likelihood Estimation)

More questions from this topic