Examkin

Question

Difficulty: MediumEn Çok Olabilirlik Yöntemi (Maximum Likelihood Estimation)

Bir endüstriyel üretim hattında üretilen belirli bir tür kablonun kopma gerilimi (kg cinsinden) XX rastgele değişkeni ile modellenmektedir. XX'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x;θ)={3x2θ3,0<x≤θ0,dig˘er durumlardaf(x; \theta) = \begin{cases} \frac{3x^2}{\theta^3}, & 0 < x \le \theta \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Burada θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametredir. Bu üretim hattından rastgele seçilen nn adet kablonun kopma gerilimleri X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n bağımsız ve özdeş dağılımlı bir örneklem oluşturmaktadır.

Buna göre, bu kabloların kopma gerilimlerinin beklenen değerinin (E(X)E(X)) en çok olabilirlik tahmin edicisi (MLE) aşağıdakilerden hangisidir?
(Not: Xˉ\bar{X} örneklem ortalamasını ifade etmektedir.)

  1. 34max⁡(X1,X2,…,Xn)\frac{3}{4} \max(X_1, X_2, \dots, X_n)Answer
  2. B
    \bar{X}
  3. C
    \max(X_1, X_2, \dots, X_n)
  4. D
    34Xˉ\frac{3}{4} \bar{X}
  5. E
    34min⁡(X1,X2,…,Xn)\frac{3}{4} \min(X_1, X_2, \dots, X_n)

Answer

34max⁡(X1,X2,…,Xn)\frac{3}{4} \max(X_1, X_2, \dots, X_n) şeklindeki ifadedir.
Beklenen değer hesabı yapıldığında E(X)=34θE(X) = \frac{3}{4}\theta olduğu görülür. Verilen dağılımda olabilirlik fonksiyonu L(θ)L(\theta), parametrenin tanımlı olduğu aralık olan θ≥xi\theta \ge x_i koşulu altında θ\theta'nın azalan bir fonksiyondur. Bu sebeple fonksiyonu maksimize eden en küçük değer örneklemin maksimum değeri olan max⁡(X1,…,Xn)\max(X_1, \dots, X_n) olur. Değişmezlik (invariance) özelliği kullanılarak E(X)E(X)'in tahmini için θ\theta yerine bu değer yazılır ve sonuç 34max⁡(X1,X2,…,Xn)\frac{3}{4} \max(X_1, X_2, \dots, X_n) olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonunu kullanarak X'in beklenen değerini (E(X)E(X)) hesaplamak.
E(X)=∫0θx3x2θ3dx=[3x44θ3]0θ=34θE(X) = \int_0^\theta x \frac{3x^2}{\theta^3} dx = \left[ \frac{3x^4}{4\theta^3} \right]_0^\theta = \frac{3}{4}\theta
Soruda E(X)E(X)'in en çok olabilirlik tahmin edicisi sorulduğu için öncelikle parametre cinsinden beklenen değer formüle edilmelidir.
2
Verilen örneklem için olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu L(θ)L(\theta) oluşturmak.
L(θ)=∏i=1n3xi2θ3=3nθ3n∏i=1nxi2L(\theta) = \prod_{i=1}^n \frac{3x_i^2}{\theta^3} = \frac{3^n}{\theta^{3n}} \prod_{i=1}^n x_i^2, şart: 0<xi≤θ0 < x_i \le \theta (tüm i'ler için).
En çok olabilirlik tahmin edicisini bulmak için, gözlemlerin ortak yoğunluk fonksiyonunu maksimize edecek adımın altyapısı hazırlanmalıdır.
3
Olabilirlik fonksiyonunu maksimize eden θ\theta değerini bulmak.
L(θ)L(\theta) fonksiyonu θ\theta'nın azalan bir fonksiyonudur. Tüm gözlemler için xi≤θx_i \le \theta şartının sağlanabilmesi için θ\theta'nın alabileceği en küçük değer örneklemin maksimumudur. Bu nedenle θ^=max⁡(X1,X2,…,Xn)\hat{\theta} = \max(X_1, X_2, \dots, X_n) olur.
Fonksiyonun türevi alınarak değil, parametrenin tanım aralığındaki sınır değerleri kullanılarak maksimizasyon yapılmalıdır.
4
Değişmezlik (invariance) özelliğini kullanarak E(X)E(X)'in tahmin edicisini belirlemek.
E(X)^=34θ^=34max⁡(X1,X2,…,Xn)\widehat{E(X)} = \frac{3}{4} \hat{\theta} = \frac{3}{4} \max(X_1, X_2, \dots, X_n)
MLE yönteminde bir fonksiyonun tahmini, doğrudan parametrenin tahmin edicisinin fonksiyonda yerine konmasıyla bulunur.

Key Concept

En Çok Olabilirlik Yönteminde Sınır Değeri Optimizasyonu ve Değişmezlik Özelliği

Alternative Method

Alternatif olarak sıralı istatistiklerin tanımı üzerinden X(n)X_{(n)} değerinin θ\theta parametresine ne kadar yakınsayabileceği mantıken düşünülerek (verinin sağ kuyruğunun tamamen parametreyle sınırlandığı görülerek) doğrudan tahmin edici yakalanabilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

En Çok Olabilirlik Yöntemi (Maximum Likelihood Estimation)

More questions from this topic