Examkin

Question

Difficulty: HardBinom Dağılımı

Bir kamu kurumunda gerçekleştirilen belirli bir türdeki bağımsız nn adet idari işlemin her birinin yasal süre içinde tamamlanma olasılığı pp'dir. Yasal süre içinde tamamlanan işlem sayısı XX rastgele değişkeni ile modellenmektedir ve X∼Bin(n,p)X \sim \text{Bin}(n, p) dağılımına sahiptir.

Bu dağılıma ilişkin olarak,
E[X]=3⋅Var(X)E[X] = 3 \cdot \text{Var}(X)
P(X=3)P(X=2)=2\frac{P(X=3)}{P(X=2)} = 2
eşitlikleri verilmektedir.

Buna göre, incelenen nn adet işlemden en az 1'inin yasal süre içinde tamamlanma olasılığı (P(X≥1)P(X \ge 1)) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    10243\frac{10}{243}
  2. B
    2627\frac{26}{27}
  3. C
    3132\frac{31}{32}
  4. D
    211243\frac{211}{243}
  5. 242243\frac{242}{243}Answer

Answer

İstenen olasılık, parametreleri bulunduktan sonra tümleyen kuralı ile hesaplanan 242243\frac{242}{243} değeridir.
Beklenen değer (npnp) ve varyans (np(1−p)np(1-p)) bağıntısı kurularak p=2/3p = 2/3 olduğu tespit edilir. Ardından Binom kütle fonksiyonlarının birbirine oranı açılarak deneme sayısının n=5n = 5 olduğu saptanır. Soruda istenen "en az 1 başarı" olasılığı, tüm olasılıklardan (1), hiç başarı olmaması durumunun (P(X=0)=(1/3)5P(X=0) = (1/3)^5) çıkarılmasıyla hesaplanarak sonucun 242/243242/243 olduğu kanıtlanır.

Step-by-Step Solution

1
Beklenen değer ve varyans ilişkisinden pp parametresini hesapla.
p=23p = \frac{2}{3}
Binom dağılımında E[X]=npE[X] = np ve Var(X)=np(1−p)\text{Var}(X) = np(1-p) formülleri, E[X]=3⋅Var(X)E[X] = 3 \cdot \text{Var}(X) denkleminde yerine yazıldığında np=3np(1−p)  ⟹  1=3(1−p)  ⟹  p=23np = 3np(1-p) \implies 1 = 3(1-p) \implies p = \frac{2}{3} elde edilir.
2
Verilen olasılık oranı eşitliğini kullanarak nn parametresini bul.
n=5n = 5
Binom olasılık formülünde oran yazıldığında P(X=3)P(X=2)=(n3)p3(1−p)n−3(n2)p2(1−p)n−2=n−23⋅p1−p\frac{P(X=3)}{P(X=2)} = \frac{\binom{n}{3} p^3 (1-p)^{n-3}}{\binom{n}{2} p^2 (1-p)^{n-2}} = \frac{n-2}{3} \cdot \frac{p}{1-p} olur. p=23p = \frac{2}{3} değeri yerine konulduğunda n−23⋅2=2  ⟹  n−2=3  ⟹  n=5\frac{n-2}{3} \cdot 2 = 2 \implies n-2=3 \implies n=5 bulunur.
3
P(X≥1)P(X \ge 1) olasılığını tümleyen kuralını kullanarak hesapla.
P(X≥1)=242243P(X \ge 1) = \frac{242}{243}
En az 1 işlemin başarılı olma olasılığı, 1'den hiçbir işlemin başarılı olmama olasılığının çıkarılması ile bulunur: P(X≥1)=1−P(X=0)=1−(50)(23)0(13)5=1−1243=242243P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) = 1 - \binom{5}{0}(\frac{2}{3})^0(\frac{1}{3})^5 = 1 - \frac{1}{243} = \frac{242}{243}.

Key Concept

Binom Dağılımının Parametreleri, Beklenen Değer, Varyans ve Olasılık Fonksiyonu
Rate this question

Topics

Binom Dağılımı

More questions from this topic