Examkin

Question

Difficulty: MediumTek Kitle Varyansı İçin Güven Aralığı

Devlet Su İşleri (DSİ) tarafından işletilen bir barajdan tarım arazilerine bırakılan günlük su miktarının (bin metreküp cinsinden) normal dağılıma uyduğu bilinmektedir. Belirli bir sulama sezonunda rastgele seçilen 1515 gün boyunca bırakılan su miktarları ölçülmüş ve bu ölçümlerden elde edilen örneklem varyansı S2=24S^2 = 24 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, barajdan bırakılan günlük su miktarının kitle varyansı (σ2\sigma^2) için %90\%90 güven düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Tablo değerleri: χ0,05;142=23,68\chi^2_{0,05; 14} = 23,68, χ0,95;142=6,57\chi^2_{0,95; 14} = 6,57, χ0,05;152=25,00\chi^2_{0,05; 15} = 25,00, χ0,95;152=7,26\chi^2_{0,95; 15} = 7,26)

  1. [14,19; 51,14][14,19; \, 51,14]Answer
  2. B
    [15,20; 54,79][15,20; \, 54,79]
  3. C
    [13,44; 46,28][13,44; \, 46,28]
  4. D
    [1,01; 3,65][1,01; \, 3,65]
  5. E
    [21,92; 26,08][21,92; \, 26,08]

Answer

[14,19; 51,14][14,19; \, 51,14] aralığıdır.
Tek kitle varyansı (σ2\sigma^2) için güven aralığı formülü [(n−1)S2χα/2,n−12,(n−1)S2χ1−α/2,n−12]\left[ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}} , \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}} \right] şeklindedir. Verilen n=15n=15, S2=24S^2=24 ve %90\%90 güven düzeyi için serbestlik derecesi 15−1=1415-1=14 olur. Pay kısmı 14×24=33614 \times 24 = 336 olarak bulunur. Formülde alt sınır için büyük χ2\chi^2 değeri olan 23,6823,68, üst sınır için ise küçük χ2\chi^2 değeri olan 6,576,57 paydaya yazılır. Aralık işlemleri gerçekleştirildiğinde [336/23,68; 336/6,57]=[14,19; 51,14][336 / 23,68; \, 336 / 6,57] = [14,19; \, 51,14] elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen değerlerin ve serbestlik derecesinin belirlenmesi
n=15n = 15, S2=24S^2 = 24, s.d.=n−1=15−1=14s.d. = n - 1 = 15 - 1 = 14
Güven aralığı formülünde kullanılacak temel parametrelerin tanımlanması gerekir.
2
Güven düzeyine uygun Ki-kare tablo değerlerinin seçilmesi
%90\%90 güven düzeyi için α=0,10\alpha = 0,10, kuyruk alanları α/2=0,05\alpha/2 = 0,05. Tablodan 1414 serbestlik derecesi için kritik değerler: χ0,05;142=23,68\chi^2_{0,05; 14} = 23,68 ve χ0,95;142=6,57\chi^2_{0,95; 14} = 6,57 olarak seçilir.
Varyansın asimetrik olan Ki-kare dağılımındaki güven sınırları bu kritik değerlere dayanır.
3
Varyans güven aralığı formülünün pay kısmının hesaplanması
(n−1)S2=14×24=336(n-1)S^2 = 14 \times 24 = 336
Ki-kare pivot fonksiyonunun temel bileşenidir.
4
Güven aralığının alt sınırının hesaplanması
33623,68≈14,189⇒14,19\frac{336}{23,68} \approx 14,189 \Rightarrow 14,19
Alt sınır, payın büyük Ki-kare kritik değerine (χ0,052\chi^2_{0,05}) bölünmesiyle elde edilir.
5
Güven aralığının üst sınırının hesaplanması
3366,57≈51,141⇒51,14\frac{336}{6,57} \approx 51,141 \Rightarrow 51,14
Üst sınır, payın küçük Ki-kare kritik değerine (χ0,952\chi^2_{0,95}) bölünmesiyle elde edilir.

Key Concept

Tek kitle varyansının, örneklem varyansı ve Ki-kare dağılımı kullanılarak aralık tahmini
Rate this question

Topics

Tek Kitle Varyansı İçin Güven Aralığı

More questions from this topic