Examkin

Question

Difficulty: MediumOran Tahminleyicisinin Etkinliği ve Koşulları

Kitle ortalamasının tahmininde yardımcı değişken (xx) bilgisinden yararlanan oran tahminleyicisi (yˉR\bar{y}_R) kullanılmak istenmektedir. İlgilenilen değişken (yy) ile yardımcı değişken (xx) arasındaki korelasyon katsayısı ρ\rho, bu değişkenlere ait değişim katsayıları ise sırasıyla CyC_y ve CxC_x ile gösterilmektedir. Bu durumda, oran tahminleyicisinin basit aritmetik ortalama tahminleyicisine (yˉ\bar{y}) göre istatistiksel olarak daha etkin (daha küçük varyanslı) bir sonuç verebilmesi için sağlanması gereken temel koşul aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    ρ>Cy2Cx\rho > \frac{C_y}{2C_x}
  2. B
    ρ>2CxCy\rho > \frac{2C_x}{C_y}
  3. C
    ρ>0,5\rho > 0,5
  4. ρ>Cx2Cy\rho > \frac{C_x}{2C_y}Answer
  5. E
    ρ>CxCy\rho > \frac{C_x}{C_y}

Answer

Oran tahminleyicisinin daha etkin olması için korelasyon katsayısının, yardımcı değişkenin değişim katsayısının ilgilenilen değişkenin değişim katsayısının iki katına oranından büyük olması (ρ>Cx2Cy\rho > \frac{C_x}{2C_y}) gerekir.
Oran tahminleyicisi, ilgilenilen değişken ile yardımcı değişken arasında güçlü ve pozitif bir doğrusal ilişki olduğunda etkindir. Matematiksel olarak V(yˉR)<V(yˉ)V(\bar{y}_R) < V(\bar{y}) eşitsizliği çözüldüğünde, korelasyon katsayısının Cx2Cy\frac{C_x}{2C_y} değerinden büyük olması gerektiği sonucuna varılır.

Step-by-Step Solution

1
Tahminleyicilerin varyans formülleri arasındaki ilişkiyi kurun.
V(yˉR)<V(yˉ)V(\bar{y}_R) < V(\bar{y}) koşulu incelenmelidir.
Etkinlik, bir tahminleyicinin diğerine göre daha küçük varyansa sahip olması durumudur.
2
Oran tahminleyicisinin yaklaşık varyans formülünü açın.
1−fn(Sy2+R2Sx2−2RρSySx)<1−fnSy2\frac{1-f}{n} (S_y^2 + R^2 S_x^2 - 2R \rho S_y S_x) < \frac{1-f}{n} S_y^2
Varyansların karşılaştırılabilmesi için Taylor serisi genişlemesi ile elde edilen yaklaşık varyans ifadesi kullanılır.
3
Eşitsizliği sadeleştirerek korelasyon katsayısını yalnız bırakın.
R2Sx2<2RρSySx⇒RSx<2ρSy⇒YˉXˉSx<2ρSy⇒Sx/XˉSy/Yˉ<2ρ⇒ρ>Cx2CyR^2 S_x^2 < 2R \rho S_y S_x \Rightarrow R S_x < 2 \rho S_y \Rightarrow \frac{\bar{Y}}{\bar{X}} S_x < 2 \rho S_y \Rightarrow \frac{S_x/\bar{X}}{S_y/\bar{Y}} < 2 \rho \Rightarrow \rho > \frac{C_x}{2C_y}
R=Yˉ/XˉR = \bar{Y}/\bar{X} ve C=S/ortalamaC = S/\text{ortalama} tanımları kullanılarak nihai koşula ulaşılır.

Key Concept

Oran Tahminleyicisi Etkinlik Koşulu

Hints

1
Oran tahminleyicisinin varyans formülünü, basit aritmetik ortalamanın varyans formülüyle karşılaştırın.
2
Eşitsizliği sadeleştirirken yardımcı değişken ve ilgilenilen değişkenin değişim katsayılarını (C=S/ortalamaC = S/\text{ortalama}) yalnız bırakmaya çalışın.

Practice More

Regresyon tahminleyicisinin her zaman oran tahminleyicisinden daha etkin olup olmadığını ve hangi durumda bu iki tahminleyicinin birbirine eşitlendiğini araştırın.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Oran Tahminleyicisinin Etkinliği ve Koşulları

More questions from this topic