Oran ve Regresyon Tahminleyicileri Practice Questions — KPSS İstatistik

Question 1Question →

Bir araştırmacı, $N = 500$ konuttan oluşan bir mahallede aylık ortalama elektrik tüketimini ( $y$ ) tahmin etmek istemektedir. Mahalledeki konutların ortalama metrekaresinin ( $\bar{X}$ ) $110 m^2$ olduğu bilinmektedir. Basit rastgele örnekleme yöntemiyle seçilen $n = 50$ konut üzerinde yapılan incelemede aşağıdaki özet istatistikler elde edilmiştir:

- Örneklem ortalama elektrik tüketimi: $\bar{y} = 450 kWh$
- Örneklem ortalama konut metrekaresi: $\bar{x} = 105 m^2$
- Örneklem regresyon katsayısı: $b = 4$

Buna göre, regresyon tahminleyicisi kullanılarak bu mahalledeki toplam elektrik tüketimi kaç $kWh$ olarak tahmin edilir?

235.000

225.000

215.000

470

235.714

Show answer & explanation

Answer: 235.000

Answer

Regresyon tahminleyicisi kullanılarak tahmin edilen kitle toplamı

235.000 kWh

değerindedir.

Doğru cevap olan

235.000

değeri, önce regresyon tahminleyicisi formülüyle

(\bar{y}_{reg} = 450 + 4 \times (110 - 105) = 470)

kitle ortalamasının bulunması ve ardından bu değerin mahalledeki toplam konut sayısı olan

500

ile çarpılması sonucu elde edilmiştir.

Step-by-Step Solution

1

Kitle ortalaması için regresyon tahminleyicisi formülünün uygulanması

\bar{y}_{reg} = 450 + 4(110 - 105) = 470

Yardımcı değişken bilgisi kullanılarak örneklem ortalamasının kitle ortalamasına göre düzeltilmesi gerekir.

2

Tahmin edilen kitle ortalamasının toplam değere dönüştürülmesi

\hat{Y}_{reg} = N \times \bar{y}_{reg} = 500 \times 470 = 235.000

Kitle toplamı tahmini, birim başına düşen ortalama değerin toplam birim sayısıyla çarpılmasıyla bulunur.

Key Concept

Regresyon tahminleyicisi, ilgili değişken ile yardımcı değişken arasındaki doğrusal ilişkiden yararlanarak daha etkin tahminler yapmayı sağlar.

Estimated Time:1m 30s

Question 2Question →

Bir bölgede bulunan $N = 500$ adet tarım işletmesinin geçen yılki ortalama buğday üretimi $\mu_X = 80$ ton olarak bilinmektedir. Bu yılki toplam üretimi tahmin etmek amacıyla $n = 50$ işletmeden oluşan basit rastgele bir örneklem seçilmiştir. Yapılan incelemeler sonucunda örneklemdeki işletmelerin geçen yılki ortalama üretimi $\bar{x} = 75$ ton ve bu yılki ortalama üretimi $\bar{y} = 90$ ton olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, oran tahminleyicisi (ratio estimator) yöntemi kullanılarak bu bölgedeki bu yılki toplam buğday üretimi tahmini kaç tondur?

48000

45000

96

33333

4800

Show answer & explanation

Answer: 48000

Answer

Oran tahminleyicisi yöntemiyle hesaplanan toplam buğday üretimi tahmini 48000 tondur.

Doğru cevap olan 48000 değeri, önce örneklem oranının (1,2) hesaplanması, ardından bu oranın bilinen kitle ortalamasıyla çarpılarak kitle ortalaması tahmininin (96) bulunması ve son olarak kitle büyüklüğü olan 500 ile çarpılması sonucunda elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem oranını (

\hat{R}

) hesaplayınız.

\hat{R} = \frac{\bar{y}}{\bar{x}} = \frac{90}{75} = 1,2

Oran tahminleyicisinin temel bileşeni, ilgilenilen değişkenin yardımcı değişkene olan örneklem oranıdır.

2

Oran tahminleyicisi ile kitle ortalamasını (

\hat{\mu}_{y,R}

) tahmin ediniz.

\hat{\mu}_{y,R} = \hat{R} \times \mu_X = 1,2 \times 80 = 96 \text{ ton}

Bilinen kitle ortalaması, örneklem oranıyla genişletilerek kitle ortalaması tahmini elde edilir.

3

Kitle toplamını (

\hat{\tau}_{y,R}

) hesaplayınız.

\hat{\tau}_{y,R} = N \times \hat{\mu}_{y,R} = 500 \times 96 = 48000 \text{ ton}

Kitle toplamı tahmini, birim başına düşen ortalama tahminin toplam birim sayısıyla çarpılmasıyla bulunur.

Key Concept

Oran Tahminleyicisi ile Toplam Tahmini

Practice More

Oran tahminleyicisinin varyansını hesaplarken Sonlu Kitle Düzeltme (SKD) çarpanının hangi durumlarda dahil edilmesi gerektiğini inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 3Question →

Basit rastgele örnekleme yönteminde, kitle oranını tahmin etmek için kullanılan oran tahminleyicisinin ( $\hat{R} = \frac{\bar{y}}{\bar{x}}$ ) yanlılığı ve varyansı (Hata Karesi Ortalaması) ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Oran tahminleyicisi genellikle yanlı bir tahminleyicidir; ancak örneklem hacmi (

n

) arttıkça yanlılık azalır ve tahminleyici asimptotik olarak yansız hale gelir.

Tahminleyicinin yanlılığı örneklem büyüklüğüne bağlı değildir ve küçük örneklemlerde de her zaman sıfırdır.

Yardımcı değişken (

x

) ile ilgilenilen değişken (

y

) arasındaki korelasyon katsayısı (

\rho

) negatif olduğunda, oran tahminleyicisinin varyansı minimum değerini alır.

Oran tahminleyicisinin Hata Karesi Ortalaması (HKO) hesaplanırken, yanlılık terimi varyans teriminden her zaman daha büyük bir öneme sahiptir.

İadesiz basit rastgele örneklemede varyans hesaplanırken sonlu kitle düzeltme çarpanının (SKD) kullanılmasına gerek yoktur.

Show answer & explanation

Answer: Oran tahminleyicisi genellikle yanlı bir tahminleyicidir; ancak örneklem hacmi ( $n$ ) arttıkça yanlılık azalır ve tahminleyici asimptotik olarak yansız hale gelir.

Answer

Oran tahminleyicisinin genellikle yanlı olduğu, ancak büyük örneklemlerde bu yanlılığın azalarak asimptotik olarak yansız hale geldiği ifadesi doğrudur.

Oran tahminleyicisi (

r = \bar{y}/\bar{x}

), pay ve paydasındaki her iki değişkenin de rastgele olması nedeniyle 'oranların ortalaması' ile 'ortalamaların oranı' arasındaki farktan kaynaklanan bir yanlılığa sahiptir. Ancak istatistiksel teoride bu yanlılığın

1/n

hızında azaldığı kanıtlanmıştır, bu da büyük örneklemlerde tahminleyicinin asimptotik yansız olduğunu doğrular.

Step-by-Step Solution

1

Oran tahminleyicisinin tanımını ve yanlılık özelliğini inceleyin.

\hat{R} = \bar{y} / \bar{x}

tahminleyicisi, iki rastgele değişkenin oranı olduğu için beklenen değeri kitle oranına (

R

) tam olarak eşit değildir; yani

E(\hat{R}) \neq R

.

Tahminleyicinin temel istatistiksel özelliklerini belirlemek.

2

Örneklem hacminin (

n

) yanlılık üzerindeki etkisini analiz edin.

Yanlılık miktarı yaklaşık olarak

\frac{1}{n}

ile orantılıdır (

O(1/n)

). Bu durum,

n \rightarrow \infty

iken yanlılığın sıfıra gitmesi anlamına gelir.

Asimptotik özelliklerin anlaşılması.

3

Varyans ve Hata Karesi Ortalaması (HKO) arasındaki ilişkiyi kurun.

HKO(\hat{R}) = V(\hat{R}) + [Yan(\hat{R})]^2

formülünde, büyük örneklemlerde

[Yan(\hat{R})]^2

terimi ihmal edilebilir düzeyde küçüktür.

Tahminleyicinin toplam hatasını değerlendirmek.

Key Concept

Oran tahminleyicileri, yardımcı değişken ile ilgilenilen değişken arasında orijinden geçen doğrusal bir ilişki olduğunda en etkin sonuçları verir ve asimptotik olarak yansızdır.

Hints

1

Oran tahminleyicisinin yansız bir tahminleyici olup olmadığını hatırlayın.

2

Büyük örneklem teorisinde (asimptotik durum) yanlılığın nasıl davrandığını düşünün.

Practice More

Oran tahminleyicisinin regresyon tahminleyicisi ile hangi korelasyon koşullarında karşılaştırıldığını inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 15s

Question 4Question →

Bir kamu kurumu, iki farklı bölgeden oluşan bir çalışma alanında tarımsal verim ( $y$ ) tahmini yapmak amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemini kullanmaktadır. Tahminde etkinliği artırmak için önceki yılın verim değerleri yardımcı değişken ( $x$ ) olarak modele dahil edilmiştir. Çalışmaya ilişkin tabaka bazlı veriler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Tabaka ( $h$ )	Kitle Büyüklüğü ( $N_h$ )	Örneklem Hacmi ( $n_h$ )	Örneklem Ortalaması ( $\bar{y}_h$ )	Yardımcı Değişken Örneklem Ortalaması ( $\bar{x}_h$ )	Yardımcı Değişken Kitle Ortalaması ( $\bar{X}_h$ )
1	$400$	$40$	$100$	$20$	$25$
2	$600$	$60$	$60$	$15$	$10$

Buna göre, kitle ortalamasının tahmini için ayrı oran tahminleyicisi ( $\bar{y}_{RS}$ ) kullanıldığında elde edilecek tahmin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

74,00

71,53

76,00

80,00

64,00

Show answer & explanation

Answer: $74,00$

Answer

Ayrı oran tahminleyicisi kullanılarak hesaplanan kitle ortalaması tahmini

74,00

değerine eşittir.

Verilen çözüm adımları takip edildiğinde, her tabaka için hesaplanan oranların (

5

ve

4

), o tabakanın bilinen kitle ortalamaları (

25

ve

10

) ve kitle içindeki ağırlıkları (

0,4

ve

0,6

) ile çarpılıp toplanması sonucunda kitle ortalaması tahmini

74

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Tabaka ağırlıklarını (

W_h = N_h / N

) hesaplayınız.

N = 400 + 600 = 1000

olduğundan;

W_1 = 400/1000 = 0,4

ve

W_2 = 600/1000 = 0,6

bulunur.

Tabakalı örneklemede genel tahmine ulaşmak için her tabakanın kitledeki temsil oranının bilinmesi gerekir.

2

Her tabaka için ayrı oranları (

\hat{R}_h = \bar{y}_h / \bar{x}_h

) hesaplayınız.

\hat{R}_1 = 100 / 20 = 5

ve

\hat{R}_2 = 60 / 15 = 4

elde edilir.

Ayrı oran tahminleyicisi, her tabakanın kendi içindeki değişkenler arası ilişkiyi (oranı) kullanır.

3

Ayrı oran tahminleyicisi formülünü uygulayınız.

\bar{y}_{RS} = \sum W_h \hat{R}_h \bar{X}_h

\bar{y}_{RS} = (0,4 \times 5 \times 25) + (0,6 \times 4 \times 10)

\bar{y}_{RS} = (2 \times 25) + (2,4 \times 10) = 50 + 24 = 74

Tahminleyici, her tabakanın oranını o tabakanın kitle ortalaması ve ağırlığı ile çarparak genel kitle ortalaması tahminine ulaşır.

Key Concept

Ayrı oran tahminleyicisi, tabaka bazında oranların farklılık gösterdiği durumlarda daha etkin sonuçlar verir; ancak her tabakadaki örneklem hacminin oran tahmininin yanlılığını düşürecek kadar büyük olması şarttır.

Practice More

Aynı veri seti için birleşik oran tahminleyicisini (Combined Ratio Estimator) hesaplayarak iki yöntem arasındaki farkı ve hangi durumlarda hangisinin tercih edildiğini gözden geçirebilirsiniz.

Estimated Time:2m 0s

Question 5Question →

Basit rastgele örnekleme (BRÖ) yönteminde, kitle oranı ( $R = \frac{\bar{Y}}{\bar{X}}$ ) tahmini için kullanılan $\hat{R} = \frac{\bar{y}}{\bar{x}}$ oran tahminleyicisinin istatistiksel özellikleri ve varyansı (Hata Karesi Ortalaması) hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Tahminleyici genellikle yanlıdır; ancak büyük örneklemlerde yanlılık ihmal edilebilir düzeye iner ve varyansı hesaplanırken iadesiz seçimde Sonlu Kitle Düzeltme (SKD) çarpanı kullanılır.

Oran tahminleyicisi her örneklem hacmi için tam yansız (unbiased) bir tahminleyicidir, dolayısıyla Hata Karesi Ortalaması doğrudan varyansa eşittir.

Varyans (HKO) formülünde, yardımcı değişkenin varyansı (

S_x^2

) ve iki değişken arasındaki kovaryans (

S_{xy}

) terimleri yer almaz; sadece ilgilenilen değişkenin varyansı (

S_y^2

) dikkate alınır.

İadesiz seçim yapılmasına rağmen, kitle büyüklüğü

N

ve örneklem büyüklüğü

n

arasındaki oran dikkate alınmadan SKD çarpanı daima 1 olarak kabul edilir.

Oran tahminleyicisi kullanılarak kitle toplamı tahmini (

\hat{Y}_R = \hat{R} \cdot X

) yapıldığında, elde edilen tahminleyicinin varyansı

\hat{R}

'nin varyansının sadece

N

katına eşittir.

Show answer & explanation

Answer: Tahminleyici genellikle yanlıdır; ancak büyük örneklemlerde yanlılık ihmal edilebilir düzeye iner ve varyansı hesaplanırken iadesiz seçimde Sonlu Kitle Düzeltme (SKD) çarpanı kullanılır.

Answer

Oran tahminleyicisi genellikle yanlıdır ancak asimptotik olarak yansızdır ve varyans formülü iadesiz seçim durumunda Sonlu Kitle Düzeltme (SKD) çarpanını içerir.

Tahminleyicinin asimptotik yansız olması ve varyans formülünde iadesiz seçim gereği Sonlu Kitle Düzeltme çarpanının bulunması, oran tahminleyicisinin temel teorik özellikleridir.

Step-by-Step Solution

1

Tahminleyicinin yanlılık durumunu değerlendirmek.

\hat{R} = \frac{\bar{y}}{\bar{x}}

bir oran olduğu için beklenen değeri

E(\hat{R})

, genellikle

R

'ye eşit değildir; bu nedenle tahminleyici yanlıdır.

Pay ve payda rassal değişkenler olduğunda, oranların beklenen değeri oranların beklenen değerlerine eşit olmaz (

E[Y/X] \neq E[Y]/E[X]

).

2

Örneklem hacminin (

n

) yanlılık üzerindeki etkisini incelemek.

Yanlılık miktarı yaklaşık olarak

1/n

ile orantılıdır (

O(1/n)

).

Büyük örneklemlerde yanlılık terimi varyans terimine göre çok daha hızlı küçülür, bu da tahminleyiciyi 'asimptotik yansız' yapar.

3

Varyans (HKO) bileşenlerini belirlemek.

V(\hat{R}) \approx \frac{1-f}{n\bar{X}^2}(S_y^2 + R^2S_x^2 - 2R\rho S_x S_y)

İadesiz seçim yapıldığında örnekleme hatasını kitle büyüklüğüne göre düzeltmek için

(1-f)

çarpanı (SKD) formüle eklenir.

Key Concept

Oran tahminleyicisinin asimptotik yansızlığı ve varyansında Sonlu Kitle Düzeltme (SKD) kullanımı.

Practice More

Oran tahminleyicisinin basit aritmetik ortalamaya göre hangi koşullarda (korelasyon katsayısı sınırı) daha etkin olduğunu araştırınız.

Estimated Time:1m 30s

Question 6Question →

Bir kamu kurumu, bir bölgedeki işletmelerin reklam harcamaları ( $Y$ ) ile toplam ciroları ( $X$ ) arasındaki kitle oranını ( $R$ ) tahmin etmek amacıyla $N = 1000$ işletmeden oluşan kitle içinden iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle $n = 100$ işletme seçmiştir. Örneklemden elde edilen istatistikler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

İstatistik	Değer
İlgilenilen değişken ortalaması ( $\bar{y}$ )	$15$
Yardımcı değişken ortalaması ( $\bar{x}$ )	$50$
Artıkların (hata terimlerinin) varyansı ( $s_e^2$ )	$250$

Buna göre, kitle oranı tahmin edicisinin ( $\hat{R}$ ) varyansı kaçtır?

0,0450

0,0010

0,0009

0,0001

0,00009

Show answer & explanation

Answer: 0,0009

Answer

Kitle oranı tahmin edicisinin varyansı 0,0009 olarak hesaplanır.

Doğru yanıt olan 0,0009 değeri, sonlu kitle düzeltme çarpanı (

0,9

) ile artık varyansının (

250

) çarpımının, örneklem büyüklüğü (

100

) ve yardımcı değişken ortalamasının karesinin (

2500

) çarpımına bölünmesiyle (

225 / 250.000

) elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Örnekleme oranı (

f

) ve sonlu kitle düzeltme çarpanının (

1-f

) hesaplanması.

f = \frac{100}{1000} = 0,1

ve

1-f = 0,9

İadesiz seçim yapıldığı ve örnekleme oranı 0,05'ten büyük olduğu için sonlu kitle düzeltme çarpanı kullanılmalıdır.

2

Oran tahminleyicisinin varyans formülünün yazılması.

Var(\hat{R}) \approx \frac{1-f}{n \bar{x}^2} s_e^2

Kitle oranı (

R

) tahmini için örneklem artık varyansı üzerinden varyans tahmini yapılır.

3

Verilen değerlerin formülde yerine yerleştirilmesi.

Var(\hat{R}) = \frac{0,9}{100 \times 50^2} \times 250

Hesaplama için kitle ve örneklem istatistikleri formüle aktarılır.

4

Matematiksel işlemlerin sonuçlandırılması.

Var(\hat{R}) = \frac{0,9 \times 250}{100 \times 2500} = \frac{225}{250.000} = 0,0009

Pay ve payda arasındaki sadeleştirme ve bölme işlemiyle nihai tahmin varyansı bulunur.

Key Concept

Oran Tahminleyicisinin Varyansı

Estimated Time:1m 30s

Question 7Question →

Basit rastgele örneklemede, kitle ortalamasının tahmini için yardımcı değişken bilgisinden yararlanan oran tahminleyicisinin ( $\bar{y}_R$ ), basit aritmetik ortalama tahminleyicisinden ( $\bar{y}$ ) daha etkin olması beklenmektedir. İlgilenilen değişken $y$ ve yardımcı değişken $x$ arasındaki korelasyon katsayısı $\rho$ , değişkenlerin değişim katsayıları ise sırasıyla $C_y$ ve $C_x$ ile gösterilmektedir.

Buna göre, oran tahminleyicisinin basit aritmetik ortalamaya göre daha etkin (daha küçük varyanslı) olabilmesi için sağlanması gereken yaklaşık koşul aşağıdakilerden hangisidir?

\rho > \frac{C_x}{2C_y}

\rho > \frac{C_y}{2C_x}

\rho > \frac{2C_x}{C_y}

\rho < \frac{C_x}{2C_y}

\rho > \frac{C_x}{C_y}

Show answer & explanation

Answer: $\rho > \frac{C_x}{2C_y}$

Answer

Oran tahminleyicisinin basit aritmetik ortalamadan daha etkin olması için gereken yaklaşık koşul

\rho > \frac{C_x}{2C_y}

ifadesidir.

Oran tahminleyicisinin varyansı yaklaşık olarak

V(\bar{y}_R) \approx V(\bar{y}) + \frac{1-f}{n} (R^2 S_x^2 - 2R \rho S_x S_y)

şeklinde yazılabilir. Bu ifadenin

V(\bar{y})

'den küçük olması için

R^2 S_x^2 - 2R \rho S_x S_y < 0

olmalıdır. Değişim katsayıları cinsinden sadeleştirildiğinde bu durum

\rho > \frac{C_x}{2C_y}

koşuluna dönüşür.

Step-by-Step Solution

1

Tahminleyicilerin varyans formüllerini karşılaştırın.

V(\bar{y}_R) \approx \frac{1-f}{n} \bar{Y}^2 [C_y^2 + C_x^2 - 2\rho C_y C_x]

ve

V(\bar{y}) = \frac{1-f}{n} \bar{Y}^2 C_y^2

Etkinlik kıyaslaması varyansların büyüklüğüne göre yapılır.

2

Oran tahminleyicisinin varyansının daha küçük olması koşulunu (

V(\bar{y}_R) < V(\bar{y})

) kurun.

C_y^2 + C_x^2 - 2\rho C_y C_x < C_y^2

Sadeleştirme için ortak çarpanlar elenir.

3

Eşitsizliği

\rho

için çözün.

C_x^2 < 2\rho C_y C_x \Rightarrow C_x < 2\rho C_y \Rightarrow \rho > \frac{C_x}{2C_y}

Korelasyon katsayısının sağlaması gereken alt sınırı belirlemek için.

Key Concept

Oran tahminleyicisi, ancak yardımcı değişken ile ilgilenilen değişken arasında yeterince yüksek ve pozitif bir korelasyon varsa basit ortalamadan daha etkin sonuç verir.

Question 8Question →

Basit rastgele örnekleme yönteminde, kitle ortalamasını tahmin etmek amacıyla kullanılan oran tahminleyicisinin ( $\bar{y}_R$ ), kitle ortalaması tahminleyicisinden ( $\bar{y}$ ) daha etkin ( $V(\bar{y}_R) < V(\bar{y})$ ) olabilmesi için ilgilenilen değişken ( $y$ ) ile yardımcı değişken ( $x$ ) arasındaki korelasyon katsayısı ( $\rho$ ) yaklaşık olarak aşağıdaki koşullardan hangisini sağlamalıdır? (Not: $C_x$ ve $C_y$ sırasıyla $x$ ve $y$ değişkenlerinin değişim katsayılarıdır.)

\rho > \frac{C_x}{2C_y}

\rho > \frac{C_y}{2C_x}

\rho < \frac{C_x}{2C_y}

\rho > \frac{C_x}{C_y}

\rho^2 > \frac{C_x}{2C_y}

Show answer & explanation

Answer: $\rho > \frac{C_x}{2C_y}$

Answer

Oran tahminleyicisinin kitle ortalaması tahminleyicisinden daha etkin olması için korelasyon katsayısının

\rho > \frac{C_x}{2C_y}

koşulunu sağlaması gerekir.

Oran tahminleyicisinin kitle ortalaması tahminleyicisinden daha küçük bir hata karesi ortalamasına sahip olması, korelasyon katsayısının yardımcı değişkenin değişim katsayısının ilgilenilen değişkenin değişim katsayısının iki katına oranından büyük olmasına (

\rho > C_x / 2C_y

) bağlıdır.

Step-by-Step Solution

1

Tahminleyicilerin yaklaşık varyans ifadeleri yazılır.

V(\bar{y}) \approx \frac{1-f}{n} \bar{Y}^2 C_y^2

ve

V(\bar{y}_R) \approx \frac{1-f}{n} \bar{Y}^2 (C_y^2 + C_x^2 - 2\rho C_y C_x)

Etkinlik karşılaştırması yapabilmek için her iki tahminleyicinin hata varyanslarının bilinmesi gerekir.

2

Oran tahminleyicisinin daha etkin olma koşulu olan

V(\bar{y}_R) < V(\bar{y})

eşitsizliği kurulur.

C_y^2 + C_x^2 - 2\rho C_y C_x < C_y^2

haline gelir.

Ortak çarpanlar olan

\frac{1-f}{n} \bar{Y}^2

terimleri sadeleştirilerek temel bileşenlere odaklanılır.

3

Eşitsizlik

\rho

parametresi için çözülür.

C_x^2 < 2\rho C_y C_x \Rightarrow C_x < 2\rho C_y \Rightarrow \rho > \frac{C_x}{2C_y}

Değişim katsayıları pozitif olduğu için sadeleştirme yapıldığında eşitsizlik yön değiştirmez ve kesin koşul elde edilir.

Key Concept

Oran tahminleyicisinin etkinliği, yardımcı değişken ile ilgilenilen değişken arasındaki korelasyonun gücüne ve bu değişkenlerin değişkenlik düzeylerine (değişim katsayılarına) bağlıdır.

Question 9Question →

Basit rastgele örnekleme yönteminde, kitle ortalamasının tahmin edilmesi sürecinde yardımcı değişken ( $x$ ) bilgisinden yararlanan oran tahminleyicisinin ( $\bar{y}_R$ ), örneklem aritmetik ortalama tahminleyicisine ( $\bar{y}$ ) göre daha etkin (daha küçük varyanslı) sonuç vermesi için ilgilenilen değişken ( $y$ ) ile yardımcı değişken ( $x$ ) arasındaki korelasyon katsayısının ( $\rho$ ) sağlaması gereken temel koşul aşağıdakilerden hangisidir?

(Not: $C_x$ ve $C_y$ sırasıyla $x$ ve $y$ değişkenlerinin değişim katsayılarını göstermektedir.)

\rho > \frac{C_x}{2C_y}

\rho > \frac{C_y}{2C_x}

\rho > \frac{2C_x}{C_y}

\rho > \frac{C_x}{C_y}

\rho > 0,5

Show answer & explanation

Answer: $\rho > \frac{C_x}{2C_y}$

Answer

Oran tahminleyicisinin aritmetik ortalama tahminleyicisinden daha etkin olması için gereken koşul

\rho > \frac{C_x}{2C_y}

ifadesidir.

Oran tahminleyicisi, ilgilenilen değişken ile yardımcı değişken arasındaki korelasyon yeterince yüksek olduğunda ek bilgi sağladığı için varyansı düşürür. Matematiksel türetme sonucunda, bu düşüşün aritmetik ortalama varyansından daha küçük bir değer üretmesi için korelasyon katsayısının değişim katsayıları oranının yarısından büyük olması gerektiği ispatlanır.

Step-by-Step Solution

1

Tahminleyicilerin varyans formüllerini karşılaştırın.

V(\bar{y}_R) < V(\bar{y})

koşulunu inceleyelim.

Etkinlik, varyansların kıyaslanması ile belirlenir.

2

Varyans yaklaşımlarını yerine koyun.

\frac{1-f}{n} \bar{Y}^2 (C_y^2 + C_x^2 - 2\rho C_x C_y) < \frac{1-f}{n} \bar{Y}^2 C_y^2

Büyük örneklemler için oran tahminleyicisinin Taylor serisi yaklaşımı varyans formülü kullanılır.

3

Eşitsizliği sadeleştirin.

C_x^2 - 2\rho C_x C_y < 0 \Rightarrow C_x^2 < 2\rho C_x C_y

Ortak terimler (

C_y^2

ve katsayılar) sadeleştirildiğinde etkinlik sınırı ortaya çıkar.

4

\rho

değerini yalnız bırakın.

\rho > \frac{C_x}{2C_y}

Eşitsizliğin her iki tarafı

2C_x C_y

terimine bölünerek nihai koşul elde edilir.

Key Concept

Oran Tahminleyicisinin Etkinlik Koşulu

Practice More

Regresyon tahminleyicisinin hangi durumlarda her zaman oran tahminleyicisinden daha etkin olduğunu araştırınız.

Estimated Time:1m 15s

Question 10Question →

Örnekleme teorisinde, ilgilenilen ana değişken ( $Y$ ) ile ilişkili olan ve kitle karakteristikleri (toplam, ortalama vb.) önceden bilinen ek bilgilere "yardımcı değişken" ( $X$ ) adı verilir. Oran ve regresyon tahmin edicilerinin kullanıldığı bir bilimsel araştırmada, yardımcı değişken kullanılmasının birincil amacı ve bu değişkenin sağlaması gereken temel koşul aşağıdakilerden hangisidir?

İlgilenilen değişken ile aralarında güçlü bir korelasyon bulunması ve tahmin edicinin varyansını küçülterek tahminin etkinliğini artırmak

Örnekleme hatasını (varyansı) tamamen ortadan kaldırarak örneklem istatistiğini doğrudan kitle parametresine dönüştürmek

Örnekleme çerçevesindeki eksiklikleri gidermek ve sadece örnekleme dışı hataları minimize etmek

Tahmin edilecek olan

Y

değişkeni ile aralarında hiçbir ilişki bulunmadığı durumlarda örneklem hacmini (

n

) yapay olarak büyütmek

Tabakalı örneklemede birimlerin tabakalara atanmasını sağlamak ve sadece nitel (kalitatif) verileri sayısallaştırmak

Show answer & explanation

Answer: İlgilenilen değişken ile aralarında güçlü bir korelasyon bulunması ve tahmin edicinin varyansını küçülterek tahminin etkinliğini artırmak

Answer

Yardımcı değişkenin birincil amacı, ilgilenilen değişkenle arasındaki güçlü korelasyonu kullanarak tahminin varyansını azaltmak ve böylece tahminin etkinliğini artırmaktır.

Oran ve regresyon tahmin edicilerinde yardımcı değişken kullanımının temel mantığı, kitlede bilinen

X

bilgisi ile örneklemden elde edilen

Y

bilgisi arasındaki korelasyondan faydalanarak tahminin hassasiyetini artırmaktır. Korelasyon ne kadar yüksekse, tahminin varyansı o kadar düşük (etkinliği o kadar yüksek) olur.

Step-by-Step Solution

1

Yardımcı değişken (

X

) kavramını tanımla.

X

, kitledeki tüm birimler için bilinen veya kitle ortalaması/toplamı gibi parametreleri mevcut olan bir değişkendir.

Yardımcı değişkenin kullanılabilmesi için kitle bilgisinin önceden elimizde olması şarttır.

2

Y

ve

X

arasındaki ilişkiyi analiz et.

Oran tahminleyicisi için

Y

ile

X

arasında orijinden geçen doğrusal bir ilişki, regresyon tahminleyicisi için ise genel bir doğrusal ilişki (korelasyon) aranır.

Tahminleyicinin verimliliği, bu ilişkinin gücüne (korelasyon katsayısının büyüklüğüne) bağlıdır.

3

Tahminleyicinin amacını belirle.

Yardımcı değişken bilgisi, tahminleyicinin standart hatasını (ve dolayısıyla varyansını) Basit Rastgele Örnekleme'ye göre daha aşağıya çeker.

Daha düşük varyans, tahminin kitle parametresine daha yakın ve daha güvenilir (etkin) olması demektir.

Key Concept

Yardımcı Değişken ve Etkinlik (Efficiency)

Practice More

Oran tahminleyicisinin hangi korelasyon değerinden (

\rho > 1/2

) sonra Basit Rastgele Örneklemeden daha etkin olduğunu inceleyen sorulara göz atabilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 11Question →

Bir kamu araştırmasında, $N = 500$ birimlik bir kitleden iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle $n = 50$ birimlik bir örneklem seçilmiştir. İlgilenilen $y$ değişkeni ve yardımcı $x$ değişkenine ilişkin kitle değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Parametre	Değer
Kitle Varyansı ( $S_y^2$ )	$100$
Yardımcı Değişken Kitle Varyansı ( $S_x^2$ )	$80$
Kitle Kovaryansı ( $S_{xy}$ )	$60$

Araştırmacı, kitle ortalamasını tahmin etmek için $k = 1$ sabit değerli fark tahminleyicisini ( $\bar{y}_d = \bar{y} + \bar{X} - \bar{x}$ ) kullanmaya karar vermiştir. Buna göre, bu fark tahminleyicisinin varyansı kaçtır?

1,08

1,20

1,80

3,24

5,40

Show answer & explanation

Answer: $1,08$

Answer

Fark tahminleyicisinin varyansı

1,08

olarak hesaplanır.

Verilen

1,08

değeri, fark tahminleyicisinin varyans formülüne (

V(\bar{y}_d) = \frac{N-n}{Nn}(S_y^2 + S_x^2 - 2S_{xy})

) tüm parametrelerin doğru şekilde yerleştirilmesi ve sonlu kitle düzeltme çarpanının uygulanmasıyla elde edilen teknik olarak kusursuz sonuçtur.

Step-by-Step Solution

1

Fark tahminleyicisinin varyans formülünü belirleyin.

V(\bar{y}_d) = \frac{N-n}{Nn} (S_y^2 + k^2 S_x^2 - 2k S_{xy})

İadesiz basit rastgele örneklemede sabit

k

değerli fark tahminleyicisinin varyansı bu formülle hesaplanır.

2

Verilen değerleri ve

k=1

bilgisini formülde yerine koyun.

V(\bar{y}_d) = \frac{500-50}{500 \times 50} (100 + 1^2 \times 80 - 2 \times 1 \times 60)

Soruda verilen kitle parametreleri ve örneklem hacmi değerlerini işleme dahil etmek gerekir.

3

Matematiksel işlemleri gerçekleştirin.

V(\bar{y}_d) = \frac{450}{25000} (180 - 120) = 0,018 \times 60 = 1,08

Önce sonlu kitle düzeltme çarpanını içeren katsayı, ardından parantez içindeki varyans bileşenleri hesaplanır.

Key Concept

Fark tahminleyicisi (difference estimator), yardımcı değişkenin bilgisinden yararlanarak kitle parametrelerini tahmin eden yansız bir tahminleyicidir.

Question 12Question →

Bir kitle araştırmasında $N = 2000$ birimlik bir çerçeveden $n = 200$ birimlik bir örneklem iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle seçilmiştir. İlgilenilen $y$ değişkeninin kitle varyansı $S_y^2 = 100$ olarak bilinmektedir. Ayrıca $y$ değişkeni ile yardımcı $x$ değişkeni arasındaki kitle korelasyon katsayısı $\rho = 0,60$ olarak hesaplanmıştır.

Bu verilere göre, kitle ortalamasını tahmin etmek için doğrusal regresyon tahminleyicisi kullanıldığında, tahmin edicinin varyansı ( $V(\bar{y}_{reg})$ ) yaklaşık olarak kaçtır?

0,288

0,320

0,450

0,180

0,360

Show answer & explanation

Answer: 0,288

Answer

Regresyon tahminleyicisinin varyansı 0,288 olarak hesaplanır.

Doğrusal regresyon tahminleyicisinin varyansı, basit rastgele örnekleme varyansının korelasyon katsayısının karesine bağlı olarak azaldığını gösteren

V(\bar{y})(1-\rho^2)

formülüyle hesaplanır. Yapılan hesaplamada SKD dahil edilerek

V(\bar{y}) = 0,45

bulunmuş, bu değer

0,64

ile çarpılarak 0,288 sonucuna ulaşılmıştır.

Step-by-Step Solution

1

Basit rastgele örnekleme altında örneklem ortalamasının varyansını (

V(\bar{y})

) hesapla.

V(\bar{y}) = \frac{N-n}{Nn} S_y^2 = \frac{2000-200}{2000 \times 200} \times 100 = \frac{1800}{400000} \times 100 = 0,45

Regresyon tahminleyicisinin varyansı, temel örnekleme tasarımının varyansı üzerinden hesaplanır.

2

Regresyon tahminleyicisinin yaklaşık varyans formülünü uygula.

V(\bar{y}_{reg}) \approx V(\bar{y}) (1 - \rho^2)

Büyük örneklemlerde regresyon tahminleyicisinin varyansı, basit rastgele örnekleme varyansının

(1 - \rho^2)

katıdır.

3

Bilinen değerleri formülde yerine koy.

V(\bar{y}_{reg}) = 0,45 \times (1 - 0,60^2) = 0,45 \times (1 - 0,36) = 0,45 \times 0,64 = 0,288

Korelasyon katsayısının karesi alınarak varyanstaki azalma oranı belirlenir.

Key Concept

Regresyon tahminleyicisinin varyansı, kitledeki korelasyon arttıkça basit rastgele örneklemeye göre azalır.

Practice More

Korelasyon katsayısının

\rho=1

olduğu durumda regresyon tahminleyicisinin varyansının ne olacağını düşününüz.

Estimated Time:1m 30s

Question 13Question →

Bir araştırmacı, kitle ortalamasını tahmin etmek amacıyla $N=1000$ birimlik bir kitleden iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle $n=100$ birimlik bir örneklem seçmiştir. Araştırmaya ait temel istatistikler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Parametre	Değer
Kitle Büyüklüğü ( $N$ )	$1000$
Örneklem Büyüklüğü ( $n$ )	$100$
İlgilenilen Değişkenin Varyansı ( $S_y^2$ )	$2000$
Korelasyon Katsayısı ( $\rho$ )	$0,80$

Bu verilere göre, yardımcı değişken bilgisinin kullanıldığı doğrusal regresyon tahminleyicisinin yaklaşık varyansı $V(\bar{y}_{reg})$ kaçtır?

6,48

7,20

11,52

12,80

18,00

Show answer & explanation

Answer: 6,48

Answer

Doğrusal regresyon tahminleyicisinin yaklaşık varyansı 6,48 olarak hesaplanmıştır.

Doğru olan 6,48 değeri, hem sonlu kitle düzeltme çarpanının (0,90) hem de regresyonun sağladığı varyans azalma oranının (

1-0,64=0,36

) doğru şekilde basit rastgele örnekleme varyansı olan 20 birim (düzeltmesiz) üzerine uygulanmasıyla elde edilmiştir.

Step-by-Step Solution

1

Örnekleme oranını (

f

) ve Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanını (

1-f

) hesaplayınız.

f = \frac{100}{1000} = 0,10

; SKD Çarpanı

= 1 - 0,10 = 0,90

İadesiz seçim yapıldığı için kitle büyüklüğünün örneklem varyansı üzerindeki etkisini düzeltmek gerekir.

2

Basit Rastgele Örnekleme (BRÖ) altındaki varyansı (

V(\bar{y})

) bulunuz.

V(\bar{y}) = \frac{1-f}{n} S_y^2 = \frac{0,90}{100} \times 2000 = 18

Regresyon tahminleyicisinin etkinliğini kıyaslamak için temel varyans düzeyini belirlemek gerekir.

3

Regresyon tahminleyicisinin varyans azaltma faktörünü hesaplayınız.

1 - \rho^2 = 1 - (0,80)^2 = 1 - 0,64 = 0,36

Doğrusal regresyon tahminleyicisi, yardımcı değişkenle olan korelasyon karesi oranında varyansı düşürür.

4

Varyans değerini hesaplayınız.

V(\bar{y}_{reg}) = 18 \times 0,36 = 6,48

Elde edilen tüm bileşenler birleştirilerek nihai varyans tahminine ulaşılır.

Key Concept

Regresyon tahminleyicisi, yardımcı değişkenle olan korelasyon (

\rho

) yüksek olduğunda Basit Rastgele Örnekleme'den daha düşük varyanslı (daha etkin) sonuçlar verir. Varyans,

(1-\rho^2)

faktörü ile azalır.

Estimated Time:1m 30s

Question 14Question →

Tarımsal bir araştırmada, bir bölgedeki mısır verimi ( $Y$ ) tahmin edilmek istenmektedir. Arazi büyüklüğü ( $X$ ) yardımcı değişken olarak kullanılarak kitle iki tabakaya ayrılmıştır. Tabakalara ait kitle ağırlıkları, örneklem ortalamaları ve regresyon katsayıları aşağıdaki tabloda özetlenmiştir:

Değişken / İstatistik	Tabaka 1 ( $W_1 = 0,60$ )	Tabaka 2 ( $W_2 = 0,40$ )
Kitle Ortalaması (Yardımcı Değişken - $\bar{X}_h$ )	$100$	$150$
Örneklem Ortalaması (Yardımcı Değişken - $\bar{x}_h$ )	$90$	$160$
Örneklem Ortalaması (İlgilenilen Değişken - $\bar{y}_h$ )	$200$	$300$
Regresyon Katsayısı ( $b_h$ )	$2,0$	$1,5$

Buna göre, ayrı regresyon tahminleyicisi (separate regression estimator) kullanılarak hesaplanan kitle ortalaması tahmini aşağıdakilerden hangisidir?

234

240

246

252,5

285

Show answer & explanation

Answer: 246

Answer

Ayrı regresyon tahminleyicisi kullanılarak elde edilen kitle ortalaması tahmini 246 birimdir.

Doğru yanıt olan 246 değeri, her tabakanın kendi örneklem ortalamasının o tabakaya özgü regresyon katsayısı kullanılarak kitle ortalamasına doğru kaydırılması (düzeltilmesi) ve ardından bu değerlerin kitle ağırlıklarıyla toplanmasıyla elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Birinci tabaka için regresyon tahminini (

\bar{y}_{lr,1}

) hesapla

220

\bar{y}_{lr,1} = \bar{y}_1 + b_1(\bar{X}_1 - \bar{x}_1) = 200 + 2,0(100 - 90) = 200 + 20 = 220

formülü uygulanır.

2

İkinci tabaka için regresyon tahminini (

\bar{y}_{lr,2}

) hesapla

285

\bar{y}_{lr,2} = \bar{y}_2 + b_2(\bar{X}_2 - \bar{x}_2) = 300 + 1,5(150 - 160) = 300 - 15 = 285

formülü uygulanır.

3

Tabaka tahminlerini kitle ağırlıklarıyla (

W_h

) çarp ve topla

246

\bar{y}_{lr,s} = W_1 \bar{y}_{lr,1} + W_2 \bar{y}_{lr,2} = (0,60 \times 220) + (0,40 \times 285) = 132 + 114 = 246

bulunur.

Key Concept

Ayrı regresyon tahminleyicisi, her tabakanın kendi regresyon katsayısı ile düzeltilmiş ortalamasının ağırlıklı toplamıdır.

Hints

1

Ayrı (separate) regresyon tahminleyicisi için önce her tabakanın kendi içinde bir regresyon tahmini hesaplamalısınız.

2

Her tabaka için

\bar{y} + b(\bar{X} - \bar{x})

işlemini yapın. Birinci tabaka için sonuç

220

çıkmalıdır.

3

Bulduğunuz tabaka değerlerini

W_1

ve

W_2

ağırlıklarıyla çarparak nihai sonuca ulaşın.

Practice More

Aynı verilerle 'Birleşik Regresyon Tahminleyicisi' (combined) hesaplamayı deneyerek aradaki farkı gözlemleyebilirsiniz.

Estimated Time:2m 0s

Question 15Question →

Bir araştırmacı, iki farklı bölgeden (tabakadan) oluşan bir kitlede ilgilenilen $Y$ değişkeninin ortalamasını tahmin etmek için tabakalı örnekleme yöntemini kullanmaktadır. Her bir tabaka için yardımcı değişken $X$ 'in kitle ortalamaları ( $\bar{X}_h$ ) tam olarak bilinmektedir. Aşağıdaki tabloda tabaka ağırlıkları ( $W_h$ ), tabaka kitle ortalamaları ( $\bar{X}_h$ ), örneklem ortalamaları ( $\bar{x}_h, \bar{y}_h$ ) ve hesaplanan regresyon katsayıları ( $b_h$ ) verilmiştir:

Tabaka	$W_h$	$\bar{X}_h$	$\bar{x}_h$	$\bar{y}_h$	$b_h$
1	0,60	50	48	120	2,0
2	0,40	40	42	100	1,5

Buna göre, kitle ortalaması için ayrı regresyon tahminleyicisi ( $\bar{y}_{lr,s}$ ) değeri kaçtır?

110,5

110,8

112,0

113,2

115,0

Show answer & explanation

Answer: 113,2

Answer

Kitle ortalaması için ayrı regresyon tahminleyicisi değeri 113,2'dir.

Doğru yanıt olan 113,2 değeri, her bir tabaka için ayrı ayrı hesaplanan regresyon tahminlerinin (

\bar{y}_{lr,1} = 124

ve

\bar{y}_{lr,2} = 97

) tabaka ağırlıkları olan 0,60 ve 0,40 ile çarpılarak toplanması sonucunda elde edilir. Bu yöntem, her tabakanın kendi regresyon doğrusuna sahip olduğu varsayımıyla 'ayrı' (separate) tahminleyici olarak adlandırılır.

Step-by-Step Solution

1

1. Tabaka için regresyon tahminini hesaplayın.

\bar{y}_{lr,1} = 120 + 2,0(50 - 48) = 124

Tabaka bazlı regresyon tahmini

\bar{y}_{lr,h} = \bar{y}_h + b_h(\bar{X}_h - \bar{x}_h)

formülü ile bulunur.

2

2. Tabaka için regresyon tahminini hesaplayın.

\bar{y}_{lr,2} = 100 + 1,5(40 - 42) = 100 - 3,0 = 97

İkinci tabakada örneklem ortalaması kitle ortalamasından büyük olduğu için regresyon düzeltmesi tahmin değerini aşağı çeker.

3

Hesaplanan tabaka tahminlerini kitledeki tabaka ağırlıklarıyla (

W_h

) birleştirin.

\bar{y}_{lr,s} = (0,60 \times 124) + (0,40 \times 97) = 74,4 + 38,8 = 113,2

Ayrı regresyon tahminleyicisi, tabaka tahminlerinin ağırlıklı ortalamasıdır:

\bar{y}_{lr,s} = \sum W_h \bar{y}_{lr,h}

.

Key Concept

Tabakalı Örneklemede Ayrı Regresyon Tahminleyicisi

Practice More

Birleşik regresyon tahminleyicisi (

bar{y}_{lr,c}

) ile ayrı regresyon tahminleyicisi arasındaki farkı ve hangi durumlarda hangisinin daha az yanlı olduğunu inceleyiniz.

Estimated Time:2m 0s

Question 16Question →

Basit rastgele örnekleme yöntemiyle yapılan bir kitle araştırmasında, yardımcı değişkenin değişim katsayısı $C_x = 0,20$ ve ilgilenilen değişkenin değişim katsayısı $C_y = 0,40$ olarak hesaplanmıştır.

Bu araştırmada kitle ortalamasını tahmin etmek için kullanılan oran tahminleyicisinin ( $\bar{y}_R$ ), basit aritmetik ortalamadan ( $\bar{y}$ ) daha etkin (varyansının daha küçük) olması için iki değişken arasındaki korelasyon katsayısı ( $\rho$ ) hangi değerden büyük olmalıdır?

0,25

0,50

0,10

0,0625

0,75

Show answer & explanation

Answer: 0,25

Answer

Oran tahminleyicisinin basit aritmetik ortalamaya göre daha etkin olması için korelasyon katsayısı 0,25 değerinden büyük olmalıdır.

Basit rastgele örneklemede oran tahminleyicisinin (

\bar{y}_R

) varyansı yaklaşık olarak

V(\bar{y}_R) \approx \frac{1-f}{n} \bar{Y}^2 (C_y^2 + C_x^2 - 2\rho C_y C_x)

şeklindedir. Basit aritmetik ortalamanın varyansı ise

V(\bar{y}) = \frac{1-f}{n} \bar{Y}^2 C_y^2

formülüyle hesaplanır.

V(\bar{y}_R) < V(\bar{y})

olması için

C_x^2 - 2\rho C_y C_x < 0

yani

\rho > \frac{C_x}{2C_y}

olmalıdır. Verilen değerlere göre

\rho > 0,20 / (2 \times 0,40) = 0,25

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Tahminleyicilerin etkinlik karşılaştırması için gereken temel koşulun belirlenmesi.

\rho > \frac{C_x}{2C_y}

Oran tahminleyicisinin varyansının, basit aritmetik ortalamanın varyansından küçük olması için gereken matematiksel koşul budur.

2

Verilen değerlerin (

C_x = 0,20

ve

C_y = 0,40

) formülde yerine konulması.

\rho > \frac{0,20}{2 \times 0,40}

Değişim katsayıları arasındaki ilişkiyi sayısal olarak ifade etmek için veriler yerleştirilir.

3

İşlemin sonuçlandırılması.

\rho > \frac{0,20}{0,80} \Rightarrow \rho > 0,25

Bölme işlemi yapılarak alt sınır eşiği bulunur.

Key Concept

Oran Tahminleyicisinin Etkinlik Koşulu

Question 17Question →

Örnekleme araştırmalarında, ilgilenilen ana değişken ( $Y$ ) ile birlikte yardımcı bir değişkenin ( $X$ ) kullanıldığı oran veya regresyon tahminleyicileri yardımıyla elde edilen sonuçların, basit tahminleyicilere göre daha üstün olması hedeflenmektedir.

Buna göre, yardımcı değişken kullanımının temel amacı ve sağladığı en önemli avantaj aşağıdakilerden hangisidir?

Örnekleme hatasını (varyansı) küçülterek tahminin etkinliğini artırmak

Örnekleme birimi ile gözlem birimi arasındaki kavramsal ayrımı tamamen ortadan kaldırmak

Kitle parametreleri bilinmediğinde, yardımcı değişkenin örneklem değerlerini doğrudan parametre olarak kullanmak

Değişkenler arasındaki korelasyonun düşük olduğu durumlarda yanlılığı azaltarak yansızlığı garanti etmek

Örnekleme dışı hataları, yardımcı değişkenin kitle bilgisiyle telafi ederek çerçeve hatalarını gidermek

Show answer & explanation

Answer: Örnekleme hatasını (varyansı) küçülterek tahminin etkinliğini artırmak

Answer

Yardımcı değişken kullanımının temel amacı, örnekleme hatasını (varyansı) küçülterek tahminin etkinliğini artırmaktır.

Yardımcı değişken kullanımının temel teknik gerekçesi, örneklemden örnekleme değişen değerlerin (örnekleme hatası)

X

değişkeni yardımıyla kontrol altına alınması ve böylece tahminin varyansının düşürülmesidir. Bu durum istatistiksel olarak 'etkinliğin artması' anlamına gelir.

Step-by-Step Solution

1

Yardımcı değişkenin gerekliliklerini belirleme

X

değişkeni, ilgilenilen

Y

değişkeni ile yüksek korelasyona sahip olmalı ve kitle karakteristikleri (toplam veya ortalama) önceden bilinmelidir.

Yardımcı bilgi ancak bu şartlar sağlandığında tahmini iyileştirebilir.

2

Tahmin edicilerin karşılaştırılması

Basit ortalama tahminleyicisi (

\bar{y}

) sadece

Y

değerlerini kullanırken; oran veya regresyon tahminleyicileri,

X

üzerinden bir düzeltme yapar.

X

değişkenindeki değişim

Y

'deki değişimi açıklayabildiği ölçüde hata payı düşer.

3

Etkinlik (Efficiency) analizi

Varyansın düşmesi, standart hatanın azalması ve tahminin gerçeğe daha yakın olması demektir.

Düşük varyanslı bir tahminleyici, yüksek varyanslı olana göre daha 'etkin' kabul edilir.

Key Concept

Örnekleme teorisinde yardımcı değişken (

X

), ilgilenilen ana değişken (

Y

) ile arasındaki ilişkiyi kullanarak tahmin edicinin varyansını düşürmek (etkinliği artırmak) amacıyla kullanılır.

Question 18Question →

Bir bölgedeki tarımsal verimliliği ( $y$ ) tahmin etmek isteyen bir araştırmacı, arazi büyüklüğünü ( $x$ ) yardımcı değişken olarak kullanarak tabakalı örnekleme yöntemini uygulamıştır. İki farklı tabakadan (Ova ve Yayla) elde edilen veriler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Tabaka	$N_h$	$\bar{X}_h$	$\bar{y}_h$	$\bar{x}_h$
1 (Ova)	400	10	50	8
2 (Yayla)	600	5	30	6

Bu bilgilere göre, ayrı oran tahminleyicisi (separate ratio estimator) kullanılarak kitle ortalaması tahmini ( $\hat{\bar{Y}}_{RS}$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

38,00

39,12

40,00

40,83

43,75

Show answer & explanation

Answer: 40,00

Answer

Ayrı oran tahminleyicisi kullanılarak hesaplanan kitle ortalaması tahmini 40,00'dır.

Ayrı oran tahminleyicisi hesaplanırken, her tabaka için oran (

R_h = \bar{y}_h / \bar{x}_h

) hesaplanır ve bu oran o tabakanın bilinen yardımcı değişken kitle ortalamasıyla (

\bar{X}_h

) çarpılır. Elde edilen tabaka tahminleri (

R_h \bar{X}_h

), tabaka ağırlıklarıyla (

W_h

) çarpılıp toplandığında doğru sonuç olan 40,00 değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Tabaka ağırlıklarını (

W_h

) hesapla

N = 400 + 600 = 1000

;

W_1 = 400/1000 = 0,4

ve

W_2 = 600/1000 = 0,6

Tabakalı tahminleyicilerde her tabakanın kitledeki payı ağırlık olarak kullanılır.

2

Her tabaka için örneklem oranlarını (

R_h

) hesapla

R_1 = \bar{y}_1 / \bar{x}_1 = 50 / 8 = 6,25

;

R_2 = \bar{y}_2 / \bar{x}_2 = 30 / 6 = 5,00

Ayrı oran tahminleyicisi, her tabaka için bağımsız bir oran hesaplanmasını gerektirir.

3

Tabaka düzeyindeki oran tahminlerini (

\hat{\bar{y}}_{Rh}

) bul

\hat{\bar{y}}_{R1} = R_1 \times \bar{X}_1 = 6,25 \times 10 = 62,5

;

\hat{\bar{y}}_{R2} = R_2 \times \bar{X}_2 = 5,00 \times 5 = 25,0

Her tabakanın örneklem oranı, o tabakanın bilinen kitle ortalamasıyla çarpılarak tabaka ortalaması tahmin edilir.

4

Genel kitle ortalaması tahminini (

\hat{\bar{Y}}_{RS}

) ağırlıklı toplamla hesapla

\hat{\bar{Y}}_{RS} = (0,4 \times 62,5) + (0,6 \times 25,0) = 25 + 15 = 40,00

Ayrı oran tahminleyicisi, tabaka tahminlerinin ağırlıklı ortalamasıdır.

Key Concept

Ayrı oran tahminleyicisi, tabaka bazlı oranların (

R_h

) her birinin ilgili tabaka parametresiyle (

\bar{X}_h

) çarpılarak ağırlıklandırılması esasına dayanır.

Practice More

Tabaka örneklem hacimlerinin (

n_h

) çok küçük olduğu durumlarda ayrı oran tahminleyicisinin yanlılık (bias) durumunu inceleyiniz.

Estimated Time:2m 0s

Question 19Question →

Bir araştırmacı, kitle ortalamasını tahmin etmek amacıyla yardımcı değişken bilgisinden yararlanan oran tahminleyicisini kullanmayı planlamaktadır. İlgilenilen değişken $y$ ve yardımcı değişken $x$ için hesaplanan değişim katsayıları sırasıyla $C_y$ ve $C_x$ ile gösterildiğinde; oran tahminleyicisinin, basit aritmetik ortalama tahminleyicisine göre daha etkin (daha küçük varyanslı) sonuç vermesini sağlayan temel koşul aşağıdakilerden hangisidir?

\rho > \frac{C_x}{2C_y}

\rho > \frac{C_y}{2C_x}

\rho > \frac{2C_x}{C_y}

\rho > 0,50

\rho > \frac{C_x^2}{C_y^2}

Show answer & explanation

Answer: $\rho > \frac{C_x}{2C_y}$

Answer

Oran tahminleyicisinin basit aritmetik ortalamaya göre daha etkin olması için korelasyon katsayısı

\rho > \frac{C_x}{2C_y}

koşulunu sağlamalıdır.

Oran tahminleyicisinin varyansı, basit aritmetik ortalamanın varyansına ek olarak

R^2 S_x^2 - 2R \rho S_x S_y

terimini içerir. Bu ek terimin negatif olması, tahminleyicinin varyansını düşürür ve etkinliğini artırır. Matematiksel sadeleştirmeler sonucunda bu durum

\rho > \frac{C_x}{2C_y}

eşitsizliğine karşılık gelir.

Step-by-Step Solution

1

Varyans formüllerini karşılaştırın

V(\bar{y}_R) < V(\bar{y})

olması istenir.

Etkinlik, daha düşük varyansa sahip olma durumuyla tanımlanır.

2

Oran tahminleyicisinin yaklaşık varyans formülünü açın

S_y^2 + R^2 S_x^2 - 2R \rho S_x S_y < S_y^2

Basit Rastgele Örneklemede oran tahminleyicisinin varyans bileşenlerini analiz etmek gerekir.

3

Eşitsizliği sadeleştirin

R S_x < 2 \rho S_y \Rightarrow \rho > \frac{R S_x}{2 S_y}

Ortak terimlerin sadeleştirilmesi sonucunda korelasyonun alt sınırı bulunur.

4

Değişim katsayılarını (CV) formüle yerleştirin

C_x = \frac{S_x}{\bar{X}}

ve

C_y = \frac{S_y}{\bar{Y}}

ve

R = \frac{\bar{Y}}{\bar{X}}

olduğundan

\rho > \frac{C_x}{2C_y}

elde edilir.

İstatistiksel literatürde etkinlik koşulu genellikle değişim katsayıları cinsinden ifade edilir.

Key Concept

Oran Tahminleyicisinin Etkinlik Koşulu

Practice More

Regresyon tahminleyicisinin hangi durumlarda her zaman oran tahminleyicisinden daha etkin olduğunu inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 20Question →

Bir kamu kurumu, personelin aylık ortalama eğitim harcamalarını ( $\bar{Y}$ ) tahmin etmek amacıyla $N = 2.000$ kişilik bir kitleden $n = 200$ birimlik bir örneklemi iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle seçmiştir. Yardımcı değişken ( $X$ ) olarak personelin aylık geliri kullanılmış ve kitle ortalaması $\bar{X} = 25.000$ TL olarak bilinmektedir. Yapılan analizler sonucunda örneklem ortalamaları $\bar{x} = 24.500$ TL ve $\bar{y} = 2.000$ TL; kitle varyansları ise $S_y^2 = 40.000$ , $S_x^2 = 30.000$ ve kitle kovaryansı $S_{xy} = 32.000$ olarak hesaplanmıştır.

$k=1$ sabit değeri kullanılarak tanımlanan $\hat{\bar{Y}}_d = \bar{y} + (\bar{X} - \bar{x})$ fark tahminleyicisinin varyansı kaçtır?

27

30

180

315

171

Show answer & explanation

Answer: $27$

Answer

Fark tahminleyicisinin varyansı, sonlu kitle düzeltme çarpanı ve değişkenler arası ilişki dikkate alınarak 27 olarak hesaplanır.

Fark tahminleyicisi,

k

katsayısı örneklemden bağımsız sabit bir değer olduğunda yansız bir tahminleyicidir. İadesiz basit rastgele örnekleme durumunda bu tahminleyicinin varyansı

Var(\hat{\bar{Y}}_d) = \frac{1-f}{n} (S_y^2 + k^2 S_x^2 - 2k S_{xy})

formülüyle hesaplanır. Soruda verilen

k=1

ve diğer istatistiksel değerler yerleştirildiğinde varyansın 27 olduğu görülür.

Step-by-Step Solution

1

Sonlu kitle düzeltme çarpanını (SKD) ve örnekleme kesrini belirleyin.

f = n/N = 200/2.000 = 0,1

ve

\frac{1-f}{n} = \frac{0,9}{200} = 0,0045

İadesiz seçim yapıldığı için varyans formülünde SKD kullanılmalıdır.

2

k=1

için fark tahminleyicisinin varyans formülünü yazın.

Var(\hat{\bar{Y}}_d) = \frac{1-f}{n} (S_y^2 + S_x^2 - 2S_{xy})

Fark tahminleyicisi, yardımcı değişken bilgisini varyansı azaltmak amacıyla kullanır.

3

Verilen değerleri formülde yerine koyarak hesaplamayı yapın.

Var = 0,0045 \times (40.000 + 30.000 - 2 \times 32.000) = 0,0045 \times (70.000 - 64.000) = 0,0045 \times 6.000 = 27

Varyans ve kovaryans değerleri arasındaki ilişki tahminleyicinin etkinliğini belirler.

Key Concept

Fark Tahminleyicisi Varyansı

Oran ve Regresyon Tahminleyicileri

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes