Examkin

Question

Difficulty: HardSonlu Kaynaklı (Popülasyonlu) Kuyruk Modelleri (Makine Bakım Problemleri)

Bir maden işletmesinde, çıkarılan cevheri taşımakla görevli 33 adet dev kaya kamyonu bulunmaktadır. Kamyon sayısı belirli ve sınırlı olduğundan, bu durum makine bakım problemi (sonlu kaynaklı kuyruk modeli) oluşturmaktadır.

Her bir kamyonun arızalanma süresi üstel dağılıma uymakta olup, bir kamyon haftada ortalama 11 kez arızalanmaktadır (kamyon başına bozulma oranı λ=1\lambda = 1 arıza/hafta). Sistemde, arızalanan kamyonlara müdahale eden 11 adet özel donanımlı tamir ekibi (tek servis kanalı) görev yapmaktadır. Tamir ekibinin onarım süresi de üstel dağılıma uymakta olup, ekip haftada ortalama 44 kamyonu tamir edebilme kapasitesine sahiptir (tamir oranı μ=4\mu = 4 tamir/hafta).

Buna göre, rastgele seçilen bir anda bu maden işletmesinde arızalı durumda olan (tamir edilen veya tamir edilmeyi bekleyen) beklenen ortalama kamyon sayısı (LL) kaçtır?

  1. A
    1871\frac{18}{71}
  2. B
    2471\frac{24}{71}
  3. C
    13\frac{1}{3}
  4. 5771\frac{57}{71}Answer
  5. E
    33

Answer

Rastgele bir anda sistemde arızalı bulunan beklenen ortalama kamyon sayısı 5771\frac{57}{71}'dir.
Sistem, sınırlı sayıda (N=3) kaynaktan gelen taleplerden oluştuğu için 'Makine Bakım Problemi' çerçevesinde ele alınmalıdır. Bu modelde sistemin boş olma olasılığı P0P_0, λμ\frac{\lambda}{\mu} oranının kombinatorik varyasyonlarıyla elde edilir ve P0=3271P_0 = \frac{32}{71} olarak hesaplanır. Ardından, L=N−μλ(1−P0)L = N - \frac{\mu}{\lambda}(1 - P_0) denklemi uygulanarak doğrudan sistemdeki beklenen ortalama birim sayısı 5771\frac{57}{71} sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Model parametrelerini ve kullanılacak kuyruk sistemini belirleme.
Popülasyon N=3N = 3, kanal sayısı c=1c = 1, varış hızı λ=1\lambda = 1, hizmet hızı μ=4\mu = 4. Sonlu kaynaklı tek kanallı kuyruk modeli (M/M/1/K/NM/M/1/K/N makine bakım problemi) kullanılacaktır.
Müşteri popülasyonu sınırlı (3 kamyon) olduğu için standart sonsuz M/M/1 formülleri kullanılamaz.
2
Sistemin boş olma (hiç arızalı kamyon olmama) olasılığını (P0P_0) hesaplama.
P0=[∑n=0NN!(N−n)!(λμ)n]−1P_0 = \left[ \sum_{n=0}^{N} \frac{N!}{(N-n)!} \left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^n \right]^{-1} formülü uygulanır. λμ=14\frac{\lambda}{\mu} = \frac{1}{4}'tür.
P0−1=1+3!2!(14)1+3!1!(14)2+3!0!(14)3P_0^{-1} = 1 + \frac{3!}{2!}(\frac{1}{4})^1 + \frac{3!}{1!}(\frac{1}{4})^2 + \frac{3!}{0!}(\frac{1}{4})^3
P0−1=1+3(14)+6(116)+6(164)=1+34+38+332P_0^{-1} = 1 + 3(\frac{1}{4}) + 6(\frac{1}{16}) + 6(\frac{1}{64}) = 1 + \frac{3}{4} + \frac{3}{8} + \frac{3}{32}
Paydalar 32'de eşitlenirse: P0−1=32+24+12+332=7132P_0^{-1} = \frac{32 + 24 + 12 + 3}{32} = \frac{71}{32}. Buradan P0=3271P_0 = \frac{32}{71} bulunur.
Sonlu popülasyon modellerinde performans ölçütlerini (L, Lq) bulabilmek için temel durum olan P0P_0'a ihtiyaç vardır.
3
Beklenen arızalı kamyon sayısını (LL) formül yardımıyla hesaplama.
L=N−μλ(1−P0)L = N - \frac{\mu}{\lambda}(1 - P_0) formülü kullanılarak:
L=3−41(1−3271)=3−4(3971)L = 3 - \frac{4}{1} \left(1 - \frac{32}{71}\right) = 3 - 4 \left(\frac{39}{71}\right)
L=3−15671=21371−15671=5771L = 3 - \frac{156}{71} = \frac{213}{71} - \frac{156}{71} = \frac{57}{71} elde edilir.
Sonlu popülasyon modelinde sistemdeki ortalama birim sayısını (LL) veren en kestirme ve doğrudan hesaplama yöntemi bu formüldür.

Key Concept

Makine bakım problemlerinde (sonlu popülasyonlu kuyruk modelleri), varış hızı sistemdeki makine sayısına bağlı olarak dinamik bir şekilde değiştiği için durum olasılıkları faktöriyel çarpanlarıyla hesaplanır.
Rate this question

Topics

Sonlu Kaynaklı (Popülasyonlu) Kuyruk Modelleri (Makine Bakım Problemleri)

More questions from this topic