Examkin

Question

Difficulty: Very hardRao-Blackwell Teoremi
X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n, parametresi λ>0\lambda > 0 olan Poisson dağılımından alınan nn çaplı rastgele bir örneklem olsun. θ=λe−λ\theta = \lambda e^{-\lambda} parametresi için başlangıç olarak,
T={1,X1=10,dig˘erT = \begin{cases} 1, & X_1 = 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}
şeklinde tanımlanan yansız bir tahmin edici verilmektedir.

Bu dağılım için S=∑i=1nXiS = \sum_{i=1}^n X_i istatistiğinin λ\lambda için yeterli (ve tam) olduğu bilinmektedir.

Buna göre, Rao-Blackwell teoremi kullanılarak TT tahmin edicisinden elde edilen, θ\theta için minimum varyanslı yansız tahmin edici (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. Sn(1−1n)S−1\frac{S}{n} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{S-1}Answer
  2. B
    Sne−S/n\frac{S}{n} e^{-S/n}
  3. C
    (1−1n)S\left(1 - \frac{1}{n}\right)^S
  4. D
    Sn\frac{S}{n}
  5. E
    Sn(1−1n)S\frac{S}{n} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^S

Answer

Sn(1−1n)S−1\frac{S}{n} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{S-1}
Rao-Blackwell teoremine göre ϕ(S)=E[T∣S]\phi(S) = E[T|S] minimum varyanslı yansız tahmin edicidir (UMVUE). TT, X1=1X_1=1 olduğunda 1 değerini alan bir gösterge değişkeni olduğundan E[T∣S=s]=P(X1=1∣∑Xi=s)E[T|S=s] = P(X_1=1 | \sum X_i=s) hesaplanmalıdır. Bu da koşullu olasılık tanımından P(X1=1)⋅P(∑i=2nXi=s−1)/P(∑i=1nXi=s)P(X_1=1) \cdot P(\sum_{i=2}^n X_i=s-1) / P(\sum_{i=1}^n X_i=s) formülünden elde edilir. İlgili Poisson olasılık fonksiyonları yerine yazılıp, e−nλe^{-n\lambda} ve λs\lambda^s terimleri ile s!/(s−1)!=ss! / (s-1)! = s sadeleştirmeleri yapıldığında sonuç Sn(1−1n)S−1\frac{S}{n} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{S-1} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Rao-Blackwell tahmin edicisinin koşullu beklenen değer olarak tanımlanmasını yaz.
ϕ(S)=E[T∣S=s]\phi(S) = E[T | S = s]
Rao-Blackwell teoremine göre yansız bir tahmin edicinin yeterli bir istatistiğe göre koşullu beklenen değeri, varyansı daha düşük veya eşit olan yeni bir yansız tahmin edici üretir.
2
T'nin gösterge (indicator) fonksiyonu olma özelliğini kullanarak beklenen değeri olasılığa çevir.
E[T∣S=s]=1⋅P(T=1∣S=s)+0⋅P(T=0∣S=s)=P(X1=1∣∑i=1nXi=s)E[T | S=s] = 1 \cdot P(T=1 | S=s) + 0 \cdot P(T=0 | S=s) = P(X_1=1 | \sum_{i=1}^n X_i = s)
T sadece 1 ve 0 değerlerini aldığından, beklenen değeri doğrudan T=1 olma olasılığına eşittir.
3
Koşullu olasılığı tanımına göre pay ve payda olarak ayır ve bağımsızlık özelliğini kullan.
P(X1=1∣∑i=1nXi=s)=P(X1=1 ve ∑i=2nXi=s−1)P(∑i=1nXi=s)P(X_1=1 | \sum_{i=1}^n X_i=s) = \frac{P(X_1=1 \text{ ve } \sum_{i=2}^n X_i=s-1)}{P(\sum_{i=1}^n X_i=s)}
Örneklemdeki gözlemler bağımsızdır. ∑Xi=s\sum X_i = s ve X1=1X_1 = 1 ise, geriye kalan n−1n-1 gözlemin toplamı mecburen s−1s-1 olmalıdır.
4
İlgili toplamların dağılımlarını belirleyerek olasılık fonksiyonlarını yerine yaz.
X1∼Poisson(λ)X_1 \sim Poisson(\lambda), ∑i=2nXi∼Poisson((n−1)λ)\sum_{i=2}^n X_i \sim Poisson((n-1)\lambda) ve ∑i=1nXi∼Poisson(nλ)\sum_{i=1}^n X_i \sim Poisson(n\lambda).
Bağımsız Poisson değişkenlerinin toplamı da Poisson dağılır ve parametreleri toplanır.
5
Formülde dağılımların karşılıklarını koyarak sadeleştirme işlemini gerçekleştir.
(λe−λ)⋅((n−1)λ)s−1e−(n−1)λ(s−1)!(nλ)se−nλs!\frac{(\lambda e^{-\lambda}) \cdot \frac{((n-1)\lambda)^{s-1} e^{-(n-1)\lambda}}{(s-1)!}}{\frac{(n\lambda)^s e^{-n\lambda}}{s!}}
Koşullu olasılığın tam matematiksel karşılığını hesaplamak için.
6
Pay ve paydadaki üstel terimleri (e−nλe^{-n\lambda}), λs\lambda^s terimlerini ve faktöriyelleri sadeleştir.
λs(n−1)s−1/(s−1)!nsλs/s!=(n−1)s−1ns⋅s!(s−1)!=s(n−1)s−1ns\frac{\lambda^s (n-1)^{s-1} / (s-1)!}{n^s \lambda^s / s!} = \frac{(n-1)^{s-1}}{n^s} \cdot \frac{s!}{(s-1)!} = \frac{s(n-1)^{s-1}}{n^s}
Sonucu S yeterli istatistiğinin bir fonksiyonu olarak en sade formda yazmak için.
7
Sadeleşen terimi şıklardaki uygun formata dönüştür.
sn⋅(n−1)s−1ns−1=sn(n−1n)s−1\frac{s}{n} \cdot \frac{(n-1)^{s-1}}{n^{s-1}} = \frac{s}{n} \left(\frac{n-1}{n}\right)^{s-1}. Yani Sn(1−1n)S−1\frac{S}{n} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{S-1}
Nihai UMVUE formülü.

Key Concept

Rao-Blackwell Teoremi ile UMVUE Bulma
Rate this question

Topics

Rao-Blackwell Teoremi

More questions from this topic