Examkin

Question

Difficulty: Very hardRao-Blackwell Teoremi

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n (n>1n > 1) bağımsız ve aynı dağılıma sahip, bilinen σ2\sigma^2 varyanslı ve bilinmeyen μ\mu ortalamalı normal dağılımdan (N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)) alınan bir rastgele örneklem olsun.

μ3\mu^3 parametresini tahmin etmek amacıyla, başlangıç tahmin edicisi olarak θ^=X13−3X1σ2\hat{\theta} = X_1^3 - 3X_1\sigma^2 yansız tahmin edicisi öneriliyor.

μ\mu parametresi için yeterli istatistik T=XˉT = \bar{X} (örneklem ortalaması) olduğuna göre, θ^\hat{\theta} tahmin edicisine Rao-Blackwell teoremi uygulanarak elde edilen iyileştirilmiş yansız tahmin edici θ^RB\hat{\theta}_{RB} aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    Xˉ3\bar{X}^3
  2. B
    Xˉ3−3σ2Xˉ\bar{X}^3 - 3\sigma^2\bar{X}
  3. Xˉ3−3σ2nXˉ\bar{X}^3 - \frac{3\sigma^2}{n}\bar{X}Answer
  4. D
    Xˉ3+3σ2nXˉ\bar{X}^3 + \frac{3\sigma^2}{n}\bar{X}
  5. E
    Xˉ3−3σ2n−1Xˉ\bar{X}^3 - \frac{3\sigma^2}{n-1}\bar{X}

Answer

Xˉ3−3σ2nXˉ\bar{X}^3 - \frac{3\sigma^2}{n}\bar{X} ifadesi Rao-Blackwell teoremi kullanılarak elde edilen iyileştirilmiş yansız tahmin edicidir.
Rao-Blackwell teoremine göre aranan tahmin edici E[X13−3X1σ2∣Xˉ]E[X_1^3 - 3X_1\sigma^2 | \bar{X}] koşullu beklenen değeridir. T=XˉT = \bar{X} tam (complete) ve yeterli (sufficient) bir istatistik olduğu için, Lehmann-Scheffe teoremi gereği TT'nin yansız olan herhangi bir fonksiyonu UMVUE'dir ve doğrudan Rao-Blackwell sonucuna eşittir. Xˉ\bar{X}'in dağılımı N(μ,σ2/n)N(\mu, \sigma^2/n) olduğundan, 3. momenti E[Xˉ3]=μ3+3μ(σ2/n)E[\bar{X}^3] = \mu^3 + 3\mu(\sigma^2/n) olarak hesaplanır. Buradan μ3\mu^3 yalnız bırakıldığında, yansız tahmin edicinin Xˉ3−3σ2nXˉ\bar{X}^3 - \frac{3\sigma^2}{n}\bar{X} olduğu görülür.

Step-by-Step Solution

1
Rao-Blackwell teoreminin prensibini ve yeterli istatistiğin özelliklerini belirleme.
Normal dağılım üstel aileden olduğu için T=XˉT = \bar{X} istatistiği tam (complete) ve yeterlidir.
Lehmann-Scheffe teoremine göre, tam ve yeterli istatistiğin bir fonksiyonu olan yansız tahmin edici eşsizdir ve Rao-Blackwell tahmin edicisine (UMVUE) eşittir.
2
T=XˉT = \bar{X} istatistiğinin dağılımını yazma.
Xˉ∼N(μ,σ2/n)\bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n) dağılımına sahiptir.
Yeterli istatistiğin momentlerini kullanarak yansız bir fonksiyon bulmak için dağılım gereklidir.
3
Xˉ3\bar{X}^3 ifadesinin beklenen değerini hesaplama.
Normal dağılımın moment üreten fonksiyonundan E[Xˉ3]=μ3+3μVar(Xˉ)=μ3+3μ(σ2n)E[\bar{X}^3] = \mu^3 + 3\mu Var(\bar{X}) = \mu^3 + 3\mu\left(\frac{\sigma^2}{n}\right) bulunur.
μ3\mu^3 için yansız bir tahmin edici oluşturmak amacıyla beklenen değer formülünden parametreyi yalnız bırakmalıyız.
4
Denklemden μ3\mu^3 ifadesini çekerek yansız tahmin ediciyi oluşturma.
μ3=E[Xˉ3]−3σ2nE[Xˉ]=E[Xˉ3−3σ2nXˉ]\mu^3 = E[\bar{X}^3] - \frac{3\sigma^2}{n}E[\bar{X}] = E\left[\bar{X}^3 - \frac{3\sigma^2}{n}\bar{X}\right] elde edilir.
Beklenen değerin doğrusallık özelliğinden faydalanılarak, içerdeki ifadenin μ3\mu^3 için yansız olduğu kanıtlanır.

Key Concept

Rao-Blackwell Teoremi ve Lehmann-Scheffe Teoremi

Alternative Method

Koşullu beklenen değerin doğrudan hesaplanması yoluyla da sonuca ulaşılabilir. X1X_1 ve Xˉ\bar{X} ortak normal dağılıma sahiptir. Koşullu dağılım teorisinden X1∣Xˉ∼N(Xˉ,n−1nσ2)X_1 | \bar{X} \sim N(\bar{X}, \frac{n-1}{n}\sigma^2) elde edilir. Aranan değer E[X13−3X1σ2∣Xˉ]=E[X13∣Xˉ]−3σ2E[X1∣Xˉ]E[X_1^3 - 3X_1\sigma^2 | \bar{X}] = E[X_1^3 | \bar{X}] - 3\sigma^2E[X_1 | \bar{X}] ifadesidir. Normal dağılımın 3. momentinden E[X13∣Xˉ]=Xˉ3+3Xˉn−1nσ2E[X_1^3 | \bar{X}] = \bar{X}^3 + 3\bar{X}\frac{n-1}{n}\sigma^2 bulunur. İfade yerine konup düzenlendiğinde Xˉ3−3σ2nXˉ\bar{X}^3 - \frac{3\sigma^2}{n}\bar{X} sonucuna varılır.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Rao-Blackwell Teoremi

More questions from this topic