Examkin

Question

Difficulty: MediumOlasılık Kuralları ve Teoremleri

Bir kamu kurumunun denetim birimi, incelediği dosyaları A (Yüksek Riskli), B (Orta Riskli) ve C (Düşük Riskli) olmak üzere üç farklı kategoriye ayırmaktadır.

Tüm dosyaların %30'u A, %50'si B ve %20'si C kategorisindedir. Yapılan geçmiş denetimlere göre, bu kategorilerdeki dosyalarda mevzuata aykırılık tespit edilme olasılıkları sırasıyla %10, %4 ve %5 olarak belirlenmiştir.

Rastgele seçilen ve incelenen bir dosyada mevzuata aykırılık tespit edildiği bilindiğine göre, bu dosyanın B (Orta Riskli) kategorisine ait olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    125\frac{1}{25}
  2. B
    350\frac{3}{50}
  3. C
    419\frac{4}{19}
  4. 13\frac{1}{3}Answer
  5. E
    12\frac{1}{2}

Answer

Rastgele seçilen mevzuata aykırı bir dosyanın B (Orta Riskli) kategorisinde olma olasılığı 13\frac{1}{3} tür.
Bayes teoremine göre aranan olasılık P(B∣M)=P(B∩M)P(M)P(B|M) = \frac{P(B \cap M)}{P(M)} bağıntısı ile hesaplanır. BB kategorisinden gelip aynı zamanda mevzuata aykırı olma olasılığı 0,50×0,04=0,020,50 \times 0,04 = 0,02'dir. Herhangi bir dosyanın aykırı olma toplam olasılığı ise (0,30×0,10)+(0,50×0,04)+(0,20×0,05)=0,06(0,30 \times 0,10) + (0,50 \times 0,04) + (0,20 \times 0,05) = 0,06 olarak hesaplanır. İlgili kesişim değerinin, toplam olasılık değerine oranlanmasıyla elde edilen sonuç 0,020,06=13\frac{0,02}{0,06} = \frac{1}{3}'tür.

Step-by-Step Solution

1
Olayların ve verilen marjinal ile koşullu olasılıkların matematiksel olarak tanımlanması.
P(A)=0,30P(A) = 0,30, P(B)=0,50P(B) = 0,50, P(C)=0,20P(C) = 0,20. Aykırılık olayına MM denilirse; P(M∣A)=0,10P(M|A) = 0,10, P(M∣B)=0,04P(M|B) = 0,04, P(M∣C)=0,05P(M|C) = 0,05 olarak yazılır.
Bayes teoremini doğru biçimde uygulayabilmek için formülde kullanılacak tüm bileşenlerin açıkça listelenmesi gerekir.
2
Toplam Olasılık Teoremi kullanılarak rastgele bir dosyada mevzuata aykırılık bulunma olasılığının (P(M)P(M)) hesaplanması.
P(M)=P(A)⋅P(M∣A)+P(B)⋅P(M∣B)+P(C)⋅P(M∣C)=(0,30⋅0,10)+(0,50⋅0,04)+(0,20⋅0,05)=0,03+0,02+0,01=0,06P(M) = P(A)\cdot P(M|A) + P(B)\cdot P(M|B) + P(C)\cdot P(M|C) = (0,30 \cdot 0,10) + (0,50 \cdot 0,04) + (0,20 \cdot 0,05) = 0,03 + 0,02 + 0,01 = 0,06.
Koşullu olasılık oranında paydayı (örnek uzayın yeni boyutunu) oluşturmak için ilgili tüm durumların ağırlıklı toplamına ihtiyaç vardır.
3
Bayes Teoremi yardımıyla P(B∣M)P(B|M) koşullu olasılığının elde edilmesi.
P(B∣M)=P(B∩M)P(M)=P(B)⋅P(M∣B)P(M)=0,020,06=13P(B|M) = \frac{P(B \cap M)}{P(M)} = \frac{P(B)\cdot P(M|B)}{P(M)} = \frac{0,02}{0,06} = \frac{1}{3}.
Dosyanın mevzuata aykırı olduğu bilindiği (koşul) için, B kategorisine ait olma ihtimali bu iki değerin oranlanmasıyla kesin olarak belirlenir.

Key Concept

Bayes Teoremi ve Toplam Olasılık Kuralı
Rate this question

Topics

Olasılık Kuralları ve Teoremleri

More questions from this topic