Examkin

Question

Difficulty: MediumKayıp Fonksiyonları, Risk ve Minimax Tahmin Ediciler

Bir kitleye ait bilinmeyen θ∈[0,1]\theta \in [0, 1] parametresinin tahmini için önerilen üç farklı tahmin edicinin (T1,T2T_1, T_2 ve T3T_3), karesel kayıp fonksiyonu altında elde edilen risk fonksiyonları aşağıda verilmiştir:

R(θ,T1)=2θ(1−θ)R(\theta, T_1) = 2\theta(1-\theta)
R(θ,T2)=25R(\theta, T_2) = \frac{2}{5}
R(θ,T3)=θ2R(\theta, T_3) = \theta^2

Buna göre, minimax prensibini kullanan bir araştırmacının seçeceği tahmin edici ve bu tahmin edicinin garanti edilen maksimum riski aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

  1. Tahmin Edici: T2T_2, Maksimum Risk: 25\frac{2}{5}Answer
  2. B
    Tahmin Edici: T1T_1, Maksimum Risk: 12\frac{1}{2}
  3. C
    Tahmin Edici: T1T_1, Maksimum Risk: 13\frac{1}{3}
  4. D
    Tahmin Edici: T3T_3, Maksimum Risk: 11
  5. E
    Tahmin Edici: T3T_3, Maksimum Risk: 00

Answer

Tahmin Edici: T2, Maksimum Risk: 2/5
Minimax tahmin edici, maksimum riski en küçük yapan tahmin edicidir. Verilen risk fonksiyonlarının [0, 1] aralığındaki maksimum değerleri sırasıyla; T1 için 1/2, T2 için 2/5 ve T3 için 1'dir. Bu değerler (0.5, 0.4 ve 1.0) arasında en küçük olan 2/5 olduğundan, minimax prensibine göre T2 tahmin edicisi seçilmelidir.

Step-by-Step Solution

1
T1T_1 tahmin edicisi için θ∈[0,1]\theta \in [0, 1] aralığında risk fonksiyonunun maksimum değerini bulun.
R(θ,T1)=2θ−2θ2R(\theta, T_1) = 2\theta - 2\theta^2 türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde θ=1/2\theta = 1/2 bulunur. Maksimum risk: R(1/2,T1)=2(1/2)(1/2)=1/2R(1/2, T_1) = 2(1/2)(1/2) = 1/2'dir.
Minimax prensibi, öncelikle her bir tahmin edicinin alabileceği en yüksek risk değerinin belirlenmesini gerektirir.
2
T2T_2 tahmin edicisi için risk fonksiyonunun maksimum değerini bulun.
R(θ,T2)=2/5R(\theta, T_2) = 2/5 sabit bir fonksiyondur, dolayısıyla θ\theta'dan bağımsız olarak maksimum riski 2/52/5'tir.
Sabit risk fonksiyonlarının maksimum değeri fonksiyonun kendisine eşittir.
3
T3T_3 tahmin edicisi için risk fonksiyonunun maksimum değerini bulun.
R(θ,T3)=θ2R(\theta, T_3) = \theta^2 artan bir fonksiyondur. [0,1][0, 1] aralığında maksimum değerini θ=1\theta = 1 noktasında alır ve maksimum riski 11'dir.
Artan fonksiyonlar en büyük değerini tanım kümesinin sağ uç noktasında alırlar.
4
Elde edilen maksimum risk değerlerini karşılaştırarak en küçük olanı (minimax) seçin.
Maksimum riskler 1/21/2 (0.5), 2/52/5 (0.4) ve 11'dir. min⁡(0.5,0.4,1)=0.4\min(0.5, 0.4, 1) = 0.4 olduğundan en küçük maksimum riski veren tahmin edici T2T_2'dir.
Minimax tahmin edici, en kötü durumu (maksimum riski) minimize eden tahmin edicidir.

Key Concept

Minimax Tahmin Edici (Kayıp Fonksiyonları ve Risk)
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Kayıp Fonksiyonları, Risk ve Minimax Tahmin Ediciler

More questions from this topic